Конечно порожденная алгебра - Finitely generated algebra

В математике , A конечно порожденная алгебра (также называется алгеброй конечного типа ) является коммутативной ассоциативной алгеброй над полем K , где существует конечное множество элементов ₁ , ..., _п из таким образом, что каждый элемента может быть выражен как полином в виде ₁ , ..., в _п с коэффициентами в K .

Эквивалентно, существуют элементы гомоморфизма вычислений в${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in A}$${\ displaystyle {\ bf {a}} = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$

${\ displaystyle \ phi _ {\ bf {a}} \ двоеточие K [X_ {1}, \ dots, X_ {n}] \ twoheadrightarrow A}$

сюръективно; таким образом, применяя первую теорему об изоморфизме . ${\ displaystyle A \ simeq K [X_ {1}, \ dots, X_ {n}] / {\ rm {ker}} (\ phi _ {\ bf {a}})}$

Наоборот, для любого идеала является -алгебра конечного типа, действительно, любой элемент является многочленом в смежных классах с коэффициентами в . Таким образом, мы получаем следующую характеризацию конечно порожденных -алгебр ${\ Displaystyle A: = К [X_ {1}, \ точки, X_ {n}] / I}$${\ Displaystyle I \ подмножество К [X_ {1}, \ точки, X_ {n}]}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a_ {i}: = X_ {i} + I, i = 1, \ dots, n}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle A}$является конечно порожденной -алгеброй тогда и только тогда, когда она изоморфна фактор-кольцу типа по идеалу .${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle К [X_ {1}, \ точки, X_ {n}] / I}$${\ Displaystyle I \ подмножество К [X_ {1}, \ точки, X_ {n}]}$

Если необходимо подчеркнуть поле K , то алгебра называется конечно порожденным над K . Не конечно порожденные алгебры называются бесконечно порожденными .

Примеры

• Алгебра многочленов K [ х ₁ , ..., х _п ] конечно порожден. Алгебра многочленов от бесконечно счетного числа образующих бесконечно порождена.
• Поле Е  =  К ( т ) из рациональных функций одной переменной над бесконечным полем К является не конечно порожденная алгебра над K . С другой стороны, Е порождается над K с помощью одного элемента, т , как поле .
• Если E / F является конечным расширением поля , то из определений следует, что E является конечно порожденной алгеброй над F .
• Наоборот, если E / F - расширение поля, а E - конечно порожденная алгебра над F, то расширение поля конечно. Это называется леммой Зарисского . См. Также интегральное расширение .
• Если G является конечно порожденной группой , то групповое кольцо KG является конечно порожденной алгебры над K .

Характеристики

• Гомоморфный конечно порожденная алгебра сам конечно порождено. Однако подобное свойство для подалгебр в общем случае не выполняется.
• Теоремы Гильберта о базисе : если является конечно порожденной коммутативной алгеброй над нётеровым кольцом , то каждый идеал из А конечно порожден, или , что эквивалентно, является нётерово кольцом .

Связь с аффинными разновидностями

Конечно порожденные редуцированные коммутативные алгебры являются основными объектами рассмотрения в современной алгебраической геометрии , где они соответствуют аффинным алгебраическим многообразиям ; по этой причине эти алгебры также называются (коммутативными) аффинными алгебрами . Более точно, заданному аффинному алгебраическому множеству мы можем сопоставить конечно порожденную -алгебру ${\ Displaystyle V \ подмножество \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ Гамма (V): = К [X_ {1}, \ точки, X_ {n}] / I (V)}$

называется аффинным координатным кольцом ; кроме того, если - регулярное отображение между аффинными алгебраическими множествами и , мы можем определить гомоморфизм -алгебр ${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие от V \ до W}$${\ Displaystyle V \ подмножество \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ Displaystyle W \ подмножество \ mathbb {A} ^ {m}}$${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ Gamma (\ Phi) \ Equiv \ Phi ^ {*} \ двоеточие \ Gamma (W) \ to \ Gamma (V), \, \ phi ^ {*} (f) = f \ circ \ phi, }$

то является контравариантным функтором из категории аффинных алгебраических множеств с регулярными отображениями в категорию редуцированных конечно порожденных -алгебр: этот функтор оказывается эквивалентностью категорий${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ Gamma \ двоеточие ({\ text {аффинные алгебраические множества}}) ^ {\ rm {opp}} \ to ({\ text {редуцированная конечно порожденная}} K {\ text {-algebras}}),}$

и, ограничиваясь аффинными многообразиями (т.е. неприводимыми аффинными алгебраическими множествами),

${\ displaystyle \ Gamma \ двоеточие ({\ text {аффинные алгебраические многообразия}}) ^ {\ rm {opp}} \ to ({\ text {целые конечно порожденные}} K {\ text {-алгебры}}).}$

Конечные алгебры против алгебр конечного типа

Напомним , что коммутативное - алгебра является гомоморфизмом колец ; -модуль структура определяется ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие от R \ до A}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda \ cdot a: = \ phi (\ lambda) a, \ quad \ lambda \ in R, a \ in A.}$

Алгебра является конечной , если оно конечно порождено как -модуль, т.е. существует сюръективный гомоморфизм -модулей ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R ^ {\ oplus _ {n}} \ twoheadrightarrow A.}$

Опять же, существует характеризация конечных алгебр в терминах частных

Алгебра конечно тогда и только тогда , когда она изоморфна фактор ПРОИЗВОДИМОГО -подмодуля .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle R ^ {\ oplus _ {n}} / M}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle M \ подмножество R}$

По определению конечная -алгебра имеет конечный тип, но обратное неверно: кольцо многочленов имеет конечный тип, но не конечное. ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [X]}$

Конечные алгебры и алгебры конечного типа связаны с понятиями конечных морфизмов и морфизмов конечного типа .

использованная литература

Смотрите также

• Конечно порожденный модуль
• Конечно генерируемое расширение поля
• Лемма Артина – Тейта.
• Конечная алгебра
• Морфизмы конечного типа