Уравнение времени - Equation of time

Уравнение времени - над осью солнечные часы будут отображаться быстрее по сравнению с часами, показывающими среднее местное время, а под осью солнечные часы будут отображаться медленными .

Этот график показывает, на сколько минут часы опережают (+) или отстают (-) от видимого солнца. См. Раздел « Знак уравнения времени » ниже.

Уравнение времени описывает расхождение между двумя видами солнечного времени . Слово уравнение используется в средневековом смысле «примирить различие». Два раза , которые отличаются являются очевидным солнечным временем , которые непосредственно отслеживает суточное движение от Солнца , а значит , солнечное время , которое отслеживает теоретическое среднее Солнце с равномерным движением вдоль небесного экватора. Видимое солнечное время может быть получено путем измерения текущего положения ( часовой угол ) Солнца, как показано (с ограниченной точностью) солнечными часами . Среднее солнечное время для одного и того же места будет временем, указанным устойчивыми часами, так что в течение года их отличия от видимого солнечного времени будут иметь среднее значение ноль.

Уравнение времени - это восточный или западный компонент аналеммы , кривой, представляющей угловое смещение Солнца от его среднего положения на небесной сфере, если смотреть с Земли. Уравнение значений времени для каждого дня года, составленное астрономическими обсерваториями , широко перечислялось в альманахах и эфемеридах .

Концепция

Часы со вспомогательным циферблатом, отображающим уравнение времени. Площадь Данте, Неаполь (1853 г.).

В течение года уравнение времени меняется, как показано на графике; его изменение от года к году невелико. Видимое время и солнечные часы могут быть впереди (быстро) на целых 16  минут  33  секунды (примерно 3 ноября) или отставать (медленные) на целых 14 минут 6 секунд (примерно 11 февраля). Уравнение времени имеет нули около 15 апреля, 13 июня, 1 сентября и 25 декабря. Если не учитывать очень медленные изменения орбиты и вращения Земли, эти события повторяются в одно и то же время каждый тропический год . Однако из-за нецелого количества дней в году эти даты могут меняться на день или около того из года в год.

График уравнения времени очень хорошо аппроксимируется суммой двух синусоидальных кривых, одна с периодом в год, а другая с периодом в полгода. Кривые отражают два астрономических эффекта, каждый из которых вызывает различную неоднородность в видимом суточном движении Солнца относительно звезд:

• наклонение от эклиптики (плоскости годового орбитального движения Земли вокруг Солнца), которая наклонена примерно 23,44 градусов по отношению к плоскости Земли экватора ; а также
• эксцентриситет из орбиты Земли вокруг Солнца, что составляет около 0,0167.

Уравнение времени постоянно только для планеты с нулевым наклоном оси и нулевым эксцентриситетом орбиты . На Марсе разница между солнечными часами и часами может достигать 50 минут из-за значительно большего эксцентриситета его орбиты. Планета Уран , имеющая чрезвычайно большой наклон оси, имеет уравнение времени, в соответствии с которым ее дни начинаются и заканчиваются на несколько часов раньше или позже, в зависимости от того, где она находится на своей орбите.

Знак уравнения времени

Военно-морская обсерватория США утверждает: «Уравнение времени - это разница между кажущимся солнечным временем минус среднее солнечное время », т. Е. Если солнце опережает время, знак положительный, а если часы опережают солнце, знак отрицательный. . Уравнение времени показано на верхнем графике для периода чуть более года. Нижний график (который охватывает ровно один календарный год) имеет те же абсолютные значения, но знак перевернут, поскольку он показывает, насколько часы опережают солнце. Публикации могут использовать любой формат - в англоязычном мире более распространено первое использование, но не всегда. Любой, кто использует опубликованную таблицу или график, должен сначала проверить использование их знаков. Часто это объясняется примечанием или подписью. В противном случае использование может быть определено, зная, что в течение первых трех месяцев каждого года часы опережают солнечные часы. Мнемонические «NYSS» (произносится как «хорошо»), на «новый год, солнечные часы медленно», может быть полезным. Некоторые опубликованные таблицы избегают двусмысленности, не используя знаки, а показывая вместо них такие фразы, как «солнечные часы быстро» или «солнечные часы медленно».

В этой и других статьях английской Википедии положительное значение уравнения времени означает, что солнечные часы опережают часы.

История

Фраза «уравнение времени» происходит от средневекового латинского aequātiō diērum , что означает «уравнение дней» или «разница дней». Слово aequātiō (и среднеанглийское уравнение ) использовалось в средневековой астрономии для обозначения разницы между наблюдаемым и ожидаемым значением (как в уравнении центра, уравнении равноденствий, уравнении эпицикла). Джеральд Дж. Тумер использует средневековый термин «уравнение» от латинского aequātiō для обозначения разницы Птолемея между средним солнечным временем и кажущимся солнечным временем. Иоганн Кеплер определил это уравнение как «разницу между числом градусов и минут средней аномалии и градусами и минутами исправленной аномалии».

Разница между кажущимся солнечным временем и средним временем была признана астрономами с древних времен, но до изобретения точных механических часов в середине 17 века солнечные часы были единственными надежными часами, а кажущееся солнечное время было общепринятым стандартом. Среднее время не вытесняло очевидное время в национальных альманахах и эфемеридах до начала 19 века.

Ранняя астрономия

Неравномерное ежедневное движение Солнца было известно вавилонянам.

Книга III из Птолемея «s Альмагеста (второй века), в первую очередь касается Солнца аномалии, и он табличное уравнения времени в его наглядных таблицах . Птолемей обсуждает поправку, необходимую для преобразования пересечения Солнца по меридиану в среднее солнечное время, и принимает во внимание неравномерное движение Солнца по эклиптике и поправку на меридиан для эклиптической долготы Солнца. Он заявляет, что максимальная поправка - 8+1 ⁄ 3  градуса времени или 5 ⁄ 9 часа (Книга III, глава 9). Однако он не считал этот эффект актуальным для большинства расчетов, поскольку он был незначительным для медленно движущихся светил и применил его только к самому быстро движущемуся светилу - Луне.

Основываясь на обсуждении Птолемея в Альмагесте , значения для уравнения времени (араб. Taʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) были стандартными для таблиц ( zij ) в трудах средневековой исламской астрономии .

Ранний современный период

Описание кажущегося и среднего времени было дано Невилом Маскелайном в Морском альманахе за 1767 год: «Кажущееся время - это время, рассчитываемое непосредственно по Солнцу, будь то наблюдение прохождения им меридиана или наблюдаемое восходом или заходом солнца . На этот раз отличается от того, что показывают часы и часы, хорошо регулируемые на Земле, которые называются приравненным или средним временем ». Далее он сказал, что в море кажущееся время, полученное при наблюдении за Солнцем, должно быть скорректировано уравнением времени, если наблюдателю требуется среднее время.

Первоначально правильным временем считалось то, которое показывают солнечные часы. Когда были введены хорошие механические часы, они согласовывались с солнечными часами только около четырех дат каждый год, поэтому уравнение времени использовалось, чтобы «скорректировать» их показания, чтобы получить солнечные часы. Некоторые часы, называемые часами по уравнениям , содержат внутренний механизм для выполнения этой «коррекции». Позже, когда часы стали доминирующими в хороших часах, некорректированное время, то есть «среднее время», стало общепринятым стандартом. Показания солнечных часов, когда они использовались, тогда корректировались и часто все еще корректируются с помощью уравнения времени, которое использовалось в обратном направлении по сравнению с предыдущим, чтобы получить время на часах. Поэтому на многих солнечных часах выгравированы таблицы или графики уравнения времени, позволяющие пользователю внести эту поправку.

Уравнение времени исторически использовалось для установки часов . Между изобретением точных часов в 1656 году и появлением коммерческих служб распределения времени около 1900 года существовало три распространенных наземных способа установки часов. Во-первых, в необычном случае присутствия астронома было отмечено прохождение солнца через меридиан (момент, когда солнце прошло над головой); Затем часы были установлены на полдень и смещены на количество минут, заданное уравнением времени для этой даты. Во-вторых, что гораздо чаще, считывали солнечные часы, сверялись с таблицей уравнения времени (обычно выгравированной на циферблате) и устанавливали часы или часы соответственно. Они вычисляли среднее время, хотя и местное для точки долготы . Третий метод не использовал уравнение времени; вместо этого он использовал звездные наблюдения, чтобы определить звездное время , используя взаимосвязь между звездным временем и средним солнечным временем .

Первые таблицы, которые дают уравнение времени по существу правильным образом, были опубликованы в 1665 году Христианом Гюйгенсом . Гюйгенс, следуя традициям Птолемея и средневековых астрономов в целом, установил свои значения для уравнения времени так, чтобы все значения были положительными в течение года.

Другой набор таблиц был опубликован в 1672–1673 годах Джоном Флемстидом , который позже стал первым королевским астрономом новой Гринвичской обсерватории . Похоже, это были первые по существу правильные таблицы, которые давали сегодняшнее значение среднего времени (ранее, как отмечалось выше, знак уравнения всегда был положительным, и он устанавливался на ноль, когда кажущееся время восхода солнца было самым ранним относительно часов. время восхода солнца). Флемстид принял соглашение о табулировании и названии поправки в том смысле, что она должна применяться к кажущемуся времени для получения среднего времени.

Уравнение времени, правильно основанное на двух основных компонентах неравномерности видимого движения Солнца, не было общепринятым до тех пор, пока не были опубликованы таблицы Флэмстида 1672–1673 годов вместе с посмертным изданием работ Иеремии Хоррокса .

Роберт Гук (1635–1703), математически проанализировавший универсальный шарнир , первым заметил, что геометрия и математическое описание (несекулярного) уравнения времени и универсального шарнира идентичны, и предложил использовать универсальный шарнир. стык в конструкции «механических солнечных часов».

18 и начало 19 веков

Поправки в таблицах Флемстида 1672–1673 и 1680 гг. Дали среднее время, вычисленное по существу правильно и без необходимости дальнейшего смещения. Но численные значения в таблицах уравнения времени с тех пор несколько изменились из-за трех факторов:

• общее повышение точности, которое произошло благодаря усовершенствованию методов астрономических измерений,
• медленные внутренние изменения в уравнении времени, происходящие в результате небольших долгосрочных изменений наклона и эксцентриситета Земли (влияющих, например, на расстояние и даты перигелия ), и
• включение небольших источников дополнительных изменений в видимом движении Солнца, неизвестных в 17 веке, но обнаруженных с 18 века и далее, включая эффекты Луны, Венеры и Юпитера.

Солнечные часы, изготовленные в 1812 году компанией Whitehurst & Son , с круговой шкалой, показывающей уравнение коррекции времени. Сейчас это выставлено в музее и картинной галерее Дерби .

С 1767 по 1833 год в Британском морском альманахе и астрономических эфемеридах уравнение времени составлялось в том смысле, что «прибавлять или вычитать (по указанию) количество минут и секунд, установленных относительно кажущегося времени или от него, чтобы получить среднее время». Время в Альманахе было очевидным по солнечному времени, потому что время на борту корабля чаще всего определялось путем наблюдения за Солнцем. Эта операция будет выполнена в том необычном случае, когда потребуется среднее солнечное время наблюдения. В выпусках с 1834 года все время считалось средним солнечным временем, потому что к тому времени время на борту корабля все чаще определялось морскими хронометрами . Следовательно, инструкции заключались в том, чтобы прибавить или вычесть (как указано) количество минут, указанное к среднему времени или из него, чтобы получить кажущееся время. Таким образом, сложение соответствовало положительному положению уравнения, а вычитание отрицательному результату.

Поскольку видимое суточное движение Солнца составляет один оборот в день, то есть на 360 ° каждые 24 часа, а само Солнце появляется в небе в виде диска около 0,5 °, простые солнечные часы могут быть прочитаны с максимальной точностью около одного. минута. Поскольку уравнение времени имеет диапазон около 33 минут, разницу между временем на солнечных часах и часами нельзя игнорировать. В дополнение к уравнению времени необходимо также внести поправки из-за своего расстояния от меридиана местного часового пояса и летнего времени , если таковое имеется.

Крошечное увеличение среднего солнечного дня из-за замедления вращения Земли примерно на 2 мс в день за столетие, которое в настоящее время накапливается примерно до 1 секунды каждый год, не принимается во внимание в традиционных определениях уравнения время, поскольку это незаметно на уровне точности солнечных часов.

Основные компоненты уравнения

Эксцентриситет земной орбиты

Уравнение времени (красная сплошная линия) и две его основные составляющие изображены отдельно: часть из-за наклона эклиптики (розовато-лиловая пунктирная линия) и часть из-за изменяющейся видимой скорости Солнца вдоль эклиптики из-за эксцентриситета орбиты Земли. (темно-синяя пунктирная линия)

Земля вращается вокруг Солнца. Если смотреть с Земли, кажется, что Солнце совершает один оборот вокруг Земли через фоновые звезды за один год. Если бы Земля вращалась вокруг Солнца с постоянной скоростью по круговой орбите в плоскости, перпендикулярной оси Земли, то Солнце достигло бы кульминации каждый день в одно и то же время и было бы идеальным хранителем времени (за исключением очень небольшого эффекта замедления вращения Земли). Но орбита Земли представляет собой эллипс, не центрированный вокруг Солнца, и его скорость колеблется от 30,287 до 29,291 км / с, в соответствии с законами движения планет Кеплера , и ее угловая скорость также изменяется, и поэтому Солнце, кажется, движется быстрее. (относительно звезд фона) в перигелии (в настоящее время около 3 января) и медленнее в афелии полгода спустя.

В этих крайних точках этот эффект изменяет видимые солнечные сутки на 7,9 с / день от их среднего значения. Следовательно, меньшие суточные различия в скорости в другие дни накапливаются до этих точек, отражая, как планета ускоряется и замедляется по сравнению со средним значением. В результате эксцентриситет земной орбиты вносит периодическое изменение, которое (в первом приближении) представляет собой синусоидальную волну с амплитудой 7,66 мин и периодом в один год в уравнение времени. Нулевые точки достигаются в перигелии (начало января) и афелии (начало июля); экстремальные значения приходятся на начало апреля (отрицательное) и начало октября (положительное).

Наклон эклиптики

Солнце и планеты в местный кажущийся полдень (Эклиптика в красном, Солнце и Меркурий в желтом, Венера в белом, Марс в красном, Юпитер в желтом с красным пятном, Сатурн в белом с кольцами).

Даже если бы орбита Земли была круговой, воспринимаемое движение Солнца по нашему небесному экватору все равно не было бы однородным. Это является следствием наклона оси вращения Земли по отношению к плоскости ее орбиты или, что то же самое, наклона эклиптики (путь, по которому Солнце, кажется, идет в небесной сфере ) по отношению к небесному экватору . Проекция этого движения на наш небесный экватор , вдоль которого измеряется «время часов», является максимальной в период солнцестояний , когда годовое движение Солнца параллельно экватору (вызывая усиление воспринимаемой скорости) и приводит в основном к изменению в прямом восхождении . Это минимум во время равноденствий , когда видимое движение Солнца более наклонное и дает большее изменение склонения , оставляя меньше для компонента прямого восхождения , который является единственным компонентом, который влияет на продолжительность солнечных дней. Практической иллюстрацией наклона является то, что суточный сдвиг тени, отбрасываемой Солнцем на солнечные часы даже на экваторе, меньше ближе к солнцестоянию и больше ближе к равноденствиям. Если бы этот эффект действовал отдельно, то дни были бы до 24 часов 20,3 секунды (измеренные с солнечного полудня до солнечного полудня) около солнцестояний и на 20,3 секунды короче, чем 24 часа около равноденствий.

На рисунке справа мы можем видеть месячное изменение видимого наклона плоскости эклиптики в солнечный полдень, если смотреть с Земли. Это изменение связано с очевидной прецессией вращающейся Земли в течение года, если смотреть на Солнце в солнечный полдень.

С точки зрения уравнения времени, наклон эклиптики приводит к вкладу вариации синусоидальной волны с амплитудой 9,87 минут и периодом в полгода в уравнение времени. Нулевые точки этой синусоиды достигаются в дни равноденствий и солнцестояний, а экстремумы приходятся на начало февраля и августа (отрицательные) и начало мая и ноября (положительные).

Светские эффекты

Два вышеупомянутых фактора имеют разные длины волн, амплитуды и фазы, поэтому их совокупный вклад представляет собой нерегулярную волну. В эпоху 2000 это значения (в минутах и ​​секундах с датами UT ):

ET = кажущийся - средний. Положительный результат означает: Солнце бежит быстро и достигает своей кульминации раньше, или солнечные часы опережают среднее время. Небольшие ежегодные колебания возникают из-за наличия високосных лет, которые сбрасываются каждые 4 года. Точная форма кривой уравнения времени и связанная с ней аналемма медленно меняются на протяжении веков из-за вековых изменений как эксцентриситета, так и наклона. В настоящий момент оба показателя медленно уменьшаются, но они увеличиваются и уменьшаются в течение сотен тысяч лет.

В более коротких временных масштабах (тысячи лет) сдвиги в датах равноденствия и перигелия будут более значительными. Первый вызван прецессией и сдвигает точку равноденствия назад по сравнению со звездами. Но его можно проигнорировать в текущем обсуждении, поскольку наш григорианский календарь построен таким образом, чтобы сохранить дату весеннего равноденствия на 20 марта (по крайней мере, с достаточной точностью для нашей цели здесь). Перигелий смещается вперед примерно на 1,7 дня в столетие. В 1246 году перигелий произошел 22 декабря, в день солнцестояния, поэтому две участвующие волны имели общие нулевые точки, а уравнение временной кривой было симметричным: в астрономических алгоритмах Миус дает экстремумы февраля и ноября в 15 м 39 с, а также май и Июльские 4 м 58 с. До этого февральский минимум был больше ноябрьского максимума, а майский максимум - июльский. Фактически, в годы до -1900 (1901 г. до н.э.) майский максимум был больше, чем ноябрьский максимум. В году –2000 (2001 г. до н.э.) максимум в мае был +12 минут и пара секунд, а максимум в ноябре был чуть меньше 10 минут. Секулярное изменение становится очевидным, если сравнить текущий график уравнения времени (см. Ниже) с графиком 2000-летней давности, например, построенным на основе данных Птолемея.

Графическое представление

Анимация, показывающая уравнение времени и путь аналеммы за один год.

Практическое использование

Если гномон (отбрасывающий тень объект) представляет собой не край, а точку (например, отверстие в пластине), тень (или пятно света) будет вычерчивать кривую в течение дня. Если тень отбрасывается на плоскую поверхность, эта кривая будет коническим сечением (обычно гиперболой), поскольку круг движения Солнца вместе с точкой гномона определяют конус. В период весеннего и осеннего равноденствий конус вырождается в плоскость, а гипербола - в линию. С другой гиперболой для каждого дня, на каждой гиперболе могут быть поставлены часовые метки, которые включают любые необходимые исправления. К сожалению, каждая гипербола соответствует двум разным дням, по одному в каждой половине года, и эти два дня потребуют разных корректировок. Удобный компромисс - провести линию для «среднего времени» и добавить кривую, показывающую точное положение теневых точек в полдень в течение года. Эта кривая примет форму восьмерки и известна как аналемма . Сравнивая аналемму со средней полуденной линией, можно определить величину поправки, которая обычно применяется в этот день.

Уравнение времени используется не только в солнечных часах и подобных устройствах, но и во многих приложениях солнечной энергии . Такие машины, как солнечные трекеры и гелиостаты, должны двигаться в зависимости от уравнения времени.

Гражданское время - это местное среднее время для меридиана, который часто проходит рядом с центром часового пояса и может быть дополнительно изменен переходом на летнее время . Когда необходимо найти кажущееся солнечное время, которое соответствует данному гражданскому времени, необходимо учитывать разницу в долготе между интересующим местом и меридианом часового пояса, летнее время и уравнение времени.

Расчет уравнения времени

Уравнение времени получается из опубликованной таблицы или графика. Для дат в прошлом такие таблицы составляются на основе исторических измерений или расчетов; для будущих дат, конечно, можно только рассчитать таблицы. В таких устройствах, как гелиостаты с компьютерным управлением, компьютер часто запрограммирован на вычисление уравнения времени. Расчет может быть числовым или аналитическим. Первые основаны на численном интегрировании дифференциальных уравнений движения, включая все существенные гравитационные и релятивистские эффекты. Результаты имеют точность лучше 1 секунды и являются основой для современных данных альманаха. Последние основаны на решении, которое включает только гравитационное взаимодействие между Солнцем и Землей, проще, но не так точно, как первое. Его точность можно улучшить, добавив небольшие поправки.

Следующее обсуждение описывает достаточно точный (согласованный с данными альманаха с точностью до 3 секунд в широком диапазоне лет) алгоритм уравнения времени, который хорошо известен астрономам. В нем также показано, как получить простую приближенную формулу (с точностью до 1 минуты на большом интервале времени), которую можно легко вычислить с помощью калькулятора, и дано простое объяснение явления, которое использовалось ранее в этой статье.

Математическое описание

Точное определение уравнения времени:

EOT = GHA - GMHA

Величины, входящие в это уравнение, следующие:

• EOT - разница во времени между видимым солнечным временем и средним солнечным временем ;
• ГСГ, часовой угол по Гринвичу видимого (фактического) Солнца;
• GMHA = всемирное время - смещение, средний часовой угол по Гринвичу среднего (фиктивного) Солнца.

Здесь время и угол - это величины, которые связаны такими факторами, как: 2 π  радиан = 360 ° = 1 день = 24 часа. Разницу, EOT, можно измерить, поскольку GHA - это угол, который можно измерить, а всемирное время , UT, - это шкала для измерения времени. Смещение на π = 180 ° = 12 часов от UT необходимо, потому что UT равно нулю в среднюю полночь, а GMHA = 0 в среднюю полдень. И ГСГ, и ГСГ, как и все физические углы, имеют математическую, но не физическую прерывность в их соответствующий (кажущийся и средний) полдень. Несмотря на математические разрывы его компонентов, EOT определяется как непрерывная функция путем добавления (или вычитания) 24 часов в небольшой интервал времени между разрывами в GHA и GMHA.

Согласно определениям углов на небесной сфере GHA = GAST - α (см. Часовой угол ),
где:

• GAST - это кажущееся звездное время по Гринвичу (угол между кажущимся весенним равноденствием и меридианом в плоскости экватора). Это известная функция UT.
• α - прямое восхождение видимого Солнца (угол между кажущимся весенним равноденствием и фактическим Солнцем в плоскости экватора).

При подстановке в уравнение времени это

EOT = GAST - α - UT + смещение

Подобно формуле для ГСГ выше, можно написать GMHA = GAST - α _M , где последний член - прямое восхождение среднего Солнца. Уравнение часто записывается в этих терминах как

EOT = α _M - α

где α _M = GAST - UT + смещение . В этой формулировке измерение или вычисление EOT в определенное время зависит от измерения или вычисления α в это время. И α, и α _M изменяются от 0 до 24 часов в течение года. Первый имеет разрыв во время, зависящий от значения UT, а второй - в несколько более позднее время. Как следствие, при таком расчете EOT имеет два искусственных разрыва. Они оба могут быть удалены путем вычитания 24 часа из значения СРВ в небольшой промежуток времени после разрыва в альфа и до одного в & alpha ; _М . Результирующий EOT является непрерывной функцией времени.

Другое определение, обозначенное E, чтобы отличить его от EOT, - это

E = GMST - α - UT + смещение

Здесь GMST = GAST - eqeq , это среднее звездное время по Гринвичу (угол между средним весенним равноденствием и средним Солнцем в плоскости экватора). Следовательно, GMST - это приближение к GAST (а E - приближение к EOT); eqeq называется уравнением равноденствий и возникает из-за колебания или нутации оси вращения Земли относительно ее прецессионного движения. Поскольку амплитуда нутационного движения составляет всего около 1,2 с (18 дюймов по долготе), разницу между EOT и E можно игнорировать, если не интересует субсекундная точность.

Третье определение, обозначаемое Δ t, чтобы отличать его от EOT и E , теперь называется уравнением эфемеридного времени (до различия, которое теперь проводится между EOT, E и Δ t, последнее было известно как уравнение времени) является

Δ t = Λ - α

здесь Λ - эклиптическая долгота среднего Солнца (угол от среднего весеннего равноденствия до среднего Солнца в плоскости эклиптики ).

Разница Λ - (GMST - UT + смещение) составляет 1,3 с с 1960 по 2040 год. Следовательно, в этом ограниченном диапазоне лет Δ t является приближением к EOT, ошибка которого находится в диапазоне от 0,1 до 2,5 с в зависимости от поправки на долготу в уравнение равноденствий; для многих целей, например для корректировки солнечных часов, этой точности более чем достаточно.

Расчет прямого восхождения

Прямое восхождение и, следовательно, уравнение времени могут быть вычислены с помощью теории двух тел Ньютона небесного движения, в которой тела (Земля и Солнце) описывают эллиптические орбиты вокруг своего общего центра масс. Используя эту теорию, уравнение времени становится

Δ t = M + λ _p - α

где появляются новые углы

• M = 2π ( t - t _p )/т _Y, - средняя аномалия , угол от перицентра эллиптической орбиты до среднего Солнца; ее диапазон составляет от 0 до 2 П как т возрастает с т _р к т _р + т _У ;
• t _Y =365,259 6358  дней - продолжительность аномального года : временной интервал между двумя последовательными проходами периапсиса;
• λ _p = Λ - M , - эклиптическая долгота перицентра;
• t - динамическое время , независимая переменная в теории. Здесь предполагается, что оно идентично непрерывному времени, основанному на UT (см. Выше), но при более точных вычислениях ( E или EOT) необходимо учитывать небольшую разницу между ними, а также различие между UT1 и UTC.
• t _p - значение t в перицентре.

Для завершения расчета требуются три дополнительных угла:

• E , эксцентрическая аномалия Солнца(обратите внимание, что это отличается от M );
• ν - истинная аномалия Солнца;
• λ = ν + λ _p , истинная долгота Солнца на эклиптике.

Небесная сфера и эллиптическая орбита Солнца с точки зрения геоцентрического наблюдателя, смотрящего перпендикулярно эклиптике, показывают 6 углов ( M , λ _p , α , ν , λ , E ), необходимых для расчета уравнения времени. Для наглядности рисунки не в масштабе.

Все эти углы показаны на рисунке справа, который показывает небесную сферу и эллиптическую орбиту Солнца, видимую с Земли (такая же, как орбита Земли, если смотреть со стороны Солнца). На этом рисунке ε - наклон , а e = √ 1 - ( b / a ) ² - эксцентриситет эллипса.

Теперь, имея значение 0 ≤ M ≤ 2π , можно вычислить α ( M ) с помощью следующей известной процедуры:

Сначала, учитывая M , вычислите E из уравнения Кеплера :

M = E - e sin E

Хотя это уравнение не может быть решено точно в замкнутой форме, значения E ( M ) могут быть получены из бесконечных (степенных или тригонометрических) рядов, графическими или численными методами. В качестве альтернативы обратите внимание, что для e = 0 , E = M и по итерации:

E ≈ M + е грех М .

Это приближение можно улучшить при малых e , повторяя снова:

E ≈ M + e sin M +1/2е ² грех 2 м ,

и продолжающаяся итерация дает последовательно более высокие члены разложения в степенной ряд по e . Для малых значений e (намного меньше 1) два или три члена ряда дают хорошее приближение для E ; чем меньше e , тем лучше приближение.

Затем, зная E , вычислите истинную аномалию ν из соотношения эллиптической орбиты

${\ displaystyle \ nu = 2 \ tan ^ {- 1} \ left ({\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ tan {\ tfrac {1} {2}} E \ right )}$

Правильная ветвь многозначной функции tan ⁻¹ x для использования - это та, которая делает ν непрерывной функцией E ( M ), начиная с ν _{E = 0} = 0 . Таким образом, для 0 ≤ E <π используйте tan ⁻¹ x = Tan ⁻¹ x , а для π < E ≤ 2π используйте tan ⁻¹ x = Tan ⁻¹ x + π . При значении конкретных Е = π , для которых аргумент загара бесконечен, использование ν = E . Здесь Tan ⁻¹ x - главная ветвь, | Tan ⁻¹ x | <π/2; функция, возвращаемая калькуляторами и компьютерными приложениями. В качестве альтернативы, эта функция может быть выражена в виде ряда Тейлора в е , первые три члена которого следующие:

ν ≈ E + e sin E +1/4е ² грех 2 E .

Для малых e это приближение (или даже только первые два члена) хорошее. Комбинируя приближение для E ( M ) с этим для ν ( E ), получаем

ν ≈ M + 2 e sin M +5/4е ² грех 2 м .

Отношение ν ( M ) называется уравнением центра ; записанное здесь выражение является вторым приближением по e . Для небольшого значения e, которое характеризует орбиту Земли, это дает очень хорошее приближение для ν ( M ) .

Затем, зная ν , вычислим λ из его определения:

λ = ν + λ _p

Значение λ изменяется нелинейно с M, поскольку орбита имеет эллиптическую форму, а не круговую. Из приближения для ν :

λ ≈ M + λ _p + 2 e sin M +5/4е ² грех 2 м .

Наконец, зная λ, вычислите α из соотношения для прямоугольного треугольника на небесной сфере, показанного выше.

α = tan ⁻¹ (cos ε tan λ )

Обратите внимание, что квадрант α совпадает с квадрантом λ , поэтому уменьшите λ до диапазона от 0 до 2 π и напишите

α = Tan ⁻¹ (cos ε tan λ ) + k π ,

где k равно 0, если λ находится в квадранте 1, это 1, если λ находится в квадранте 2 или 3, и 2, если λ находится в квадранте 4. Для значений, при которых tan бесконечен, α = λ .

Хотя приблизительные значения для α могут быть получены из усеченного ряда Тейлора, как и для ν , более эффективно использовать уравнение

α = λ - sin ⁻¹ [ y sin ( α + λ )]

где y = tan ² (ε/2) . Обратите внимание, что для ε = y = 0 , α = λ и повторяется дважды:

α ≈ λ - y sin 2 λ +1/2у ² грех 4 λ .

Уравнение времени

Уравнение времени получается путем подстановки результата вычисления прямого восхождения в формулу уравнения времени. Здесь используется Δ t ( M ) = M + λ _p - α [ λ ( M )] ; частично потому, что небольшие поправки (порядка 1 секунды), которые оправдывали бы использование E , не включены, и частично потому, что цель состоит в том, чтобы получить простое аналитическое выражение. Использование двухчленных приближений для λ ( M ) и α ( λ ) позволяет записать Δ t как явное выражение двух членов, которое обозначается как Δ t _ey, потому что это приближение первого порядка по e и по y .

Δ t _ey = −2 e sin M + y sin (2 M + 2 λ _p ) = −7,659 sin M + 9,863 sin (2 M + 3,5932)  минут

Это уравнение было впервые выведено Милном, который записал его в терминах λ = M + λ _p . Приведенные здесь числовые значения являются результатом использования значений орбитального параметра e =0,016 709 , ε =23,4393 ° =0,409 093  радиана, а λ _p =282,9381 ° =4.938 201  радиан, что соответствует эпохе 1 января 2000 года в 12 часов дня UT1 . При вычислении числового выражения для Δ t _ey, как указано выше, калькулятор должен находиться в режиме радиан, чтобы получить правильные значения, потому что значение 2 λ _p - 2π в аргументе второго члена записано там в радианах. Также можно записывать приближения более высокого порядка, но они обязательно содержат больше членов. Например, приближение второго порядка по e и y состоит из пяти членов

Δ t _{e ² y ²} = Δ t _ey -5/4e ² sin 2 M + 4ey sin M cos (2 M + 2 λ _p ) -1/2y ² sin (4 M + 4 λ _p )

Это приближение имеет потенциал для высокой точности, однако, чтобы достичь его в течение широкого диапазона лет, параметры e , ε и λ _p должны изменяться со временем. Это создает дополнительные вычислительные сложности. Были предложены другие приближения, например Δ t _{e, в} котором используется уравнение первого порядка для центра, но не другое приближение для определения α , и Δ t _{e ^{2, в}} котором используется уравнение для центра второго порядка.

Временная переменная M может быть записана в виде n , количества дней после перигелия, или D , количества дней после определенной даты и времени (эпохи):

M =2π/т _Yn дней = M _D +2π/т _YD дней =6,240 040 77 +0,017 201 97 D

Здесь M _D - значение M в выбранную дату и время. Для приведенных здесь значений в радианах M _D - это значение, измеренное для фактического Солнца в эпоху, 1 января 2000 г. в 12 часов дня UT1, а D - количество дней после этой эпохи. В перицентре M = 2π , поэтому решение дает D = D _p =2,508 109 . Это помещает перицентр 4 января 2000 года в 00:11:41, а фактический перицентр, согласно результатам Многолетнего интерактивного компьютерного альманаха (сокращенно MICA), - 3 января 2000 года в 05:17:30. Это большое несоответствие происходит из-за того, что разница между радиусами орбиты в двух точках составляет всего 1 часть на миллион; Другими словами, радиус - очень слабая функция времени вблизи перицентра. На практике это означает, что нельзя получить высокоточный результат для уравнения времени, используя n и добавляя фактическую дату периапсиса для данного года. Тем не менее, высокая точность может быть достигнута при использовании препарата в терминах D .

Кривые Δ t и Δ t _ey вместе с символами, обозначающими дневные значения в полдень (с 10-дневными интервалами), полученные из Многолетнего интерактивного компьютерного альманаха по сравнению с d за 2000 год

Когда D > D _p , M больше 2 π, и нужно вычесть из него число, кратное 2 π (которое зависит от года), чтобы привести его в диапазон от 0 до 2 π . Точно так же в годы до 2000 года нужно складывать числа, кратные 2 π . Например, для 2010 года D варьируется от3653 1 января в полдень по4017 31 декабря в полдень; соответствующие значения M равны69.078 9468 и75,340 4748 и уменьшаются до диапазона от 0 до 2 π путем вычитания 10 и 11 раз 2 π соответственно. Всегда можно написать D = n _Y + d , где n _Y - количество дней от эпохи до полудня 1 января желаемого года, и 0 ≤ d ≤ 364 (365, если расчет для високосного года).

Результат вычислений обычно представлен либо в виде набора табличных значений, либо в виде графика уравнения времени как функции d . Сравнение графиков Δ t , Δ t _ey и результатов MICA за 2000 год показано на рисунке справа. Видно, что график Δ t _ey близок к результатам, полученным MICA, абсолютная ошибка, Err = | Δ t _ey - MICA2000 | , менее 1 минуты в течение года; его наибольшее значение составляет 43,2 секунды и приходится на 276-й день (3 октября). График Δ t неотличим от результатов MICA, наибольшая абсолютная ошибка между ними составляет 2,46 с на 324-й день (20 ноября).

Замечание о непрерывности уравнения времени

Для выбора соответствующей ветви арктангенса отношения относительно непрерывности функции модифицированной версии арктангенса функции полезно. Он приносит предыдущие знания об ожидаемом значении параметра. Модифицированная функция арктангенса определяется как:

arctan _η x = arctan x + π round (η - арктангенс х/π) .

Он дает значение, максимально близкое к η . Функция круглые округляется до ближайшего целого числа.

Применение этого дает:

Δ t ( M ) = M + λ _p - arctg _{( M + λ p )} (cos ε tan λ ) .

Здесь параметр M + λ _p устанавливает Δ t равным нулю ближайшего значения, которое является желаемым.

Светские эффекты

Разница между результатами MICA и Δ t проверялась каждые 5 лет в диапазоне с 1960 по 2040 год. В каждом случае максимальная абсолютная ошибка составляла менее 3 с; самая большая разница, 2,91 с, произошла 22 мая 1965 г. (141 день). Однако для достижения такого уровня точности в этом диапазоне лет необходимо учитывать вековые изменения параметров орбиты со временем. Уравнения, описывающие эту вариацию, следующие:

${\ displaystyle {\ begin {align} e & = 1,6709 \ times 10 ^ {- 2} -4,193 \ times 10 ^ {- 5} \ left ({\ frac {D} {36 \, 525}} \ right) - 1,26 \ times 10 ^ {- 7} \ left ({\ frac {D} {36525}} \ right) ^ {2} \\\ varepsilon & = 23.4393-0.013 \ left ({\ frac {D} {36 \ , 525}} \ right) -2 \ times 10 ^ {- 7} \ left ({\ frac {D} {36 \, 525}} \ right) ^ {2} +5 \ times 10 ^ {- 7} \ left ({\ frac {D} {36 \, 525}} \ right) ^ {3} {\ mbox {градусов}} \\\ lambda _ {\ mathrm {p}} & = 282.938 \, 07 + 1.7195 \ left ({\ frac {D} {36 \, 525}} \ right) +3,025 \ times 10 ^ {- 4} \ left ({\ frac {D} {36 \, 525}} \ right) ^ { 2} {\ mbox {градусы}} \ end {выровнены}}}$

Согласно этим соотношениям, через 100 лет ( D  = 36 525 ), λ _p увеличивается примерно на 0,5% (1,7 °), e уменьшается примерно на 0,25%, а ε уменьшается примерно на 0,05%.

В результате количество вычислений, требуемых для любого из приближений высшего порядка уравнения времени, требует, чтобы компьютер завершил их, если кто-то хочет достичь присущей им точности в широком диапазоне времени. В этом случае вычислить Δ t с помощью компьютера не сложнее, чем любое из его приближений.

При этом обратите внимание, что Δ t _ey, как написано выше, легко оценить даже с помощью калькулятора, достаточно точна (лучше, чем 1 минута в 80-летнем диапазоне) для корректировки солнечных часов и имеет хорошее физическое объяснение как сумму два термина, один из-за наклона, а другой из-за эксцентриситета, которые использовались ранее в статье. Это неверно ни для Δ t, рассматриваемого как функция M, ни для любого из его приближений более высокого порядка.

Альтернативный расчет

Другой способ расчета уравнения времени может быть выполнен следующим образом. Углы в градусах; применяется обычный порядок операций .

п =360 °/365,24 дня,

где n - средняя угловая орбитальная скорость Земли в градусах в день, также известная как «среднее суточное движение» .

А = п × ( D + 9)

где D - дата, отсчитываемая в днях, начиная с 1 1 января (т.е. часть дней в порядковой дате в году). 9 - приблизительное количество дней от декабрьского солнцестояния до 31 декабря. Угол Земля будет двигаться по своей орбите в его средней скорости от декабрьского солнцестояния до даты D .

В = А +360 °/π× 0,0167 × sin [ n ( D - 3)]

B - угол, под которым Земля перемещается от точки солнцестояния до даты D , включая поправку первого порядка на эксцентриситет Земли по орбите, равную 0,0167. Число 3 - это приблизительное количество дней с 31 декабря до текущей даты перигелия Земли . Это выражение для B можно упростить, объединив константы:

B = A + 1,914 ° × sin [ n ( D - 3)] .

${\ displaystyle C = {\ frac {A- \ arctan {\ frac {\ tan B} {\ cos 23,44 ^ {\ circ}}}} {180 ^ {\ circ}}}}$

Здесь C - разница между углом, перемещаемым со средней скоростью, и углом с скорректированной скоростью, проецируемым на экваториальную плоскость, и деленная на 180 °, чтобы получить разницу в « полуоборотах ». Значение 23,44 ° - это наклон земной оси («наклон») . Вычитание дает условный знак уравнению времени. Для любого заданного значения х , арктангенс х (иногда записываются в виде желтовато - коричневый ^-1 х ) имеют несколько значений, отличающееся друг от друга целых чисел половины оборота. Значение, сгенерированное калькулятором или компьютером, может не подходить для этого расчета. Это может привести к ошибке C на целое число полуоборотов. Лишние полувороты удаляются на следующем этапе расчета, чтобы получить уравнение времени:

EOT = 720 × ( C - nint ( C ))  минут

Выражение nint ( C ) означает ближайшее к C целое число . На компьютере его можно запрограммировать, например, как INT(C + 0.5). Его значение равно 0, 1 или 2 в разное время года. После вычитания остается небольшое положительное или отрицательное дробное число полуоборотов, которое умножается на 720, количество минут (12 часов), которое Земля требуется, чтобы повернуться на пол-оборота относительно Солнца, чтобы получить уравнение времени.

По сравнению с опубликованными значениями, этот расчет имеет среднеквадратичную ошибку всего 3,7 с. Наибольшая погрешность составляет 6,0 с. Это гораздо более точное приближение, описанное выше, но не такое точное, как сложный расчет.

Приложение о солнечном склонении

Значение B в приведенном выше вычислении является точным значением эклиптической долготы Солнца (смещенным на 90 °), поэтому склонение Солнца становится легко доступным:

Склонение = −arcsin (sin 23,44 ° × cos B )

с точностью до долей градуса.

Смотрите также

• Азимут
• Аналемма
• Циклы Миланковича

Примечания и сноски

Примечания

Сноски

использованная литература

внешние ссылки

• Солнечный калькулятор NOAA
• Службы передачи данных USNO (включая время восхода / захода / прохождения Солнца и других небесных объектов)
• Уравнение времени описано на Королевской Гринвичской обсерватории веб - сайта
• Сайт аналеммы с множеством иллюстраций
• Уравнение времени и аналемма , Кирон Тейлор
• Статья Брайана Тунга, содержащая ссылку на программу C, использующую более точную формулу, чем большинство других (особенно при больших наклонах и эксцентриситетах). Программа может рассчитывать склонение Солнца, уравнение времени или аналемму.
• Выполнение расчетов с использованием геоцентрических моделей планет Птолемея с обсуждением его графа инопланетян.
• Уравнение времени с длинными часами Джона Топпинга C.1720
• Таблица коррекции уравнения времени Страница, описывающая, как корректировать часы по солнечным часам.
• Солнечный темпометр - рассчитайте солнечное время, включая уравнение времени.