Отфильтрованная категория - Filtered category

В теории категорий , отфильтрованные категории обобщают понятие направленного множества понимается как категория (следовательно , называется направленная категорией, в то время как некоторые используют направленную категорию как синоним отфильтрованной категории). Существует двойное понятие категории cofiltered, о котором мы напомним ниже.

Отфильтрованные категории

Категория является фильтруется , когда

  • это не пусто,
  • для каждых двух объектов и в существует объект и две стрелки и в ,
  • для каждых двух параллельных стрелок в , существует объект и стрелка таким образом, что .

Фильтруются копредел является копределом из функтора , где находится фильтрованная категория.

Кофильтрованные категории

Категория фильтруется совместно, если фильтруется противоположная категория . Более подробно, категория фильтруется, когда

  • это не пусто
  • для каждых двух объектов и в существует объект и две стрелки и в ,
  • для каждых двух параллельных стрелок в , существует объект и стрелка таким образом, что .

Cofiltered предел является пределом из функтора , где является cofiltered категории.

Инд-объекты и про-объекты

Для небольшой категории предварительный пучок множеств, который является небольшим фильтрованным копределом представимых предварительных пучков, называется инд-объектом категории . Инд-объекты категории образуют полную подкатегорию в категории функторов (предпучков) . Категория про-объектов в противоположна категории инд-объектов в противоположной категории .

категории с фильтром κ

Существует вариант «отфильтрованной категории», известный как «категория с κ-фильтром», который определяется следующим образом. Это начинается со следующим наблюдением: три условия в определении отфильтрованной категории выше говорят соответственно , что существует cocone над любой диаграммой в формах , или . Оказывается, существование коконов для этих трех форм диаграмм означает, что коконы существуют для любой конечной диаграммы; другими словами, категория фильтруется (согласно приведенному выше определению) тогда и только тогда, когда над любой конечной диаграммой существует кокон .

Расширяя это, с учетом регулярного кардинала κ, категория определяется как κ-фильтрованная, если есть кокон над каждой диаграммой в мощности меньше κ. (Маленькая диаграмма имеет мощность κ, если множество морфизмов ее области определения имеет мощность κ.)

Κ-фильтрованный (со) предел - это (ко) предел функтора, где - κ-фильтрованная категория.

Ссылки

  • Артин, М., Гротендик, А. и Вердье, JL Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie (SGA 4) . Лекционные заметки по математике 269, Springer Verlag, 1972. Exposé I, 2.7.
  • Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2, раздел IX.1.