Конечное кольцо - Finite ring

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , конечное кольцо - это кольцо, которое имеет конечное число элементов. Каждое конечное поле является примером конечного кольца, а аддитивная часть каждого конечного кольца является примером абелевой конечной группы , но концепция конечных колец сама по себе имеет более недавнюю историю.

Хотя кольца имеют большую структуру, чем группы, теория конечных колец проще, чем теория конечных групп. Например, классификация конечных простых групп была одним из главных достижений математики 20-го века, доказательство которой охватило тысячи журнальных страниц. С другой стороны, было известно с 1907 года , что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцом от п матрицы с размерностью п матрицами над конечным полем порядка д (как следствие теоремы Веддербарен, описанные ниже). ${\ Displaystyle M_ {п} (\ mathbb {F} _ {q})}$

Количество колец с m элементами, m натуральное число, указано в OEIS :  A027623 в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей .

Конечное поле

Теория конечных полей , возможно, является наиболее важным аспектом теории конечных колец из-за ее тесной связи с алгебраической геометрией , теорией Галуа и теорией чисел . Важным, но довольно старым аспектом теории является классификация конечных полей ( Jacobson 1985 , с. 287) : ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFJacobson1985 ( справка )

• Порядок или количество элементов конечного поля равно p ⁿ , где p - простое число, называемое характеристикой поля, а n - положительное целое число.
• Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле с p ⁿ элементами.
• Любые два конечных поля с одинаковым порядком изоморфны .

Несмотря на классификацию, конечные поля по-прежнему являются активной областью исследований, включая недавние результаты по гипотезе Какея и открытые проблемы, касающиеся размера наименьших примитивных корней (в теории чисел).

Конечное поле Р может быть использовано для построения векторного пространства из п-размеров над F . Матричное кольцо из п × п матриц с элементами из F используются в геометрии Галуа , с проективной линейной группой , выступающей в качестве мультипликативной группы из A .

Теоремы Веддерберна

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что любое конечное тело обязательно коммутативно:

Если каждый ненулевой элемент r конечного кольца R имеет мультипликативный обратный, то R коммутативен (и, следовательно, является конечным полем ).

Джекобсон позже обнаружил еще одно условие , которое гарантирует коммутативности кольца: если для каждого элемента г из R существует целое число п > 1 таким образом, что т  ^п = г , то R является коммутативным. Известны и более общие условия, гарантирующие коммутативность кольца.

Еще одна теорема Веддерберна, как следствие, имеет результат, демонстрирующий, что теория конечных простых колец относительно прямолинейна по своей природе. Более конкретно, любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу от п по п матриц над конечным полем порядка д . Это следует из двух теорем Джозефа Веддерберна, установленных в 1905 и 1907 годах (одна из которых является маленькой теоремой Веддерберна). ${\ Displaystyle M_ {п} (\ mathbb {F} _ {q})}$

Перечисление

(Предупреждение: перечисления в этом разделе включают кольца, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, иногда называемые rngs .) В 1964 году Дэвид Сингмастер предложил следующую задачу в American Mathematical Monthly : «(1) Каков порядок наименьшего не -тривиальное кольцо с единицей, не являющееся полем? Найдите два таких кольца с этим минимальным порядком. Их больше? (2) Сколько колец четвертого порядка существует? " Решение Д.М. Блума можно найти в двухстраничном доказательстве того, что существует одиннадцать колец четвертого порядка, четыре из которых имеют мультипликативную идентичность. Действительно, четырехэлементные кольца привносят сложность в предмет. Есть три кольца над циклической группой C ₄ и восемь колец над четырехгруппой Клейна . В конспектах лекций Грегори Дрездена есть интересный пример дискриминационных инструментов ( нильпотенты , делители нуля , идемпотенты , а также левые и правые тождества).

Возникновение некоммутативности в конечных кольцах описано в ( Eldrige, 1968 ) двумя теоремами: если порядок m конечного кольца с единицей имеет бескубную факторизацию, то он коммутативен . И если некоммутативное конечное кольцо с 1 имеет порядок простого куба, то кольцо изоморфно верхнетреугольному кольцу матриц 2 × 2 над полем Галуа простого числа. Изучение колец порядка куба простого числа получило дальнейшее развитие в ( Raghavendran 1969 ) и ( Gilmer & Mott 1973 ). Затем Флор и Вессенбауэр (1975) усовершенствовали случай куба простого числа. Окончательная работа по классам изоморфизма пришла с ( Антипкин и Елизаров, 1982 ), доказавшим, что при p  > 2 количество классов равно 3 p  + 50. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEldrige1968 ( справка )

Есть более ранние ссылки на тему конечных колец, такие как Роберт Баллиё и Скорца.

Вот некоторые из известных фактов о количестве конечных колец (не обязательно с единицей) данного порядка (предположим, что p и q представляют различные простые числа):

• Есть два конечных кольца порядка p .
• Имеется четыре конечных кольца порядка pq .
• Имеется одиннадцать конечных колец порядка p ² .
• Имеется двадцать два конечных кольца порядка p ² q .
• Конечных колец восьмого порядка пятьдесят два.
• Имеется 3 p  + 50 конечных колец порядка p ³ , p  > 2.

Количество колец с n элементами (при a (0) = 1 )

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2,> 18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11 , 22, ... (последовательность A027623 в OEIS )

Смотрите также

• Проективная прямая над кольцом § Над конечными кольцами

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Классификация конечных коммутативных колец