Пучок волокон - Fiber bundle

Цилиндрическая расческа, демонстрирующая интуитивное понимание термина « пучок волокон» . Эта расческа похожа на пучок волокон, в котором базовое пространство представляет собой цилиндр, а волокна ( щетинки ) - это линейные сегменты. При отображении точка на любой щетине будет сопоставлена с ее корнем на цилиндре.

{\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}

В математике и, в частности, в топологии , пучок волокон (или, на английском языке : fiber bundle ) - это пространство , которое локально является пространством продукта , но глобально может иметь другую топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространством продукта определяется с помощью непрерывных сюръективных карт , , что в малых областях ведут себя так же , как в проекцию из соответствующих регионов с . Карта , названная ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B \ times F}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B \ times F}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ pi}$ выступ или погружение жгута рассматривается как часть структуры жгута. Пространство известно как общее пространство пучка волокон, как базовое пространство и как волокно . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$

В тривиальном случае это справедливо , а карта - это просто проекция из пространства продукта на первый фактор. Это называется тривиальным расслоением . Примеры нетривиальных расслоений включают ленту Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Слоистые расслоения, такие как касательное расслоение к многообразию и более общие векторные расслоения, играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и главные расслоения . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B \ times F}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с отображениями проекций, известны как отображения расслоений , и класс расслоений образует категорию по отношению к таким отображениям. Пучок карта от самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) , чтобы называется раздел о . Пучки волокон можно специализировать несколькими способами, наиболее распространенный из которых требует, чтобы карты переходов между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующей на волокно . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$

История

В топологии термины волокно (нем. Faser ) и волоконное пространство ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зайферта в 1933 году, но его определения ограничиваются очень частным случаем. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства состояло в том, что для Зайферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства E, не было частью структуры, а получено из нее как фактор - пространство Е . Первое определение волоконного пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году под названием пространство сфер , но в 1940 году Уитни изменил название на сферическое расслоение .

Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия , приписывается Зайферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , Уитни, Норману Стинроду , Шарлю Эресманну , Жан-Пьеру Серру и другим. .

Пучки волокон стали самостоятельным объектом исследования в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни.

Уитни пришел к общему определению расслоения на основе изучения более конкретного понятия расслоения сфер , то есть расслоения слоев, слой которого является сферой произвольной размерности.

Формальное определение

Пучок волокон представляет собой структуру , где , и являются топологические пространства и является непрерывной сюръекция удовлетворяющей локальной тривиальности условию изложены ниже. Пространство называется базовое пространство расслоения, на общее пространство , и на волокно . Отображение $π$ называется отображением проекции (или проекцией расслоения). Мы будем в дальнейшем считать, что базовое пространство будет подключен . ${\ Displaystyle (Е, \, В, \, \ пи, \, F)}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle B}$

Мы требуем , чтобы для каждого , есть открытая окрестность из (которая будет называться тривиализующими окрестностями) таким образом, что существует гомеоморфизм (где даются топология подпространства , и это пространство продукта) таким образом , что $π$ согласуется с проекция на первый фактор. То есть следующая диаграмма должна коммутировать : ${\ displaystyle x \ in B}$ ${\ Displaystyle U \ substeq B}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ varphi: \ pi ^ {- 1} (U) \ rightarrow U \ times F}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}$ ${\ Displaystyle U \ раз F}$

где - естественная проекция, - гомеоморфизм. Набор всего называется локальной тривиализацией связки. ${\ displaystyle {\ text {proj}} _ {1}: U \ times F \ rightarrow U}$ ${\ Displaystyle \ varphi: \ pi ^ {- 1} (U) \ rightarrow U \ times F}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {\ влево (U_ {я}, \, \ varphi _ {я} \ вправо) \ вправо \}}$

Таким образом , для любого , то прообраз гомеоморфно (с Рго ₁^-1 ({ р }) , очевидно , есть) и называется слой над р . Каждое расслоение является открытой картой , поскольку проекции продуктов - это открытые карты. Следовательно, несет фактор-топологию, определяемую отображением $π$ . ${\ displaystyle p \ in B}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (\ {p \})}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle B}$

Пучок волокон часто обозначают ${\ Displaystyle (Е, \, В, \, \ пи, \, F)}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {} \\ F \ longrightarrow E \ {\ xrightarrow {\, \ \ pi \}} \ B \\ {} \ end {matrix}}}

( 1 )

это, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является волокном, общее пространство и базовое пространство, а также карта от общего к базовому пространству.

Гладкое расслоение является расслоением в категории из гладких многообразий . То есть , и должны быть гладкие многообразия и все функции выше, должны быть гладкими отображениями . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$

Примеры

Тривиальный комплект

Позвольте и пусть будет проекция на первый фактор. Тогда расслоение (из ) над . Это продукт не только локально, но и глобально . Любое такое расслоение называется тривиальным расслоением . Любое расслоение над стягиваемым CW-комплексом тривиально. ${\ displaystyle E = B \ times F}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle E}$

Нетривиальные связки

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - нетривиальное расслоение над окружностью.

Возможно, самый простой пример нетривиального расслоения - это лента Мёбиуса . У нее есть окружность, которая проходит вдоль центра полосы в качестве основы, и отрезок прямой для волокна , так что полоса Мёбиуса представляет собой пучок отрезка прямой над окружностью. Окрестность из (где ) представляет собой дугу ; на картинке это длина одного из квадратов. Прообразом в картине (несколько витых) срез полосы четырех квадратов в ширину и один длинный (т.е. все точки, проект ). ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ pi (x) \ in B}$ ${\ displaystyle x \ in E}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle U}$

Существует гомеоморфизм ( в § Формальное определение ), который отображает прообраз (тривиализирующую окрестность) в срез цилиндра: изогнутый, но не скрученный. Эта пара локально тривиализирует полосу. Соответствующий тривиальный пучок был бы цилиндром , но полоса Мёбиуса имеет общий «поворот». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мебиуса и цилиндр идентичны (выполнение одного вертикального разреза в любом из них дает одинаковое пространство). ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle B \ times F}$

Бутылка Клейна

Аналогичным нетривиальным пучком является бутылка Клейна , которую можно рассматривать как связку «скрученных» кругов над другим кругом. Соответствующее не витое (тривиальное) расслоение является 2- тора , . ${\ Displaystyle S ^ {1} \ раз S ^ {1}}$

Бутылка Клейна погружена в трехмерное пространство.

Тор.

Покрывающая карта

Покрытие пространства является расслоением таким образом, что пучок проекции является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что слой - дискретное пространство .

Векторные и главные расслоения

Особый класс расслоений, называемых векторными расслоениями , - это те, слои которых являются векторными пространствами (чтобы квалифицировать как векторное расслоение, структурная группа расслоения - см. Ниже - должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения, можно построить кадр пучок из оснований , который является главным расслоением (см ниже).

Другой специальный класс расслоений, называемых главными расслоениями , - это расслоения, на слоях которых задано свободное и транзитивное действие группы , так что каждый слой является главным однородным пространством . Пакет часто указывается вместе с группой, называя его основным -bundle. Группа также является структурной группой связки. Учитывая представление о на векторном пространстве , векторное расслоение с как структура группы может быть построена, известный как ассоциированное расслоение . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ rho (G) \ substeq {\ text {Aut}} (V)}$

Наборы сфер

Сфера расслоение является расслоением, слой которого является п -сферы . Для векторного расслоения с метрикой (например, касательного расслоения к риманову многообразию ) можно построить ассоциированное расслоение единичных сфер , для которого слой над точкой - это множество всех единичных векторов в . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением , расслоение единичной сферы известно как единичное касательное расслоение . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle E_ {x}}$ ${\ displaystyle TM}$

Расслоение сфер частично характеризуется своим классом Эйлера , который является классом когомологий степени в тотальном пространстве расслоения. В этом случае расслоение сфер называется круговым расслоением, а класс Эйлера равен первому классу Черна , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинную точную последовательность, называемую последовательностью Гизина . ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle n}$

Отображение торов

Если Х представляет собой топологическое пространство и является Гомеоморфизмом того отображения тор имеет естественную структуру расслоения над кругом с волокном . Отображение торов гомеоморфизмов поверхностей особенно важно в топологии трехмерных многообразий . ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle M_ {f}}$ ${\ displaystyle X}$

Факторные пространства

Если является топологической группой и является замкнутой подгруппой , то при некоторых обстоятельствах фактор-пространство вместе с фактор-отображением является расслоением, слой которого является топологическим пространством . Необходимым и достаточным условием для образования расслоения () является то, что отображение допускает локальные сечения ( Steenrod 1951 , § 7). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G / H}$ ${\ Displaystyle \ пи \ двоеточие G \ в G / H}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle G, \, G / H, \, \ pi, \, H}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение будет допускать локальные сечения, неизвестны, хотя если является группой Ли и замкнутой подгруппой (и, следовательно, подгруппой Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа , , что является расслоением над сферой которого тотальное пространство . С точки зрения групп Ли, их можно отождествить со специальной унитарной группой . Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна группе окружности , а фактор-группа диффеоморфна сфере. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle S ^ {3} \ к S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ displaystyle SU (2)}$ ${\ Displaystyle U (1)}$ ${\ Displaystyle СУ (2) / U (1)}$

В более общем смысле, если это любая топологическая группа и замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то это расслоение слоев. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle G \ в G / H}$

Разделы

Участок (или сечение ) из пучка волокон является непрерывным отображением таким образом, что для всех х в B . Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одной из целей теории является объяснение их существования. Препятствие к существованию секции часто может быть измерено с помощью класса когомологий, что приводит к теории характеристических классов в алгебраической топологии . ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от B \ до E}$ ${\ Displaystyle \ пи (е (х)) = х}$

Самый известный пример - теорема о волосатом шаре , где класс Эйлера является препятствием для касательного расслоения 2-сферы, имеющего нигде не исчезающее сечение.

Часто бывает необходимо определять разделы только локально (особенно когда глобальные разделы не существуют). Локальное сечение пучка волокон является непрерывным отображением , где U представляет собой открытое множество в B , и для всех х в U . Если это локальная тривиализация диаграмма , то локальные участки всегда существуют над U . Такие участки находятся в соответствии 1-1 с непрерывными отображениями . Секции образуют связку . ${\ displaystyle f \ двоеточие от U \ до E}$ ${\ Displaystyle \ пи (е (х)) = х}$ ${\ Displaystyle (U, \, \ varphi)}$ ${\ displaystyle U \ to F}$

Структурные группы и переходные функции

Пучки волокон часто имеют группу симметрий, которые описывают условия согласования между перекрывающимися локальными диаграммами тривиализации. В частности, пусть G - топологическая группа , непрерывно действующая на расслоении F слева. Мы ничего не теряем , если мы требуем G действовать добросовестно на F так , что можно рассматривать как группу гомеоморфизмов из F . G - атлас для расслоения ( Е , В , $П$ , Р ) представляет собой набор локальных карт тривиализации , что для любого для перекрывающихся графиков и функций ${\ Displaystyle \ {(U_ {к}, \, \ varphi _ {k}) \}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {i}, \ varphi _ {j}}$ ${\ Displaystyle (U_ {я}, \, \ varphi _ {я})}$ ${\ displaystyle (U_ {j}, \, \ varphi _ {j})}$

{\ displaystyle \ varphi _ {i} \ varphi _ {j} ^ {- 1} \ двоеточие \ left (U_ {i} \ cap U_ {j} \ right) \ times F \ to \ left (U_ {i} \ cap U_ {j} \ right) \ times F}

дан кем-то

{\ displaystyle \ varphi _ {i} \ varphi _ {j} ^ {- 1} (x, \, \ xi) = \ left (x, \, t_ {ij} (x) \ xi \ right)}

где t _ij : U _i ∩ U _j → G - непрерывное отображение, называемое функцией перехода . Два G -атласа эквивалентны, если их объединение также является G -атласом. G -расслоение является расслоением с классом эквивалентности G -atlases. Группа G называется структурной группой расслоения; аналогичный термин в физике - калибровочная группа .

В гладкой категории G -расслоение - это гладкое расслоение, где G - группа Ли, и соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода являются гладкими отображениями.

Функции перехода t _ij удовлетворяют следующим условиям

${\ Displaystyle t_ {II} (х) = 1 \,}$
${\ displaystyle t_ {ij} (x) = t_ {ji} (x) ^ {- 1} \,}$
${\ displaystyle t_ {ik} (x) = t_ {ij} (x) t_ {jk} (x). \,}$

Третье условие применяется на тройном перекрывается U _я П U _J ∩ U _к и называется условием коцикличности (см Чех ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).

Главный G расслоением является G расслоением , где волокна F является главным однородным пространством для левого действия G сам ( что то же самое, можно указать , что действие G на слое F свободно и транзитивно, то есть регулярный ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.

Связать карты

Полезно иметь представление о отображении между двумя пучками волокон. Предположим, что M и N - базовые пространства, и - расслоения над M и N соответственно. Отображение расслоения (или морфизм расслоения ) состоит из пары непрерывных функций ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ двоеточие от E \ до M}$ ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ двоеточие с F \ на N}$

{\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие E \ to F, \ quad f \ двоеточие M \ to N}

такой что . То есть коммутирует следующая диаграмма : ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$

Для расслоений со структурной группой G , и полное пространства (справа) G -пространствами (такие как главное расслоение), расслоение морфизмы также должны быть G - эквивариантное на волокна. Это означает, что это также G -морфизм из одного G -пространства в другое, т. Е. Для всех и . ${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие от E \ до F}$ ${\ Displaystyle \ varphi (xs) = \ varphi (x) s}$ ${\ displaystyle x \ in E}$ ${\ displaystyle s \ in G}$

Если базовые пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения в - это отображение, такое что . Это означает , что расслоение карта охватывает идентичность M . То есть и диаграмма коммутирует ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ двоеточие от E \ до M}$ ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ двоеточие с F \ на M}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие от E \ до F}$ ${\ displaystyle \ pi _ {E} = \ pi _ {F} \ circ \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие от E \ до F}$ ${\ Displaystyle е \ эквив \ mathrm {id} _ {M}}$

Предположим , что оба и определены над одной и той же базовой пространства М . Изоморфизм расслоения - это отображение расслоения между $π$ _E : E → M и $π$ _F : F → M такое, что и такое, что φ также является гомеоморфизмом. ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ двоеточие от E \ до M}$ ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ двоеточие с F \ на M}$ ${\ Displaystyle (\ varphi, \, е)}$ ${\ Displaystyle е \ эквив \ mathrm {id} _ {M}}$

Дифференцируемые пучки волокон

В категории дифференцируемых многообразий расслоения естественно возникают как субмерсии одного многообразия в другое. Не всякая (дифференцируемая) субмерсия ƒ: M → N с дифференцируемого многообразия M на другое дифференцируемое многообразие N порождает дифференцируемое расслоение. Во-первых, отображение должно быть сюръективным, а ( M , N , ƒ) называется расслоенным многообразием . Однако этого необходимого условия недостаточно, и обычно используется множество достаточных условий.

Если M и N компактны и связны, то любая субмерсия f : M → N порождает расслоение в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из слоев такое, что ( E , B , $π$ , F ) = ( M , N , ƒ, F ) - расслоение. (Сюръективность ƒ следует из предположений, уже данных в этом случае.) В более общем смысле, предположение компактности можно ослабить, если предполагается, что субмерсия ƒ: M → N является сюръективным собственным отображением , что означает, что ƒ ⁻¹ ( K ) компактно для каждого компактного подмножества K из N . Еще одно достаточное условие, установленное Эресманном (1951) , состоит в том, что если ƒ: M → N - сюръективная субмерсия с M и N дифференцируемыми многообразиями такая, что прообраз ƒ ⁻¹ { x } компактен и связен для всех x ∈ N , то ƒ допускает совместимую структуру расслоения ( Michor 2008 , §17).

Обобщения

Понятие связки применимо ко многим другим категориям в математике за счет соответствующей модификации условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия) .
В топологии расслоение - это отображение $π$ : E → B, которое обладает некоторыми теоретико-гомотопическими свойствами, общими с расслоениями. В частности, при мягких технических предположениях расслоение всегда обладает свойством гомотопического подъема или свойством гомотопического покрытия (подробности см. В Steenrod (1951 , 11.7)). Это определяющее свойство расслоения.
Участок жгута волокон - это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входа». Это свойство формально отражено в понятии зависимого типа .

Смотрите также

Примечания

^ Зайферт, Герберт (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume" . Acta Mathematica . 60 : 147–238. DOI : 10.1007 / bf02398271 .
^ "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" на проекте Евклид .
^ Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . DOI : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . DOI : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
^ Фельдбау, Жак (1939). "Sur la классификация волоконных пространств". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.
^ Эресманн, Чарльз (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Верхний. Alg. Париж . CNRS: 3–15.
^ Эресманн, Чарльз (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.
^ Эресманн, Чарльз (1955). "Различия в пролонгации фибрового пространства". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.
^ Серр, Жан-Пьер (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Приложения". Анналы математики . 54 (3): 425–505. DOI : 10.2307 / 1969485 . JSTOR 1969 485 .
↑ См. Стинрод (1951 , предисловие).
^
В своих ранних работах Уитни называл расслоения сфер «сферами-пространствами». См., Например:
- Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства» . Proc. Natl. Акад. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . DOI : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
- Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» . Бык. Амер. Математика. Soc . 43 (12): 785–805. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1937-06642-0 .
^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF) . Proc. Natl. Акад. Sci . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . DOI : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
^ В зависимости от категории задействованных пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
^ Или, по крайней мере, обратим в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

использованная литература

Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
Стинрод, Норман (5 апреля 1999 г.). Топология пучков волокон . Принстонский математический ряд. 14 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875 .
Бликер, Дэвид (1981), теория калибровки и вариационные принципы , чтение, масса: издательство Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10096-9
Эресманн, Чарльз . "Бесконечные связи в несуществующем пространстве волоконно различимы". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Брюссель, 1950 . Жорж Тон, Льеж; Masson et Cie., Paris, 1951. С. 29–55.
Хусемоллер, Дейл (1994), пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
Мичор, Питер У. (2008), Вопросы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , Vol. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2003-2 |volume=имеет дополнительный текст ( справка )
Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Волокнистое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press

внешние ссылки

Связка волокон , PlanetMath
Роуленд, Тодд. «Пучок волокна» . MathWorld .
Создание символической скульптуры Джона Робинсона "Вечность"
Сарданашвили, Геннадий , Расслоения, многообразия струй и лагранжева теория. Лекции для теоретиков, arXiv : 0908.1886

[1] Зайферт, Герберт (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume" . Acta Mathematica . 60 : 147–238. DOI : 10.1007 / bf02398271 .

[2] "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" на проекте Евклид .

[3] Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . DOI : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

[4] Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . DOI : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .

[5] Фельдбау, Жак (1939). "Sur la классификация волоконных пространств". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.

[6] Эресманн, Чарльз (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Верхний. Alg. Париж . CNRS: 3–15.

[7] Эресманн, Чарльз (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.

[8] Эресманн, Чарльз (1955). "Различия в пролонгации фибрового пространства". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.

[9] Серр, Жан-Пьер (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Приложения". Анналы математики . 54 (3): 425–505. DOI : 10.2307 / 1969485 . JSTOR 1969 485 .

[10] См. Стинрод (1951 , предисловие).

[11] В своих ранних работах Уитни называл расслоения сфер «сферами-пространствами». См., Например:

Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства» . Proc. Natl. Акад. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . DOI : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» . Бык. Амер. Математика. Soc . 43 (12): 785–805. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1937-06642-0 .

[12] Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства» . Proc. Natl. Акад. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . DOI : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

[13] Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» . Бык. Амер. Математика. Soc . 43 (12): 785–805. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1937-06642-0 .

[12] Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF) . Proc. Natl. Акад. Sci . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . DOI : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .

[13] В зависимости от категории задействованных пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.

[14] Или, по крайней мере, обратим в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

Languages

In other projects