Формула Эйлера – Маклорена - Euler–Maclaurin formula

В математике , то формула Эйлера-Маклорена формула для разности между интегралом и тесно связанной суммы . Его можно использовать для аппроксимации интегралов конечными суммами или, наоборот, для вычисления конечных сумм и бесконечных рядов с использованием интегралов и механизмов исчисления . Например, многие асимптотические разложения выводятся из формулы, и формула Фаульхабера для суммы степеней является немедленным следствием.

Формула была открыта независимо Леонардом Эйлером и Колином Маклореном около 1735 года. Эйлеру она была нужна для вычисления медленно сходящихся бесконечных рядов, а Маклорен использовал ее для вычисления интегралов. Позже он был обобщен до формулы Дарбу .

Формула

Если $т$ и $п$ являются натуральные числа и $F (х)$ является реальным или сложным оценивается непрерывная функция для действительных чисел $х$ в интервале $[т, п]$ , то интеграл

{\ Displaystyle I = \ int _ {m} ^ {n} f (x) \, dx}

можно приблизить к сумме (или наоборот)

{\ Displaystyle S = е (м + 1) + \ cdots + f (п-1) + е (п)}

(см. метод прямоугольника ). Формула Эйлера – Маклорена дает выражения для разницы между суммой и интегралом в терминах высших производных

f (k) (x),

вычисленных в конечных точках интервала, то есть

x = m

и

x = n

.

Явно, для положительного целого числа $p$ и функции $f$ $($ $x$ $)$ , непрерывно дифференцируемой $p$ раз на интервале $[$ $m$ $,$ $n$ $]]$ , имеем

{\ displaystyle SI = \ sum _ {k = 1} ^ {p} {{\ frac {B_ {k}} {k!}} \ left (f ^ {(k-1)} (n) -f ^ {(k-1)} (m) \ right)} + R_ {p},}

где

B k

-

k-

е число Бернулли (при

B 1 =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2

), а

R p

- это член ошибки, который зависит от

n

,

m

,

p

и

f

и обычно невелик для подходящих значений

p

.

Формула часто записывается с нижним индексом, принимающим только четные значения, поскольку нечетные числа Бернулли равны нулю, за исключением $B 1$ . В этом случае мы имеем

{\ Displaystyle \ сумма _ {я = м} ^ {п} е (я) = \ int _ {м} ^ {п} е (х) \, dx + {\ гидроразрыва {е (п) + е (м) } {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!} } \ left (f ^ {(2k-1)} (n) -f ^ {(2k-1)} (m) \ right) + R_ {p},}

или альтернативно

{\ displaystyle \ sum _ {я = м + 1} ^ {n} f (i) = \ int _ {m} ^ {n} f (x) \, dx + {\ frac {f (n) -f ( m)} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {B_ {2k}} {(2k) !}} \ left (f ^ {(2k-1)} (n) -f ^ {(2k-1)} (m) \ right) + R_ {p}.}

Остающийся срок

Остаточный член возникает из-за того, что интеграл обычно не равен сумме в точности. Формулу можно получить, применяя повторное интегрирование по частям к последовательным интервалам $[r, r + 1]$ для $r = m, m + 1,\dots, n - 1$ . Граничные члены в этих интегрированиях приводят к основным членам формулы, а оставшиеся интегралы образуют остаточный член.

Остаточный член имеет точное выражение в терминах периодизованных функций Бернулли $P k (x)$ . Многочлены Бернулли могут быть определены рекурсивно как $B 0 (x) = 1$ и, для $k \geq 1$ ,

{\ Displaystyle {\ begin {align} B_ {k} '(x) & = kB_ {k-1} (x), \\\ int _ {0} ^ {1} B_ {k} (x) \, dx & = 0. \ end {выровнено}}}

Периодизированные функции Бернулли определяются как

{\ displaystyle P_ {k} (x) = B_ {k} {\ bigl (} x- \ lfloor x \ rfloor {\ bigr)},}

где

⌊ x ⌋

обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное

x

, так что

x - ⌊ x ⌋

всегда лежит в интервале

[0,1)

.

В этих обозначениях остаточный член $R p$ равен

{\ Displaystyle R_ {p} = (- 1) ^ {p + 1} \ int _ {m} ^ {n} f ^ {(p)} (x) {\ frac {P_ {p} (x)} {p!}} \, dx.}

Когда $k > 0$ , можно показать, что

{\ displaystyle {\ bigl |} B_ {k} (x) {\ bigr |} \ leq {\ frac {2 \ cdot k!} {(2 \ pi) ^ {k}}} \ zeta (k), }

где

ζ

обозначает дзета-функцию Римана ; один из подходов к доказательству этого неравенства - получить ряд Фурье для многочленов

B k (x)

. Оценка достигается для четных

k,

когда

x

равно нулю. Член

ζ (k)

можно опустить для нечетного

k,

но в этом случае доказательство более сложное (см. Lehmer). Используя это неравенство, размер остаточного члена можно оценить как

{\ displaystyle \ left | R_ {p} \ right | \ leq {\ frac {2 \ zeta (p)} {(2 \ pi) ^ {p}}} \ int _ {m} ^ {n} \ left | f ^ {(p)} (x) \ right | \, dx.}

Случаи низкого порядка

Числа Бернулли от $B 1$ до $B 7$ равны $1 / 2, 1 / 6, 0, - 1 / 30, 0, 1 / 42, 0$ . Следовательно, младшие случаи формулы Эйлера – Маклорена: ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx & = {\ frac {f ( a) + f (b)} {2}} + \ int _ {a} ^ {b} f '(x) P_ {1} (x) \, dx \\ & = {\ frac {f (a) + f (b)} {2}} + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(b) -f' (a)} {2!}} - \ int _ {a} ^ {b} f '' (x) {\ frac {P_ {2} (x)} {2!}} \, dx \\ & = {\ frac {f (a) + f (b)} {2} } + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(b) -f' (a)} {2!}} + \ int _ {a} ^ {b} f '' '(x ) {\ frac {P_ {3} (x)} {3!}} \, dx \\ & = {\ frac {f (a) + f (b)} {2}} + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(b) -f' (a)} {2!}} - {\ frac {1} {30}} {\ frac {f '' '(b) -f' '' (a)} {4!}} - \ int _ {a} ^ {b} f ^ {(4)} (x) {\ frac {P_ {4} (x)} {4!}} \ , dx \\ & = {\ frac {f (a) + f (b)} {2}} + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(b) -f' (a) } {2!}} - {\ frac {1} {30}} {\ frac {f '' '(b) -f' '' (a)} {4!}} + \ Int _ {a} ^ {b} f ^ {(5)} (x) {\ frac {P_ {5} (x)} {5!}} \, dx \\ & = {\ frac {f (a) + f (b)) } {2}} + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(b) -f' (a)} {2!}} - {\ frac {1} {30}} {\ frac {f '' '(b) -f' '' (a)} {4!}} + {\ frac {1} {42}} {\ frac {f ^ {(5)} (b) -f ^ {(5)} (a)} {6!}} - \ int _ {a} ^ {b} f ^ {(6)} (x) {\ frac {P_ {6} (x)} {6 !}} \, dx \\ & = {\ frac {f (a) + f (b)} {2}} + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(b) -f '(a)} {2!}} - {\ frac {1} {30}} {\ frac {f' '' (b) -f '' '(a)} {4!}} + {\ frac {1} {42}} {\ frac {f ^ {(5)} (b) -f ^ {(5)} (a)} {6!}} + \ int _ {a} ^ {b} f ^ {(7)} (x) {\ frac {P_ {7} (x)} {7!}} \, dx. \ end {выровнено}}}$

Приложения

Базельская проблема

Задача Базеля состоит в том, чтобы определить сумму

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {25}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}

Эйлер вычислил эту сумму до 20 знаков после запятой, используя всего несколько членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735 году. Это, вероятно, убедило его в том, что сумма равна $π 2 / 6$ , что он и доказал в том же году.

Суммы с многочленом

Если $f$ - многочлен, а $p$ достаточно велико, то остаточный член равен нулю. Например, если $f (x) = x 3$ , мы можем выбрать $p = 2,$ чтобы получить после упрощения

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2}.}

Аппроксимация интегралов

Формула обеспечивает средство аппроксимации конечного интеграла. Пусть $a < b$ - конечные точки интервала интегрирования. Зафиксируем $N$ , количество точек для использования в приближении, и обозначим соответствующий размер шага как $h = б - а / N - 1$ . Положим $x i = a + (i - 1) h$ , так что $x 1 = a$ и $x N = b$ . Потом:

{\ displaystyle {\ begin {align} I & = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \\ & \ sim h \ left ({\ frac {f (x_ {1})} { 2}} + f (x_ {2}) + \ cdots + f (x_ {N-1}) + {\ frac {f (x_ {N})} {2}} \ right) + {\ frac {h ^ {2}} {12}} {\ bigl [} f '(x_ {1}) - f' (x_ {N}) {\ bigr]} - {\ frac {h ^ {4}} {720} } {\ bigl [} f '' '(x_ {1}) - f' '' (x_ {N}) {\ bigr]} + \ cdots \ end {выровнено}}}

Это можно рассматривать как расширение правила трапеции путем включения поправочных членов. Обратите внимание, что это асимптотическое разложение обычно не сходится; существует некоторое $p$ , зависящее от $f$ и $h$ , такое, что члены, прошедшие порядок $p,$ быстро увеличиваются. Таким образом, оставшийся член обычно требует пристального внимания.

Формула Эйлера – Маклорена также используется для подробного анализа ошибок в численной квадратуре . Это объясняет превосходные характеристики правила трапеций для гладких периодических функций и используется в некоторых методах экстраполяции . Квадратура Кленшоу – Кертиса - это, по сути, замена переменных для приведения произвольного интеграла к интегралам периодических функций, где подход Эйлера – Маклорена очень точен (в этом частном случае формула Эйлера – Маклорена принимает форму дискретного косинусного преобразования ) . Этот прием известен как периодизирующее преобразование.

Асимптотическое разложение сумм

В контексте вычисления асимптотических разложений сумм и рядов обычно наиболее полезной формой формулы Эйлера – Маклорена является

{\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) \ sim \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + {\ frac {f (b) + f (a )} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} \ Left (f ^ {(2k-1)} (b) -f ^ {(2k-1)} (a) \ right),}

где $a$ и $b$ - целые числа. Часто расширение остается в силе даже после принятия ограничений $\to -\infty$ или $б$ $\to + \infty$ или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций, хотя сумма в левой части не может. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены через элементарные функции. Например,

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(z + k) ^ {2}}} \ sim \ underbrace {\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(z + k) ^ {2}}} \, dk} _ {= {\ dfrac {1} {z}}} + {\ frac {1} {2z ^ {2}} } + \ sum _ {t = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2t}} {z ^ {2t + 1}}}.}.

Здесь левая часть равна $ψ (1) (z)$ , а именно полигамма-функции первого порядка, определяемой формулой

{\ Displaystyle \ psi ^ {(1)} (z) = {\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} \ log \ Gamma (z);}

гамма - функция $Γ (г)$ равна $(г - 1)!$ когда $z$ - положительное целое число . Это приводит к асимптотическому разложению для $ψ (1) (z)$ . Это расширение, в свою очередь, служит в качестве отправной точки для одного из выводов точных оценок погрешности приближения Стирлинга из факторной функции.

Примеры

Если $s$ - целое число больше 1, мы имеем:

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {s}}} \ приблизительно {\ frac {1} {s-1}} + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {(s-1) n ^ {s-1}}} + {\ frac {1} {2n ^ {s}}} + \ sum _ {i = 1} {\ frac {B_ {2i}} {(2i)!}} \ left [{\ frac {(s + 2i-2)!} {(s-1)!}} - {\ frac {(s + 2i) -2)!} {(S-1)! N ^ {s + 2i-1}}} \ right].}

Собирая константы в значение дзета-функции Римана , мы можем написать асимптотическое разложение:

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {s}}} \ sim \ zeta (s) - {\ frac {1} {(s-1) n ^ {s-1}}} + {\ frac {1} {2n ^ {s}}} - \ sum _ {i = 1} {\ frac {B_ {2i}} {(2i)!}} {\ frac {(s + 2i-2)!} {(s-1)! n ^ {s + 2i-1}}}.}.}

Для $s,$ равного 2, это упрощается до

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ sim \ zeta (2) - {\ frac {1} {n}} + {\ гидроразрыв {1} {2n ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} {\ frac {B_ {2i}} {n ^ {2i + 1}}},}

или

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ sim {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {2n ^ {2}}} - {\ frac {1} {6n ^ {3}}} + {\ frac {1} {30n ^ {5} }} - {\ frac {1} {42n ^ {7}}} + \ cdots.}

При $s = 1$ соответствующий метод дает асимптотическое разложение для номеров гармоник :

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ sim \ gamma + \ log n + {\ frac {1} {2n}} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}},}

где &

gamma \approx 0,5772 ...

это постоянная Эйлера-Mascheroni .

Доказательства

Вывод математической индукцией

Мы обрисовываем аргумент, приведенный в Апостоле.

Бернулли многочлены $В п (х)$ и периодические функции Бернулли $P п (х)$ для $п = 0, 1, 2, ...$ были введены выше.

Первые несколько полиномов Бернулли:

{\ displaystyle {\ begin {align} B_ {0} (x) & = 1, \\ B_ {1} (x) & = x - {\ tfrac {1} {2}}, \\ B_ {2} (x) & = x ^ {2} -x + {\ tfrac {1} {6}}, \\ B_ {3} (x) & = x ^ {3} - {\ tfrac {3} {2}} x ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} x, \\ B_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - {\ tfrac {1} {30}}, \\ & \ vdots \ end {align}}}

Значения $B n (0)$ - это числа Бернулли $B n$ . Обратите внимание, что при $n 1$ имеем

{\ Displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0) = B_ {n} (1),}

и

п = 1

,

{\ displaystyle B_ {1} = B_ {1} (0) = - B_ {1} (1).}

Функции $P n$ согласованы с многочленами Бернулли на интервале $[0, 1]$ и периодичны с периодом 1. Кроме того, за исключением случая $n = 1$ , они также непрерывны. Таким образом,

{\ Displaystyle P_ {n} (0) = P_ {n} (1) = B_ {n} \ quad {\ text {for}} n \ neq 1.}

Пусть $k$ - целое число, и рассмотрим интеграл

{\ displaystyle \ int _ {k} ^ {k + 1} f (x) \, dx = \ int _ {k} ^ {k + 1} u \, dv,}

куда

{\ displaystyle {\ begin {align} u & = f (x), \\ du & = f '(x) \, dx, \\ dv & = P_ {0} (x) \, dx & {\ text {Since}} P_ {0} (x) & = 1, \\ v & = P_ {1} (x). \ End {выровнено}}}

Интегрируя по частям , получаем

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {k} ^ {k + 1} f (x) \, dx & = {\ bigl [} uv {\ bigr]} _ {k} ^ {k + 1} - \ int _ {k} ^ {k + 1} v \, du \\ & = {\ bigl [} f (x) P_ {1} (x) {\ bigr]} _ {k} ^ {k + 1} - \ int _ {k} ^ {k + 1} f '(x) P_ {1} (x) \, dx \\ & = B_ {1} (1) f (k + 1) -B_ { 1} (0) f (k) - \ int _ {k} ^ {k + 1} f '(x) P_ {1} (x) \, dx. \ End {выровнено}}}

Используя $B 1 (0) = - 1 / 2$ , $B 1 (1) = 1 / 2$ , и суммируя вышеизложенное от $k = 0$ до $k = n - 1$ , получаем

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, dx & = \ int _ {0} ^ {1} f (x) \, dx + \ cdots + \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx \\ & = {\ frac {f (0)} {2}} + f (1) + \ dotsb + f (n-1) + { \ frac {f (n)} {2}} - \ int _ {0} ^ {n} f '(x) P_ {1} (x) \, dx. \ end {выровнено}}}

Добавление $f (n) - f (0) / 2$ в обе стороны и переставляя, мы имеем

{\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {n} е (к) = \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, dx + {\ frac {f (n) -f (0) } {2}} + \ int _ {0} ^ {n} f '(x) P_ {1} (x) \, dx.}

Это случай $p = 1$ формулы суммирования. Чтобы продолжить индукцию, применим интегрирование по частям к члену ошибки:

{\ displaystyle \ int _ {k} ^ {k + 1} f '(x) P_ {1} (x) \, dx = \ int _ {k} ^ {k + 1} u \, dv,}

куда

{\ displaystyle {\ begin {align} u & = f '(x), \\ du & = f' '(x) \, dx, \\ dv & = P_ {1} (x) \, dx, \\ v & = {\ tfrac {1} {2}} P_ {2} (x). \ end {align}}}

Результат интегрирования по частям:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ bigl [} uv {\ bigr]} _ {k} ^ {k + 1} - \ int _ {k} ^ {k + 1} v \, du & = \ left [{\ frac {f '(x) P_ {2} (x)} {2}} \ right] _ {k} ^ {k + 1} - {\ frac {1} {2}} \ int _ { k} ^ {k + 1} f '' (x) P_ {2} (x) \, dx \\ & = {\ frac {B_ {2}} {2}} (f '(k + 1) - f '(k)) - {\ frac {1} {2}} \ int _ {k} ^ {k + 1} f' '(x) P_ {2} (x) \, dx. \ end {выровнено }}}

Суммирование от $k = 0$ до $k = n - 1$ и замена этого члена ошибки более низкого порядка приводит к $p = 2$ формуле,

{\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {п} е (к) = \ int _ {0} ^ {n} е (х) \, dx + {\ гидроразрыва {е (п) + е (0) } {2}} + {\ frac {B_ {2}} {2}} {\ bigl (} f '(n) -f' (0) {\ bigr)} - {\ frac {1} {2} } \ int _ {0} ^ {n} f '' (x) P_ {2} (x) \, dx.}

Этот процесс можно повторять. Таким образом, мы получаем доказательство формулы суммирования Эйлера – Маклорена, которое может быть формализовано с помощью математической индукции , в которой шаг индукции основан на интегрировании по частям и на тождествах для периодических функций Бернулли.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Гулд, HW; Сквайр, Уильям (1963). «Вторая формула Маклорена и ее обобщение». Амер. Математика. Ежемесячно . 70 (1): 44–52. DOI : 10.2307 / 2312783 . JSTOR 2312783 . Руководство по ремонту 0146551 .
Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2002). «Введение в числа Бернулли» .
Мартенсен, Эрих (2005). «Об обобщенной формуле Эйлера-Маклорена». З. Энгью. Математика. Мех . 85 (12): 858–863. DOI : 10.1002 / zamm.200410217 . Руководство по ремонту 2184846 .
Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . С. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Формулы интегрирования Эйлера – Маклорена" . MathWorld .

Languages

In other projects