Числа Эпсилона (математика) - Epsilon numbers (mathematics)

В математике , то число эпсилона представляет собой набор чисел трансфинитных , определяющие свойство , что они являются неподвижными точками о качестве экспоненциального отображения . Следовательно, они недостижимы из 0 через конечную серию приложений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Первоначальные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε , удовлетворяющие уравнению

${\ Displaystyle \ varepsilon = \ omega ^ {\ varepsilon}, \,}$

в котором ω - наименьший бесконечный ординал.

Наименьший такой порядковый номер - это ε ₀ (произносится как эпсилон ноль или эпсилон ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный трансфинитной рекурсией из последовательности меньших предельных ординалов:

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0} = \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} = \ sup \ {\ omega, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}}, \ dots \}}$

Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате чего получается . Ординал ε ₀ по-прежнему является счетным , как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые числа и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером). ${\ displaystyle \ varepsilon _ {1}, \ varepsilon _ {2}, \ ldots, \ varepsilon _ {\ omega}, \ varepsilon _ {\ omega +1}, \ ldots, \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {0 }}, \ ldots, \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {1}}, \ ldots, \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ cdot _ {\ cdot _ {\ cdot}}}}}, \ ldots}$

Наименьшее эпсилон-число ε ₀ появляется во многих доказательствах индукции , потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε ₀ (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудстейна ). Его использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано , а также вторая теорема Гёделя о неполноте показывают, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименьший ординал с этим свойством, и как таковой в доказательстве -теоретический порядковый анализ , используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие эпсилон-числа можно определить с помощью функции Веблена .

Более общий класс эпсилон-чисел был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в сюрреалистической системе счисления, состоящей из всех сюрреалов, которые являются неподвижными точками базового ω экспоненциального отображения x → ω ^x .

Хессенберг (1906) определил гамма-числа (см. Аддитивно неразложимый ординал ) как числа γ> 0 такие, что α + γ = γ, когда α <γ, и дельта-числа (см. Мультипликативно неразложимые порядковые числа ) как числа δ> 1 такие, что αδ = δ, если 0 <α <δ, и эпсилон-числа должны быть числами ε > 2 такими, что α ^ε = ε, если 1 < α < ε . Его гамма-числа имеют форму ω ^β , а его дельта-числа имеют форму ω ^{ω β} . Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHessenberg1906 ( справка )

Порядковые числа ε

Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:

• ${\ Displaystyle \ альфа ^ {0} = 1 \ ,,}$
• ${\ Displaystyle \ альфа ^ {\ бета +1} = \ альфа ^ {\ бета} \ CDOT \ альфа \ ,,}$
• ${\ Displaystyle \ альфа ^ {\ каппа} = \ limsup _ {\ лямбда <\ каппа} \, \ альфа ^ {\ лямбда}}$для лимита .${\ displaystyle \ kappa}$

Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала α  > 1 отображение является нормальной функцией , поэтому по лемме о неподвижной точке для нормальных функций оно имеет сколь угодно большие неподвижные точки . Когда эти фиксированные точки являются в точности порядковыми эпсилон-числами. Наименьшее из них, ε ₀ , является супремумом последовательности ${\ displaystyle \ beta \ mapsto \ alpha ^ {\ beta}}$${\ displaystyle \ alpha = \ omega}$

${\ displaystyle 0, \ omega ^ {0} = 1, \ omega ^ {1} = \ omega, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}, \ ldots, \ omega \ uparrow \ uparrow k, \ ldots}$

в котором каждый элемент является изображением своего предшественника при отображении . (Общий термин дается с использованием обозначения Кнута со стрелкой вверх ; оператор эквивалентен тетрации .) Так же, как ω ^ω определяется как верхняя грань {ω ^k } для натуральных чисел k , наименьшее порядковое эпсилон-число ε ₀ также может быть обозначен ; это обозначение гораздо реже, чем ε ₀ . ${\ displaystyle \ beta \ mapsto \ omega ^ {\ beta}}$${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow}$${\ displaystyle \ omega \ uparrow \ uparrow \ omega}$

Следующий номер эпсилон после является ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {1} = \ sup \ {\ varepsilon _ {0} +1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ varepsilon _ {0 } +1}}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}}}, \ dots \},}$

в котором последовательность снова строится путем повторения возведения в степень по основанию ω, но начинается с вместо 0 (или 1). Уведомление ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0} +1}$

${\ displaystyle \ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1} = \ omega ^ {\ varepsilon _ {0}} \ cdot \ omega ^ {1} = \ varepsilon _ {0} \ cdot \ omega \ ,, }$

${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}} = \ omega ^ {(\ varepsilon _ {0} \ cdot \ omega)} = {(\ omega ^ {\ varepsilon _ { 0}})} ^ {\ omega} = \ varepsilon _ {0} ^ {\ omega} \ ,,}$

${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}}} = \ omega ^ {{\ varepsilon _ {0}} ^ {\ omega}} = \ omega ^ { {\ varepsilon _ {0}} ^ {1+ \ omega}} = \ omega ^ {(\ varepsilon _ {0} \ cdot {\ varepsilon _ {0}} ^ {\ omega})} = {(\ omega ^ {\ varepsilon _ {0}})} ^ {{\ varepsilon _ {0}} ^ {\ omega}} = {\ varepsilon _ {0}} ^ {{\ varepsilon _ {0}} ^ {\ omega }} \ ,.}$

Другая последовательность с тем же супремумом, получается, если начать с 0 и возвести в степень с основанием ε ₀ : ${\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {1} = \ sup \ {0,1, \ varepsilon _ {0}, {\ varepsilon _ {0}} ^ {\ varepsilon _ {0}}, {\ varepsilon _ {0} } ^ {{\ varepsilon _ {0}} ^ {\ varepsilon _ {0}}}, \ ldots \},}$

Эпсилон-число, индексируемое любым последующим порядковым номером α + 1, строится аналогичным образом, путем возведения в степень по основанию ω, начиная с (или путем возведения в степень по основанию, начиная с 0). ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha +1}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha} +1}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha +1} = \ sup \ {\ varepsilon _ {\ alpha} +1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {\ alpha} +1}, \ omega ^ {\ omega ^ { \ varepsilon _ {\ alpha} +1}}, \ dots \} = \ sup \ {0,1, \ varepsilon _ {\ alpha}, \ varepsilon _ {\ alpha} ^ {\ varepsilon _ {\ alpha}} , \ varepsilon _ {\ alpha} ^ {\ varepsilon _ {\ alpha} ^ {\ varepsilon _ {\ alpha}}}, \ dots \}}$

Эпсилон-число, индексируемое предельным порядковым номером α, строится иначе. Число - это верхняя грань набора чисел эпсилон . Первый такой номер есть . Независимо от того, является ли индекс α предельным ординалом, это фиксированная точка не только возведения в степень по основанию ω, но также и по возведению в степень по основанию γ для всех ординалов . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ {\ varepsilon _ {\ beta}, \ beta <\ alpha \}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle 1 <\ гамма <\ varepsilon _ {\ alpha}}$

Поскольку эпсилон-числа являются неограниченным подклассом порядковых чисел, они пронумерованы с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового номера , наименьшее число эпсилон (фиксированная точка экспоненциального отображения) уже не в наборе . Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения с использованием повторного возведения в степень; но эти два определения одинаково неконструктивны на шагах, индексированных предельными ординалами, которые представляют трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие верхней грани экспоненциального ряда. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ {\ varepsilon _ {\ beta}, \ beta <\ alpha \}}$

Следующие факты об эпсилон-числах очень просто доказать:

• Хотя это довольно большое число, оно все же является счетным , являясь счетным объединением счетных ординалов; фактически, счетно тогда и только тогда, когда оно счетно.${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$
• Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так например

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ omega} = \ sup \ {\ varepsilon _ {0}, \ varepsilon _ {1}, \ varepsilon _ {2}, \ ldots \}}$

- это число эпсилон. Таким образом, отображение - это нормальная функция.${\ displaystyle \ alpha \ mapsto \ varepsilon _ {\ alpha}}$

• Начальное порядковое любого несчетного кардинала является число эпсилон.

${\ displaystyle \ alpha \ geq 1 \ Rightarrow \ varepsilon _ {\ omega _ {\ alpha}} = \ omega _ {\ alpha} \ ,.}$

Представление корневыми деревьями${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Любое эпсилон-число ε имеет нормальную форму Кантора , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для эпсилон-чисел. Однако ординалы, меньшие ε ₀ , можно описать с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε ₀ как упорядоченного множества всех конечных корневых деревьев следующим образом. Любой ординал имеет нормальную форму Кантора, где k - натуральное число и являются ординалами с , однозначно определяемыми . Каждый ординал, в свою очередь, имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих новый корень. (Это приводит к тому, что число 0 представлено одним корнем, а число представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья присоединяются к корню в порядке убывания, а затем используют лексикографический порядок в этих упорядоченных последовательностях поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится упорядоченным множеством, которое по порядку изоморфно ε ₀ . ${\ Displaystyle \ varepsilon = \ omega ^ {\ varepsilon}}$${\ Displaystyle \ альфа <\ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ alpha = \ omega ^ {\ beta _ {1}} + \ omega ^ {\ beta _ {2}} + \ cdots + \ omega ^ {\ beta _ {k}}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {k}}$${\ Displaystyle \ альфа> \ бета _ {1} \ geq \ cdots \ geq \ beta _ {k}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {k}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {k}}$${\ displaystyle 1 = \ omega ^ {0}}$

Иерархия Веблена

Неподвижные точки «эпсилон-отображения» образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию, у которой ...; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ ₀ (α) = ω ^α ). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение - это φ ₁ , а его неподвижные точки нумеруются φ ₂ . ${\ Displaystyle х \ mapsto \ varepsilon _ {x}}$

Продолжая в том же духе, можно определить карты φ _α для постепенно увеличивающихся ординалов α (включая, с помощью этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ _{α + 1} (0). Наименьший ординал, недостижимый из 0 с помощью этой процедуры, т. Е. Наименьший ординал α, для которого φ _α (0) = α, или, что эквивалентно, первая фиксированная точка отображения, - это ординал Фефермана – Шютте Γ ₀ . В теории множеств , где такое порядковое может быть доказано существование, один имеет отображение Г , который перечисляет неподвижные точки Г ₀ , Γ ₁ , Γ ₂ , ... из ; все это по-прежнему эпсилон-числа, поскольку они лежат в образе φ _β для любого β ≤ Γ ₀ , включая карту φ _1, которая нумерует эпсилон-числа. ${\ Displaystyle \ альфа \ mapsto \ varphi _ {\ alpha} (0)}$${\ Displaystyle \ альфа \ mapsto \ varphi _ {\ alpha} (0)}$

Сюрреалистические числа ε

В О числах и играх , классическая экспозиция на сюрреалистических номерах , Конвей представила ряд примеров понятий , которые имели естественные расширения от порядковых к surreals. Одна из таких функций - карта ; это отображение естественным образом обобщается и включает в себя все сюрреалистические числа в своей области , что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle п \ mapsto \ omega ^ {n}}$

Естественно рассматривать любую фиксированную точку этой расширенной карты как эпсилон-число, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных чисел эпсилон:

${\ displaystyle \ varepsilon _ {- 1} = \ {0,1, \ omega, \ omega ^ {\ omega}, \ ldots \ mid \ varepsilon _ {0} -1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {0 } -1}, \ ldots \}}$

а также

${\ displaystyle \ varepsilon _ {1/2} = \ {\ varepsilon _ {0} +1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}, \ ldots \ mid \ varepsilon _ {1} -1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {1} -1}, \ ldots \}.}$

Существует естественный способ определения для каждого сюрреалистического числа n , и карта сохраняет порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}$

Смотрите также

• Порядковая арифметика
• Большой счетный порядковый номер

использованная литература

• Дж. Х. Конвей, О числах и играх (1976) ISBN  Academic Press 0-12-186350-6
• Раздел XIV.20 Серпинского, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числа (2-е изд.), PWN - Польские научные издательства