Равносторонний треугольник - Equilateral triangle

Равносторонний треугольник
Triangle.Equateral.svg
Тип Правильный многоугольник
Ребра и вершины 3
Символ Шлефли {3}
Диаграмма Кокстера CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Группа симметрии D 3
Площадь
Внутренний угол ( градусы ) 60 °

В геометрии , равносторонний треугольник является треугольником , в котором все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным ; то есть все три внутренних угла также совпадают друг с другом и составляют 60 ° каждый. Это также правильный многоугольник , поэтому его еще называют правильным треугольником .

Основные свойства

Равносторонний треугольник. У него равные стороны ( ), равные углы ( ) и равные высоты ( ).

Обозначив общую длину сторон равностороннего треугольника как , мы можем определить с помощью теоремы Пифагора, что:

  • Площадь ,
  • Периметр
  • Радиус описанной окружности равен
  • Радиус вписанной окружности равен или
  • Геометрический центр треугольника - это центр описанных и вписанных окружностей.
  • Высота (высота) с любой стороны является

Обозначая радиус описанной окружности как R , мы можем определить с помощью тригонометрии, что:

  • Площадь треугольника равна

Многие из этих величин имеют простую связь с высотой ("h") каждой вершины с противоположной стороны:

  • Площадь
  • Высота центра с каждой стороны или апофемы равна
  • Радиус круга, описывающего три вершины, равен
  • Радиус вписанной окружности равен

В равностороннем треугольнике высота, биссектриса угла, середина перпендикуляра и медиана каждой стороны совпадают.

Характеристики

Треугольник ABC , у которого есть стороны a , b , c , полупериметр s , площадь T , exradii r a , r b , r c (касательные к a , b , c соответственно), а R и r - радиусы описанной окружности. и вписанная окружность соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда истинно любое из утверждений в следующих девяти категориях. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, напрямую подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник.

Стороны

Полупериметр

Углы

Площадь

  • ( Weitzenböck )

Circumradius, inradius и exradii

Равные чевианы

Три вида чевианов совпадают и равны для равносторонних треугольников (и только для них):

Совпадающие центры треугольников

Каждый треугольник центр равностороннего треугольника совпадает с его центроидом , что означает, что равносторонний треугольник - единственный треугольник без линии Эйлера, соединяющей некоторые из центров. Для некоторых пар центров треугольников их совпадения достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. Особенно:

Шесть треугольников, образованных разбиением медианами

Для любого треугольника три медианы делят его на шесть меньших треугольников.

  • Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус.
  • Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры описанной окружности любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида.

Очки в плоскости

  • Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки P на плоскости с расстояниями p , q и r до сторон треугольника и расстояниями x , y и z до его вершин,

Известные теоремы

Наглядное доказательство теоремы Вивиани
1. Показаны ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника ABC.
2. Линии DE, FG и HI, параллельные AB, BC и CA соответственно, определяют меньшие треугольники PHE, PFI и PDG.
3. Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоту можно повернуть вертикально.
4. Поскольку PGCH представляет собой параллелограмм, треугольник PHE можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что высота суммируется с высотой треугольника ABC.

Теорема Морли о трехсекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных трехугольников образуют равносторонний треугольник.

Теорема Наполеона утверждает, что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника, либо все наружу, либо все внутрь, центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним.

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки P в равностороннем треугольнике с расстояниями d , e и f от сторон и высотой h ,

независимо от расположения P .

Теорема Помпейу утверждает, что если P - произвольная точка на плоскости равностороннего треугольника ABC, но не на его описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длиной PA , PB и PC . То есть PA , PB и PC удовлетворяют неравенству треугольника, что сумма любых двух из них больше третьего. Если P находится на описанной окружности, то сумма двух меньших из них равна самому длинному, и треугольник выродился в прямую, этот случай известен как теорема Ван Шутена .

Прочие свойства

По неравенству Эйлера равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение R / r радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника: в частности, R / r = 2.

Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данный круг равносторонний; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данного круга является равносторонним.

Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника больше, чем у любого неравностороннего треугольника.

Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника больше, чем у любого другого треугольника.

Если отрезок разделяет равносторонний треугольник на две области с равными периметрами и площадями A 1 и A 2 , то

Если треугольник помещен в комплексную плоскость с комплексными вершинами z 1 , z 2 и z 3 , то для любого невещественного кубического корня из 1 треугольник будет равносторонним тогда и только тогда, когда

Для точки P внутри равностороннего треугольника отношение суммы ее расстояний от вершин к сумме расстояний от сторон больше или равно 2, равенство сохраняется, когда P является центроидом. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы равным 2. Это неравенство Эрдеша – Морделла ; более сильным вариантом этого является неравенство Барроу , которое заменяет перпендикулярные расстояния до сторон на расстояния от P до точек, где биссектрисы угловAPB , ∠ BPC и ∠ CPA пересекают стороны ( A , B и C являются вершины).

Для любой точки P на плоскости с расстояниями p , q и t от вершин A , B и C соответственно,

Для любой точки P на плоскости с расстояниями p , q и t от вершин

а также

где R - описанный радиус, а L - расстояние между точкой P и центром тяжести равностороннего треугольника.

Для любой точки P на вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями p , q и t от вершин

а также

Для любой точки P на малой дуге BC описанной окружности с расстояниями p , q и t от A, B и C соответственно,

а также

кроме того, если точка D на стороне BC делит PA на сегменты PD и DA, причем DA имеет длину z, а PD - длину y , то

что также равно, если tq ; а также

которое является оптическим уравнением .

Существует множество неравенств треугольника, которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Равносторонний треугольник - наиболее симметричный треугольник, имеющий 3 линии отражения и симметрию вращения 3-го порядка относительно его центра. Ее группа симметрии является группа диэдра порядка 6 D 3 .

Равносторонние треугольники - единственные треугольники, у которых эллипс Штейнера представляет собой круг (в частности, это вписанная окружность).

Равносторонний треугольник с целыми сторонами - единственный треугольник с целыми сторонами и тремя рациональными углами, измеряемыми в градусах.

Равносторонний треугольник - единственный остроугольный треугольник, который похож на свой ортогональный треугольник (с вершинами в основании высот ) ( семиугольный треугольник является единственным тупым треугольником ).

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников.

Равносторонние треугольники встречаются во многих других геометрических конструкциях. Пересечение окружностей, центры которых находятся на расстоянии радиуса друг от друга, представляет собой пару равносторонних арок, в каждую из которых можно вписать равносторонний треугольник. Они образуют грани правильных и однородных многогранников . Три из пяти Платоновых тел состоят из равносторонних треугольников. В частности, правильный тетраэдр имеет четыре равносторонних треугольника для граней и может считаться трехмерным аналогом формы. Плоскость может быть выложена равносторонними треугольниками, образуя треугольную мозаику .

Геометрическая конструкция

Построение равностороннего треугольника с циркулем и линейкой

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейки и циркуля , потому что 3 - простое число Ферма . Нарисуйте прямую линию, поместите точку циркуля на один конец линии и проведите дугу от этой точки до другой точки отрезка. Повторите то же самое с другой стороной линии. Наконец, соедините точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка.

Альтернативный метод - нарисовать круг с радиусом r , поместить точку циркуля на круг и нарисовать еще один круг с тем же радиусом. Два круга пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения.

В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis .

Доказательство того, что полученная фигура является равносторонним треугольником, является первым предложением в Книге I Элементов Евклида .

Равносторонний треугольник, вписанный в круг.gif

Вывод формулы площади

Формула площади в терминах длины стороны a может быть получена непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.

Использование теоремы Пифагора

Площадь треугольника равна половине одной стороны а раз превышает высоту ч с той стороны:

Равносторонний треугольник со стороной 2 имеет высоту 3 , как синус 60 ° составляет 3 /2 .

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованного высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания a , а гипотенуза - это сторона a равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора.

так что

Подстановка h в формулу площади (1/2) ah дает формулу площади равностороннего треугольника:

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию , площадь треугольника с любыми двумя сторонами a и b и углом C между ними равна

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 °, поэтому

Синус 60 ° равен . Таким образом

так как все стороны равностороннего треугольника равны.

В культуре и обществе

Равносторонние треугольники часто появлялись в рукотворных конструкциях:

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Семья А п B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-угольник Шестиугольник Пентагон
Равномерный многогранник Тетраэдр ОктаэдрКуб Демикуб ДодекаэдрИкосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеекТессеракт Demitesseract 24-элементный 120 ячеек600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс5-куб. 5-полукуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс6-куб. 6-полукуб 1 222 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс7-куб 7-полукруглый 1 322 313 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс8-куб. 8-полукруглый 1 422 414 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс9-куб 9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс10-куб 10-полукуб
Равномерное n - многогранник n - симплекс n - ортоплексn - куб n - demicube 1 к22 к1к 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранниковРегулярный многогранникСписок правильных многогранников и соединений