Огранка - Faceting

В геометрии , огранки (также пишется facetting ) представляет собой процесс удаления частей многоугольника , многогранника или многогранника , не создавая никаких новых вершин .

Новые ребра граненого многогранника могут быть созданы по диагоналям граней или диагоналям внутреннего пространства . Граненая многогранник будет иметь два лица на каждый край и создает новые многогранники или соединение многогранников.

Огранка - это процесс, обратный или двойственный к звездчатости . Для любой звёздчатости некоторого выпуклого многогранника существует двойственная фасетка двойственного многогранника .

Граненые многоугольники

Например, правильный пятиугольник имеет одну грань симметрии, пентаграмму , а правильный шестиугольник имеет две симметричные грани, одну как многоугольник, а другую как соединение двух треугольников.

Пентагон	Шестиугольник		Декагон
Пентаграмма {5/2}	Звездный шестиугольник	Соединение 2 {3}	Декаграмма {10/3}	Соединение 2 {5}	Соединение 2 {5/2}	Звездный десятиугольник

Граненые многогранники

Икосаэдр может быть огранен в трех регулярные Кеплер-Пуансо многогранников : маленький звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. У всех 30 ребер.

Выпуклый	Обычные звезды
икосаэдр	большой додекаэдр	малый звездчатый додекаэдр	большой икосаэдр

Правильный додекаэдр можно разбить на один правильный многогранник Кеплера – Пуансо , три однородных звездчатых многогранника и три правильных полиэдрических соединения . Единые звезды и соединение пяти кубиков построены по диагоналям граней . Раскопан додекаэдром является facetting с лицом звездами шестигранным.

Выпуклый	Обычная звезда	Однородные звезды			Вершинно-транзитивный
додекаэдр	большой звездчатый додекаэдр	Малый дитригональный икозидодекаэдр	Дитригональный додека-додекаэдр	Большой дитригональный икозидодекаэдр	Раскопанный додекаэдр

Выпуклый	Обычные соединения
додекаэдр	пять тетраэдров	пять кубиков	десять тетраэдров

История

Грани икосаэдра (придающего форму большого додекаэдра ) и додекаэдра пентакис в книге Ямницера

Фасетирование не изучено так широко, как звездчатость .

• В 1568 году Венцель Ямницер опубликовал свою книгу Perspectiva Corporum Regularium , в которой было показано множество звездчатых и граненых элементов многогранников.
• В 1619 году Кеплер описал правильное соединение двух тетраэдров, которые помещаются внутри куба, и назвал его Stella octangula .
• В 1858 году Бертран получил правильные звездчатые многогранники ( многогранники Кеплера – Пуансо ), огранив правильный выпуклый икосаэдр и додекаэдр .
• В 1974 г. Бридж перечислил наиболее простые фасеты правильных многогранников, в том числе и додекаэдра .
• В 2006 году Инчбальд описал основную теорию диаграмм огранки многогранников. Для данной вершины диаграмма показывает все возможные ребра и фасеты (новые грани), которые могут использоваться для формирования граней исходной оболочки. Это двойственное к двойному многограннику «s диаграммам плеяде'ученых, которая показывает все возможные ребра и вершины для некоторой грани плоскости исходного ядра.

Ссылки

Ноты

Библиография

• Бертран, J. Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), стр. 79–82.
• Бридж, штат Нью-Джерси. Грань додекаэдра, Acta crystallographica A30 (1974), стр. 548–552.
• Инчбальд, Г. Диаграммы фасетирования, The Mathematical gazette , 90 (2006), стр. 253–261.
• Алан Холден , Формы, Пространство и Симметрия . Нью-Йорк: Довер, 1991. с.94.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Огранка» . MathWorld .
• Ольшевский, Георгий. «Огранка» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.