Бесплатная алгебра - Free algebra

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепции Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (р ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория колец , свободная алгебра является некоммутативным аналогом кольца многочленов, поскольку ее элементы могут быть описаны как «многочлены» с некоммутирующими переменными. Точно так же кольцо полиномов можно рассматривать как свободную коммутативную алгебру .

Определение

Для R коммутативного кольца , свободная ( ассоциативная , унитальная ) алгебра на п неизвестных { X ₁ , ..., X _п } является свободным R - модуль с базисом , состоящим из всех слов в алфавите { X ₁ , .. ., X _n } (включая пустое слово, являющееся единицей свободной алгебры). Этот R -модуль становится R -алгеброй , определяя умножение следующим образом: произведение двух базисных элементов является конкатенацией соответствующих слов:

${\ displaystyle \ left (X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {l}} \ right) \ cdot \ left (X_ {j_ {1}} X_ {j_ {2}) } \ cdots X_ {j_ {m}} \ right) = X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {l}} X_ {j_ {1}} X_ {j_ {2} } \ cdots X_ {j_ {m}},}$

таким образом, произведение двух произвольных элементов R -модуля определяется однозначно (поскольку умножение в R -алгебре должно быть R -билинейным). Это R - алгебра обозначается R ⟨ X ₁ , ..., X _п ⟩. Эту конструкцию легко обобщить на произвольное множество неопределенных X.

Короче говоря, для произвольного множества , то свободные ( ассоциативного , унитальные ) R - алгебра на X является ${\ displaystyle X = \ {X_ {i} \,; \; i \ in I \}}$

${\ displaystyle R \ langle X \ rangle: = \ bigoplus _ {w \ in X ^ {\ ast}} Rw}$

с R -билинейным умножением, то есть конкатенацией слов, где X * обозначает свободный моноид на X (т.е. слова на буквах X _i ), обозначает внешнюю прямую сумму , а Rw обозначает свободный R -модуль на 1 элементе, слово ж . ${\ displaystyle \ oplus}$

Так , например, в R ⟨ Х ₁ , Х ₂ , Х ₃ , Х ₄ ⟩, для скаляров a, β, γ, & delta ; ∈ R , пример бетона произведения двух элементов

${\ Displaystyle (\ альфа X_ {1} X_ {2} ^ {2} + \ beta X_ {2} X_ {3}) \ cdot (\ gamma X_ {2} X_ {1} + \ delta X_ {1} ^ {4} X_ {4}) = \ alpha \ gamma X_ {1} X_ {2} ^ {3} X_ {1} + \ alpha \ delta X_ {1} X_ {2} ^ {2} X_ {1 } ^ {4} X_ {4} + \ beta \ gamma X_ {2} X_ {3} X_ {2} X_ {1} + \ beta \ delta X_ {2} X_ {3} X_ {1} ^ {4 } X_ {4}}$.

Некоммутативное кольцо многочленов может быть идентифицировано с моноидным кольцом над R от свободного моноиде всех конечных слов в X _я .

Контраст с многочленами

Так как слова в алфавите { X ₁ , ..., Х _п } образуют базис R ⟨ X ₁ , ..., X _п ⟩, то ясно , что любой элемент из R ⟨ X ₁ , ..., Х _п ⟩ может быть однозначно записывается в виде:

${\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {\ infty} \, \, \, \ sum \ limits _ {i_ {1}, i_ {2}, \ cdots, i_ {k} \ in \ left \ lbrace 1,2, \ cdots, n \ right \ rbrace} a_ {i_ {1}, i_ {2}, \ cdots, i_ {k}} X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {k}},}$

где - элементы из R, и все, кроме конечного числа этих элементов, равны нулю. Это объясняет , почему элементы R ⟨ X ₁ , ..., Х _п ⟩ часто обозначается как «некоммутативными полиномов» в «переменных» (или «неизвестных») X ₁ , ..., Х _п ; элементы называются «коэффициенты» этих полиномов, а R - алгебра R ⟨ X ₁ , ..., X _п ⟩ называется «некоммутативное алгебра многочленов над R в п неизвестных». Обратите внимание, что в отличие от настоящего кольца многочленов , переменные не коммутируют . Например, X ₁ X ₂ не равно X ₂ X ₁ . ${\ displaystyle a_ {i_ {1}, i_ {2}, ..., i_ {k}}}$${\ displaystyle a_ {i_ {1}, i_ {2}, ..., i_ {k}}}$

В целом, можно построить свободную алгебру R ⟨ E ⟩ на любом множестве Е из генераторов . Так как кольца можно рассматривать как Z -алгебрами, А свободное кольцо на E может быть определена как свободной алгебры Z ⟨ E ⟩.

Над полем свободную алгебру на n неопределенных можно построить как тензорную алгебру на n -мерном векторном пространстве . Для более общего кольца коэффициентов такая же конструкция работает, если взять свободный модуль на n образующих .

Построение свободной алгебры на E носит функториальный характер и удовлетворяет подходящему универсальному свойству . Функтор свободной алгебры сопряжен слева с функтором забывчивости из категории R -алгебр в категорию множеств .

Свободные алгебры над телами - это кольца свободных идеалов .

Смотрите также

• Коалгебра Cofree
• Тензорная алгебра
• Бесплатный объект
• Некоммутативное кольцо
• Рациональная серия

Ссылки

• Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. 137 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl  1250.68007 .
• Л.А. Бокуть (2001) [1994], "Свободная ассоциативная алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press.