Коэффициенты Эйнштейна - Einstein coefficients

Коэффициенты Эйнштейна - это математические величины, которые являются мерой вероятности поглощения или излучения света атомом или молекулой. Коэффициенты Эйнштейна A связаны со скоростью спонтанного излучения света, а коэффициенты Эйнштейна B связаны с поглощением и вынужденным излучением света.

Спектральные линии

В физике спектральная линия рассматривается с двух точек зрения.

Линия излучения образуется, когда атом или молекула совершает переход с определенного дискретного уровня энергии E ₂ атома на более низкий уровень энергии E ₁ , испуская фотон с определенной энергией и длиной волны. Спектр многих таких фотонов покажет выброс излучения на длине волны, связанной с этими фотонами.

Линия поглощения образуется, когда атом или молекула совершает переход от более низкого E ₁ к более высокому дискретному энергетическому состоянию E ₂ , при этом фотон поглощается. Эти поглощенные фотоны обычно происходят из фонового континуального излучения (полного спектра электромагнитного излучения), и спектр будет показывать спад непрерывного излучения на длине волны, связанной с поглощенными фотонами.

Эти два состояния должны быть связанными состояниями, в которых электрон связан с атомом или молекулой, поэтому переход иногда называют переходом «связанно-связанный», в отличие от перехода, при котором электрон выбрасывается из атома. полностью (переход «связанный – свободный») в состояние континуума , оставляя ионизированный атом и генерируя излучение континуума.

Фотон с энергией , равной разности E ₂ - E ₁ между уровнями энергии выделяется или поглощается в процессе. Частота ν, на которой возникает спектральная линия, связана с энергией фотона условием частоты Бора E ₂ - E ₁ = hν, где h обозначает постоянную Планка .

Коэффициенты эмиссии и поглощения

Атомная спектральная линия относится к событиям излучения и поглощения в газе, в котором - это плотность атомов в состоянии с более высокой энергией для линии и плотность атомов в состоянии с более низкой энергией для линии. ${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$

Излучение атомной линии на частоте ν можно описать коэффициентом излучения с единицами энергии / (время × объем × телесный угол). ε dt dV dΩ - это энергия, излучаемая элементом объема во времени в телесный угол . Для атомного линейного излучения ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle dV}$${\ displaystyle dt}$${\ displaystyle d \ Omega}$

${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {h \ nu} {4 \ pi}} n_ {2} A_ {21},}$

где - коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, который фиксируется внутренними свойствами соответствующего атома для двух соответствующих уровней энергии. ${\ displaystyle A_ {21}}$

Поглощение излучения атомной линии можно описать коэффициентом поглощения с единицей измерения 1 / длины. Выражение κ 'dx дает долю интенсивности, поглощаемую световым лучом с частотой ν при прохождении расстояния dx . Коэффициент поглощения определяется выражением ${\ displaystyle \ kappa}$

${\ displaystyle \ kappa '= {\ frac {h \ nu} {4 \ pi}} (n_ {1} B_ {12} -n_ {2} B_ {21}),}$

где и - коэффициенты Эйнштейна для поглощения и индуцированного излучения фотонов соответственно. Как и коэффициент , они также фиксируются внутренними свойствами соответствующего атома для двух соответствующих уровней энергии. Для термодинамики и для применения закона Кирхгофа необходимо, чтобы полное поглощение выражалось как алгебраическая сумма двух компонентов, описываемых соответственно и , которые можно рассматривать как положительное и отрицательное поглощение, которые, соответственно, являются прямым фотоном. поглощение и то, что обычно называют стимулированным или индуцированным излучением. ${\ displaystyle B_ {12}}$${\ displaystyle B_ {21}}$${\ displaystyle A_ {21}}$${\ displaystyle B_ {12}}$${\ displaystyle B_ {21}}$

В приведенных выше уравнениях не учитывается влияние формы спектроскопической линии . Чтобы быть точным, приведенные выше уравнения необходимо умножить на (нормализованную) форму спектральной линии, и в этом случае единицы измерения изменятся, чтобы включить член 1 / Гц.

В условиях термодинамического равновесия числовые плотности и , коэффициенты Эйнштейна и спектральная плотность энергии предоставляют достаточную информацию для определения скорости поглощения и излучения. ${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$

Условия равновесия

Числовые плотности и устанавливаются физическим состоянием газа, в котором находится спектральная линия, включая локальную спектральную яркость (или, в некоторых представлениях, локальную спектральную плотность энергии излучения ). Когда это состояние является либо одним из состояний строгого термодинамического равновесия , либо одним из так называемого «локального термодинамического равновесия», тогда распределение состояний возбуждения атомов (которое включает и ) определяет скорости атомных выбросов и поглощений таким образом, что закон Кирхгофа равенства излучательной поглощающей способности и излучательной способности . В строгом термодинамическом равновесии поле излучения называется излучением черного тела и описывается законом Планка . Для локального термодинамического равновесия поле излучения не обязательно должно быть полем черного тела, но скорость межатомных столкновений должна значительно превышать скорости поглощения и испускания квантов света, так что межатомные столкновения полностью доминируют в распределении состояний. возбуждения атомов. Возникают обстоятельства, в которых локальное термодинамическое равновесие не преобладает, потому что сильные радиационные эффекты подавляют тенденцию к распределению Максвелла – Больцмана для молекулярных скоростей. Например, в атмосфере Солнца преобладает большая сила излучения. В верхних слоях атмосферы Земли, на высотах более 100 км, редкость межмолекулярных столкновений имеет решающее значение. ${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$

В случаях термодинамического равновесия и локального термодинамического равновесия числовые плотности атомов, как возбужденных, так и невозбужденных, могут быть вычислены из распределения Максвелла – Больцмана , но для других случаев (например, лазеров ) расчет более сложен.

Коэффициенты Эйнштейна

В 1916 году Альберт Эйнштейн предположил, что при образовании атомной спектральной линии происходят три процесса. Эти три процесса называются спонтанным излучением, вынужденным излучением и поглощением. С каждым связан коэффициент Эйнштейна, который является мерой вероятности того, что этот конкретный процесс произойдет. Эйнштейн рассматривал случай изотропного излучения с частотой ν и спектральной плотностью энергии ρ ( ν ) .

Различные составы

Хилборн сравнил различные формулировки вывода коэффициентов Эйнштейна разными авторами. Например, Герцберг работает с освещенностью и волновым числом; Ярив работает с энергией на единицу объема на единицу частотного интервала, как и в более поздней формулировке (2008 г.). Михалас и Вайбель-Михалас работают с сиянием и частотой; также Чандрасекар; также Гуди и Юнг; Loudon использует угловую частоту и яркость.

Спонтанное излучение

Спонтанное излучение - это процесс, при котором электрон «спонтанно» (то есть без какого-либо внешнего воздействия) распадается с более высокого энергетического уровня на более низкий. Процесс описывается коэффициентом Эйнштейна A ₂₁ ( с ⁻¹ ), который дает вероятность в единицу времени, что электрон в состоянии 2 с энергией спонтанно распадется до состояния 1 с энергией , испуская фотон с энергией E ₂ - E. ₁ = hν . Из -за принципа неопределенности энергия-время , переход фактически производит фотоны в узком диапазоне частот, называемом спектральной шириной линии . Если - плотность атомов в состоянии i , то изменение плотности атомов в состоянии 2 в единицу времени из-за спонтанного излучения будет ${\ displaystyle E_ {2}}$${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle n_ {i}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {2}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontaneous}} = - A_ {21} n_ {2}.}$

Тот же процесс приводит к увеличению населения государства 1:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontaneous}} = A_ {21} n_ {2}.}$

Вынужденное излучение

Вынужденная эмиссия (также известная как индуцированная эмиссия) - это процесс, с помощью которого электрон заставляется перейти с более высокого энергетического уровня на более низкий из-за присутствия электромагнитного излучения на частоте перехода (или около нее). С термодинамической точки зрения этот процесс следует рассматривать как отрицательное поглощение. Процесс описывается коэффициентом Эйнштейна (м ³ Дж ^-1 с ^-2 ), который дает вероятность в единицу времени на единицу спектральной яркости поля излучения, что электрон в состоянии 2 с энергией распадется в состояние 1 с энергией , излучающий фотон с энергией E ₂ - E ₁ = hν . Изменение плотности атомов в состоянии 1 в единицу времени из-за индуцированной эмиссии будет ${\ displaystyle B_ {21}}$${\ displaystyle E_ {2}}$${\ displaystyle E_ {1}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {neg. поглощать.}} = B_ {21} n_ {2} \ rho (\ nu),}$

где обозначает яркость в полосе пропускания 1 Гц поля изотропного излучения на частоте перехода (см . закон Планка ). ${\ Displaystyle \ ро (\ ню)}$

Вынужденное излучение - один из фундаментальных процессов, которые привели к созданию лазера . Однако лазерное излучение очень далеко от настоящего случая изотропного излучения.

Поглощение фотонов

Поглощение - это процесс, при котором фотон поглощается атомом, заставляя электрон перепрыгивать с более низкого энергетического уровня на более высокий. Процесс описывается коэффициентом Эйнштейна (м ³ Дж ^-1 с ^-2 ), который дает вероятность в единицу времени на единицу спектральной яркости поля излучения, что электрон в состоянии 1 с энергией поглотит фотон с энергией E ₂ - E ₁ = hν и перейти в состояние 2 с энергией . Изменение плотности атомов в состоянии 1 в единицу времени из-за поглощения будет ${\ displaystyle B_ {12}}$${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle E_ {2}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {pos. поглощать.}} = - B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}$

Детальная балансировка

Коэффициенты Эйнштейна представляют собой фиксированные вероятности на время, связанные с каждым атомом, и не зависят от состояния газа, частью которого являются атомы. Следовательно, любое соотношение, которое мы можем вывести между коэффициентами, скажем, при термодинамическом равновесии, будет иметь универсальное значение.

При термодинамическом равновесии у нас будет простая балансировка, при которой чистое изменение числа любых возбужденных атомов равно нулю, уравновешиваясь потерями и прибылью из-за всех процессов. Что касается связанных переходов, у нас также будет подробная балансировка , в которой говорится, что чистый обмен между любыми двумя уровнями будет сбалансирован. Это связано с тем, что на вероятность перехода не может повлиять присутствие или отсутствие других возбужденных атомов. Детальный баланс (действительный только в состоянии равновесия) требует, чтобы изменение во времени количества атомов на уровне 1 из-за вышеупомянутых трех процессов было равно нулю:

${\ displaystyle 0 = A_ {21} n_ {2} + B_ {21} n_ {2} \ rho (\ nu) -B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}$

Наряду с детальной балансировкой, при температуре T мы можем использовать наши знания о равновесном распределении энергии атомов, как указано в распределении Максвелла – Больцмана , и о равновесном распределении фотонов, как указано в законе излучения черного тела Планка, чтобы получить универсальные отношения между коэффициентами Эйнштейна.

Из распределения Больцмана для числа возбужденных разновидностей атомов i имеем :

${\ displaystyle {\ frac {n_ {i}} {n}} = {\ frac {g_ {i} e ^ {- E_ {i} / kT}} {Z}},}$

где n - полная плотность атомов, возбужденных и невозбужденных, k - постоянная Больцмана , T - температура , - вырождение (также называемое множественностью) состояния i , а Z - статистическая сумма . Из закона Планка о излучении черного тела при температуре T мы имеем для спектральной яркости (яркость - это энергия в единицу времени на единицу телесного угла на единицу проецируемой площади при интегрировании по соответствующему спектральному интервалу) с частотой ν${\ displaystyle g_ {i}}$

${\ displaystyle \ rho _ {\ nu} (\ nu, T) = F (\ nu) {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / kT} -1}},}$

куда

${\ Displaystyle F (\ Nu) = {\ гидроразрыва {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {3}}},}$

где есть скорость света и является постоянная Планка . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h}$

Подставляя эти выражения в уравнение детальной балансировки и помня, что E ₂ - E ₁ = hν дает

${\ Displaystyle A_ {21} g_ {2} e ^ {- h \ nu / kT} + B_ {21} g_ {2} e ^ {- h \ nu / kT} {\ frac {F (\ nu)} {e ^ {h \ nu / kT} -1}} = B_ {12} g_ {1} {\ frac {F (\ nu)} {e ^ {h \ nu / kT} -1}},}$

разделение на

${\ displaystyle A_ {21} g_ {2} (e ^ {h \ nu / kT} -1) + B_ {21} g_ {2} F (\ nu) = B_ {12} g_ {1} e ^ { h \ nu / kT} F (\ nu).}$

Вышеприведенное уравнение должно выполняться при любой температуре, поэтому

${\ displaystyle B_ {21} g_ {2} = B_ {12} g_ {1},}$

а также

${\ displaystyle -A_ {21} g_ {2} + B_ {21} g_ {2} F (\ nu) = 0.}$

Следовательно, три коэффициента Эйнштейна взаимосвязаны соотношением

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {A_ {21}} {B_ {21}}} = F (\ nu)}$

а также

${\ displaystyle {\ frac {B_ {21}} {B_ {12}}} = {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}}}.}$

Когда это соотношение вводится в исходное уравнение, можно также найти связь между и , включая закон Планка . ${\ displaystyle A_ {21}}$${\ displaystyle B_ {12}}$

Сильные стороны осциллятора

Сила осциллятора определяется следующим отношением к поперечному сечению поглощения: ${\ displaystyle f_ {12}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {e ^ {2}} {4 \ varepsilon _ {0} m_ {e} c}} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ nu} = {\ frac {\ pi e ^ {2}} {2 \ varepsilon _ {0} m_ {e} c}} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ omega},}$

где - заряд электрона, - масса электрона, и - нормированные функции распределения по частоте и угловой частоте соответственно. Это позволяет выразить все три коэффициента Эйнштейна через силу единственного осциллятора, связанного с конкретной атомной спектральной линией: ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m_ {e}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ omega}}$

${\ displaystyle B_ {12} = {\ frac {e ^ {2}} {4 \ varepsilon _ {0} m_ {e} h \ nu}} f_ {12},}$

${\ displaystyle B_ {21} = {\ frac {e ^ {2}} {4 \ varepsilon _ {0} m_ {e} h \ nu}} {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}} } f_ {12},}$

${\ displaystyle A_ {21} = {\ frac {2 \ pi \ nu ^ {2} e ^ {2}} {\ varepsilon _ {0} m_ {e} c ^ {3}}} {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}}} f_ {12}.}$

Смотрите также

использованная литература

Цитированная библиография

Другое чтение

внешние ссылки

• Спектры излучения от различных источников света