Статистика Ферми – Дирака - Fermi–Dirac statistics

Статистика Ферми-Дирака является тип квантовой статистики , которая относится к физике одного системы , состоящей из многих одинаковых частиц , которые подчиняются принципу запрета Паули . Результатом является распределение частиц по энергетическим состояниям Ферми – Дирака . Он назван в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых независимо вывел это распределение в 1926 году (хотя Ферми вывел его до Дирака). Статистика Ферми – Дирака является частью области статистической механики и использует принципы квантовой механики .

Статистика Ферми – Дирака (F – D) применима к идентичным и неразличимым частицам с полуцелым спином (1/2, 3/2 и т. Д.), Называемым фермионами , в термодинамическом равновесии . В случае пренебрежимо малого взаимодействия между частицами система может быть описана в терминах одночастичных энергетических состояний . В результате получается F – D-распределение частиц по этим состояниям, где никакие две частицы не могут занимать одно и то же состояние, что существенно влияет на свойства системы. F – D-статистика чаще всего применяется к электронам , типу фермионов со спином 1/2 .

Аналогом статистики F – D является статистика Бозе – Эйнштейна (B – E) , которая применяется к идентичным и неразличимым частицам с целочисленным спином (0, 1, 2 и т. Д.), Называемым бозонами . В классической физике статистика Максвелла – Больцмана (M – B) используется для описания частиц, которые идентичны и рассматриваются как различимые. Как для статистики B – E, так и для статистики M – B, более одной частицы могут занимать одно и то же состояние, в отличие от статистики F – D.

История

До введения статистики Ферми – Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре, по- видимому, обусловлена ​​в 100 раз меньшим количеством электронов, чем в электрическом токе . Также было трудно понять, почему токи эмиссии, возникающие при приложении сильных электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависят от температуры.

Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, заключалась в том, что считалось, что электроны (согласно классической статистической теории) все эквивалентны. Другими словами, считалось , что каждый электрон вклад в теплоемкость на величину порядка постоянная Больцмана  K B . Эта проблема оставалась нерешенной до развития статистики F – D.

Статистика F – D была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми и Полем Дираком . По словам Макса Борна , Паскуаль Джордан разработал в 1925 году ту же статистику, которую он назвал статистикой Паули , но она не была своевременно опубликована. Согласно Дираку, его первым изучил Ферми, и Дирак назвал его «статистикой Ферми», а соответствующие частицы - «фермионами».

Статистика F – D была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды в белый карлик . В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил его к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов , а в 1928 году Фаулер и Лотар Нордхейм применили ее к автоэлектронной эмиссии из металлов. Статистика Ферми – Дирака продолжает оставаться важной частью физики.

Распределение Ферми – Дирака

Для системы идентичных фермионов в термодинамическом равновесии среднее число фермионов в одночастичном состоянии i задается распределением Ферми – Дирака (F – D) ,

где k B - постоянная Больцмана , T - абсолютная температура , ε i - энергия одночастичного состояния i , а μ - полный химический потенциал .

При нулевой абсолютной температуре μ равна энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что она находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектрального зазора, например для электронов в полупроводнике , точка симметрии μ обычно называется уровнем Ферми или - для электронов - электрохимическим потенциалом , и будет расположена в середине зазора.

Распределение F – D справедливо только в том случае, если количество фермионов в системе достаточно велико, так что добавление еще одного фермиона в систему не оказывает незначительного влияния на μ . Поскольку распределение F – D было получено с использованием принципа исключения Паули , который позволяет не более одному фермиону занимать каждое возможное состояние, результат таков .

Дисперсия числа частиц в состоянии я может быть вычислен из приведенного выше выражения для ,

Распределение частиц по энергии

Функция Ферми с μ = 0,55 эВ для различных температур в диапазоне 50 K ≤ T ≤ 375 K

Из распределения Ферми – Дирака частиц по состояниям можно найти распределение частиц по энергиям. Среднее количество фермионов с энергией можно найти, умножив распределение F – D на вырождение (то есть количество состояний с энергией ),

Когда , это возможно , поскольку существует более одного состояния, которое может быть занято фермионами с одинаковой энергией .

Когда квазиконтинуум энергий имеет связанную плотность состояний (то есть количество состояний на единицу диапазона энергий на единицу объема), среднее количество фермионов на единицу диапазона энергий на единицу объема равно

где называется функцией Ферми и является той же функцией, которая используется для распределения F – D ,

так что

Квантовые и классические режимы

Распределение Ферми – Дирака приближается к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:

  • В пределе низкой плотности частиц , следовательно, или что-то подобное . В этом случае, что является результатом статистики Максвелла-Больцмана.
  • В пределе высокой температуры частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заполнение каждого состояния (особенно высокоэнергетического ) снова очень мало ,. Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.

Классический режим, в котором статистику Максвелла – Больцмана можно использовать в качестве приближения к статистике Ферми – Дирака, находится при рассмотрении ситуации, которая далека от предела, налагаемого принципом неопределенности Гейзенберга для положения и импульса частицы . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного выше, чем концентрация легирования, энергетическая щель между зоной проводимости и уровнем Ферми может быть рассчитана с использованием статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрацией легирования нельзя пренебречь по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, для точного расчета следует использовать распределение F – D. Затем можно показать, что преобладает классическая ситуация, когда концентрация частиц соответствует среднему расстоянию между частицами , которое намного превышает среднюю длину волны де Бройля частиц:

где h - постоянная Планка , а m - масса частицы .

Для случая электронов проводимости в типичном металле при Т = 300  К (т.е. примерно комнатной температуре) система далека от классического режима, потому что . Это связано с небольшой массой электрона и высокой концентрацией (т.е. небольшой ) электронов проводимости в металле. Таким образом, статистика Ферми – Дирака необходима для электронов проводимости в типичном металле.

Другой пример системы, не относящейся к классическому режиму, - это система, состоящая из электронов звезды, которая коллапсировала в белый карлик. Хотя температура белого карлика высока (обычно T =10 000  K на его поверхности), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона не позволяют использовать классическое приближение, и снова требуется статистика Ферми – Дирака.

Производные

Большой канонический ансамбль

Распределение Ферми – Дирака, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ, фиксируемые резервуаром).

Из-за качества невзаимодействия каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. Другими словами, каждый одночастичный уровень представляет собой отдельный крошечный большой канонический ансамбль. Согласно принципу исключения Паули, существует только два возможных микросостояния для одночастичного уровня: отсутствие частицы (энергия E = 0) или одна частица (энергия E = ε ). Таким образом, результирующая статистическая сумма для этого одночастичного уровня состоит всего из двух членов:

и среднее число частиц для этого подсостояния одночастичного уровня дается выражением

Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, дает распределение Ферми – Дирака для всего состояния системы.

Также можно вычислить дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):

Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и термоэлектрического коэффициента для электронного газа, где способность уровня энергии вносить вклад в явления переноса пропорциональна .

Канонический ансамбль

Также возможно получить статистику Ферми – Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим систему многих частиц, состоящую из N идентичных фермионов, которые имеют незначительное взаимное взаимодействие и находятся в тепловом равновесии. Поскольку взаимодействие между фермионами незначительно, энергия состояния многочастичной системы может быть выражена как сумма одночастичных энергий:

где называется числом заселенности, а - число частиц в одночастичном состоянии с энергией . Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям .

Вероятность того, что система многих частиц находится в состоянии , дается нормированным каноническим распределением ,

где , е называется фактором Больцмана , а суммирование ведется по всем возможным состояниям системы многих частиц. Среднее значение числа загруженности :

Обратите внимание, что состояние многочастичной системы может быть задано заселенностью частицами одночастичных состояний, т. Е. Указав так, что

и уравнение для принимает вид

где суммирование ведется по всем комбинациям значений,   которые подчиняются принципу исключения Паули, и = 0 или 1 для каждой . Кроме того, каждая комбинация значений удовлетворяет ограничению , что общее число частиц ,

Переставляя суммирования,

где   значок на знаке суммирования указывает, что сумма не окончена и на нее действует ограничение, заключающееся в том, что общее количество частиц, связанных с суммированием, равно  . Следует отметить , что все еще зависит от через ограничение, так как в одном случае , и оценивается с в то время как в другом случае , и вычисляется с  Для упрощения обозначений и четко показывают , что все еще зависит от через  , определить

так что предыдущее выражение для можно переписать и оценить в терминах ,

Следующее приближение будет использовано для поиска выражения для замены .

куда      

Если количество частиц достаточно велико, так что изменение химического потенциала очень мало, когда частица добавляется к системе, тогда   взяв антилогарифм по основанию e с обеих сторон, заменив и переставив,

Подставляя выше в уравнение для , и используя предыдущее определение , чтобы заменить на , приводит к распределению Ферми-Дирака.

Подобно распределению Максвелла-Больцмана и распределение Бозе-Эйнштейна распределение Ферми-Дирака также может быть получена с помощью метода Дарвина-Фаулера средних значений (см Мюллер-Кирстен).

Микроканонический ансамбль

Результат может быть достигнут путем прямого анализа кратностей системы и использования множителей Лагранжа .

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, обозначенных индексом i , каждый из которых имеет энергию ε i   и содержит в общей сложности n i   частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g i   различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т.е. их импульсы могут быть в разных направлениях), и в этом случае они отличаются друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение g i,   связанное с уровнем i , называется «вырождением» этого уровня энергии. Принцип исключения Паули гласит, что на любом таком подуровне может занимать только один фермион.

Количество способов распределения n i неотличимых частиц по подуровням g i уровня энергии, с максимумом одной частицы на подуровень, задается биномиальным коэффициентом с использованием его комбинаторной интерпретации

Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст численность населения 110, 101 или 011, что в сумме дает три способа, что равняется 3! / (2! 1!).

Количество способов, которыми может быть реализован набор чисел занятости n i , является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый индивидуальный энергетический уровень:

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла – Больцмана , мы хотим найти набор n i, для которого W является максимальным, при условии, что существует фиксированное количество частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию:

Используя приближение Стирлинга для факториалов, взяв производную по n i , установив результат равным нулю и решив для n i, получаем числа Ферми-Дирака:

Посредством процесса, аналогичного описанному в статистической статье Максвелла – Больцмана , можно термодинамически показать, что и , наконец, вероятность того, что состояние будет занято, равна:

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение