Упругое столкновение - Elastic collision

Пока излучение абсолютно черного тела (не показано) не выходит из системы, атомы при тепловом возбуждении претерпевают по существу упругие столкновения. В среднем два атома отскакивают друг от друга с той же кинетической энергией, что и до столкновения. Пять атомов окрашены в красный цвет, поэтому их движение легче увидеть.

Упругое столкновение является столкновение двух тел , в которых суммарная кинетическая энергия двух тел остается тем же самым . В идеальном, идеально упругом столкновении нет чистого преобразования кинетической энергии в другие формы, такие как тепло, шум или потенциальная энергия.

Во время столкновения небольших объектов кинетическая энергия сначала преобразуется в потенциальную энергию, связанную с силой отталкивания или притяжения между частицами (когда частицы движутся против этой силы, то есть угол между силой и относительной скоростью тупой), затем это потенциальная энергия преобразуется обратно в кинетическую энергию (когда частицы движутся с этой силой, т. е. угол между силой и относительной скоростью острый).

Столкновения атомов упругие, например обратное резерфордовское рассеяние .

Полезный частный случай упругого столкновения - это когда два тела имеют равную массу, и в этом случае они просто обмениваются своими импульсами.

Молекулы -as отличие от атомов -of в газе или жидкость редко испытывают идеально упругие столкновения , так как происходит обмен кинетической энергии поступательного движения между молекулами и их внутренними степенями свободы при каждом столкновении. В любой момент половина столкновений в той или иной степени являются неупругими (пара обладает меньшей кинетической энергией в своих поступательных движениях после столкновения, чем до этого), а половину можно описать как «сверхупругие» (обладающие большей кинетической энергией. после столкновения, чем до). В среднем по всему образцу, столкновения молекул можно рассматривать как по существу упругие, пока закон Планка запрещает унос энергии фотонами черного тела.

В случае макроскопических тел идеально упругие столкновения - это идеал, который никогда не реализуется полностью, но приближается к взаимодействию таких объектов, как бильярдные шары.

При рассмотрении энергий возможная энергия вращения до и / или после столкновения также может играть роль.

Уравнения

Одномерный ньютоновский

Профессор Уолтер Левин объясняет одномерные упругие столкновения

При упругом столкновении сохраняется как импульс, так и кинетическая энергия. Рассмотрим частицы 1 и 2 с массами m 1 , m 2 и скоростями u 1 , u 2 до столкновения, v 1 , v 2 после столкновения. Сохранение полного импульса до и после столкновения выражается следующим образом:

Точно так же сохранение полной кинетической энергии выражается следующим образом:

Эти уравнения можно решить напрямую, чтобы определить, когда они известны:

Если обе массы одинаковы, у нас есть тривиальное решение:

Это просто соответствует тому, что тела обмениваются друг с другом своими начальными скоростями.

Как и следовало ожидать, решение инвариантно относительно добавления константы ко всем скоростям ( относительность Галилея ), что похоже на использование системы отсчета с постоянной поступательной скоростью. Действительно, чтобы вывести уравнения, можно сначала изменить систему отсчета так, чтобы одна из известных скоростей была равна нулю, определить неизвестные скорости в новой системе отсчета и преобразовать обратно в исходную систему отсчета.

Примеры

Шар 1: масса = 3 кг, скорость = 4 м / с
Шар 2: масса = 5 кг, скорость = −6 м / с

После столкновения:

Шар 1: скорость = -8,5 м / с
Шар 2: скорость = 1,5 м / с

Другая ситуация:

Упругое столкновение неравных масс.

Ниже иллюстрирует случай одинаковой массы, .

Упругое столкновение равных масс
Упругое столкновение масс в системе с движущейся системой отсчета

В предельном случае, когда весло намного больше, чем , например, ракетка для пинг-понга, ударяющая по мячу для пинг-понга или внедорожник, ударяющий по мусорному ведру, более тяжелая масса почти не меняет скорость, в то время как более легкая масса отскакивает, изменяя свою скорость в обратном направлении плюс приблизительно вдвое больше, чем у тяжелого.

В случае большого , значение мало, если массы примерно одинаковы: столкновение с гораздо более легкой частицей не сильно меняет скорость, столкновение с гораздо более тяжелой частицей заставляет быструю частицу отскакивать назад с высокой скоростью. Вот почему замедлитель нейтронов (среда, которая замедляет быстрые нейтроны , тем самым превращая их в тепловые нейтроны, способные поддерживать цепную реакцию ) представляет собой материал, наполненный атомами с легкими ядрами, которые нелегко поглощают нейтроны: самые легкие ядра имеют примерно такая же масса, как у нейтрона .

Вывод решения

Чтобы вывести приведенные выше уравнения для , измените уравнения кинетической энергии и импульса:

Разделение каждой стороны верхнего уравнения на каждую сторону нижнего уравнения и использование дает:

.

То есть относительная скорость одной частицы по отношению к другой меняется на противоположную в результате столкновения.

Теперь приведенные выше формулы следуют из решения системы линейных уравнений для , считающихся константами:

Как только определено, можно найти по симметрии.

Центр масс кадра

Относительно центра масс обе скорости меняются в результате столкновения: тяжелая частица медленно движется к центру масс и отскакивает назад с той же низкой скоростью, а легкая частица быстро движется к центру масс и отскакивает. обратно с такой же высокой скоростью.

Скорость центра масс не изменяется при столкновении. Чтобы увидеть это, рассмотрим центр масс во время до столкновения и время после столкновения:

Следовательно, скорости центра масс до и после столкновения равны:

В числителях и - суммарные импульсы до и после столкновения. Поскольку импульс сохраняется, у нас есть .

Одномерный релятивистский

Согласно специальной теории относительности ,

где p обозначает импульс любой частицы с массой, v обозначает скорость, а c - скорость света.

В центре системы отсчета импульса, где полный импульс равен нулю,

Здесь представляют собой массы покоя двух сталкивающихся тел, представляют их скорости до столкновения, их скорости после столкновения, их импульсы, это скорость света в вакууме и обозначает полную энергию, сумму масс покоя и кинетических энергий двух тела.

Поскольку полная энергия и импульс системы сохраняются, а их массы покоя не изменяются, показано, что импульс сталкивающегося тела определяется массами покоя сталкивающихся тел, полной энергией и полным импульсом. По отношению к центру системы отсчета импульса импульс каждого сталкивающегося тела не меняет величину после столкновения, а меняет направление своего движения на противоположное.

По сравнению с классической механикой , которая дает точные результаты, имея дело с макроскопическими объектами, движущимися намного медленнее, чем скорость света , общий импульс двух сталкивающихся тел зависит от системы отсчета. В центре системы отсчета импульса , согласно классической механике,

Это согласуется с релятивистским расчетом , несмотря на другие различия.

Один из постулатов специальной теории относительности гласит, что законы физики, такие как сохранение импульса, должны быть инвариантными во всех инерциальных системах отсчета. В общей инерциальной системе отсчета, где полный импульс может быть произвольным,

Мы можем рассматривать два движущихся тела как одну систему, у которой есть полный импульс , полная энергия, а ее скорость равна скорости центра масс. Относительно центра системы отсчета количества движения полный импульс равен нулю. Можно показать, что это выражается:

Теперь скорости до столкновения в центре системы отсчета импульса и равны:

Когда и ,

≈ ≈
≈ ≈

Следовательно, классический расчет верен, когда скорость обоих сталкивающихся тел намного ниже скорости света (~ 300 миллионов м / с).

Релятивистский вывод с использованием гиперболических функций

Мы используем так называемый параметр скорости (обычно называемый быстротой ), чтобы получить:

отсюда мы получаем

Релятивистская энергия и импульс выражаются следующим образом:

Уравнения сумме энергии и импульса сталкивающихся масс и , (скорости , , , соответствуют параметрам скорости , , , ), после деления на достаточную мощность следующим образом :

и зависимое уравнение, сумма вышеперечисленных уравнений:

вычтем квадраты обеих сторон уравнения «импульс» из «энергии» и используем тождество , после простоты мы получим:

для ненулевой массы, используя гиперболическое тригонометрическое тождество cosh ( a - b ) = ch ( a ) cosh ( b ) - sinh ( b ) sinh ( a ), получаем:

поскольку функции четны, мы получаем два решения:

из последнего уравнения, приводящего к нетривиальному решению, решаем и подставляем в зависимое уравнение, получаем и тогда имеем:

Это решение проблемы, но выраженное параметрами скорости. Возвратная подстановка для получения решения для скоростей:

Подставляем предыдущие решения и заменяем: и после долгого преобразования с заменой: получаем:

.

Двумерный

В случае двух не вращающихся сталкивающихся тел в двух измерениях движение тел определяется тремя законами сохранения количества движения, кинетической энергии и момента количества движения. Общая скорость каждого тела должна быть разделена на две перпендикулярные скорости: одна касательная к общим нормальным поверхностям сталкивающихся тел в точке контакта, а другая - вдоль линии столкновения. Поскольку столкновение передает силу только вдоль линии столкновения, скорости, которые касаются точки столкновения, не изменяются. Затем скорости вдоль линии столкновения можно использовать в тех же уравнениях, что и при одномерном столкновении. Конечные скорости затем могут быть рассчитаны из двух новых компонентных скоростей и будут зависеть от точки столкновения. Исследования двумерных столкновений проводятся для многих тел в рамках двумерного газа .

Двумерное упругое столкновение

В системе координат центра импульса в любое время скорости двух тел имеют противоположные направления с величинами, обратно пропорциональными массам. При упругом столкновении эти величины не меняются. Направления могут меняться в зависимости от формы тел и точки удара. Например, в случае сфер угол зависит от расстояния между (параллельными) путями центров двух тел. Возможно любое ненулевое изменение направления: если это расстояние равно нулю, скорости при столкновении меняются на противоположные; если он близок к сумме радиусов сфер, два тела отклоняются лишь незначительно.

Если предположить, что перед столкновением вторая частица находится в состоянии покоя, углы отклонения двух частиц и связаны с углом отклонения в системе центра масс соотношением

Величины скоростей частиц после столкновения равны:

Двумерное столкновение с двумя движущимися объектами

Конечные компоненты скоростей x и y первого шара могут быть рассчитаны как:

где v 1 и v 2 - скалярные размеры двух исходных скоростей объектов, m 1 и m 2 - их массы, θ 1 и θ 2 - углы их движения, то есть (то есть движение прямо вниз вправо есть либо под углом -45 °, либо под углом 315 °), а фи ( φ ) в нижнем регистре - это контактный угол. (Чтобы получить скорости второго шара по осям x и y, нужно поменять местами все индексы «1» на индексы «2».)

Это уравнение получено из того факта, что взаимодействие между двумя телами легко вычисляется по краю контакта, а это означает, что скорости объектов можно рассчитать в одном измерении, вращая оси x и y, чтобы они были параллельны краю контакта. объекты, а затем повернуты обратно в исходную ориентацию, чтобы получить истинные компоненты x и y скоростей

В безугловом представлении измененные скорости вычисляются с использованием центров x 1 и x 2 во время контакта как

где угловые скобки указывают на внутреннее произведение (или скалярное произведение ) двух векторов.

Смотрите также

использованная литература

Общие ссылки

  • Раймонд, Дэвид Дж. «10.4.1 Упругие столкновения». Радикально современный подход к вводной физике: Том 1: Основные принципы . Сокорро, Нью-Мексико: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.

внешние ссылки