Теорема Эйленберга – Зильбера - Eilenberg–Zilber theorem

В математике , в частности , в алгебраической топологии , то теорема Эйленберга-Зильбер является важным результатом в установлении связи между группами гомологии одного продуктового пространства и тех пространств и . Теорема впервые появилась в 1953 г. статье в Американском журнале математики по Эйленберг и Джозеф А. Зильбера. Одним из возможных путей к доказательству является теорема об ациклической модели .

Формулировка теоремы

Теорема может быть сформулирована следующим образом. Пусть и являются топологические пространства , тогда мы имеем три цепных комплексов , и . (Аргумент в равной степени относится к симплициальным или сингулярным цепным комплексам.) Мы также имеют тензорное произведение комплекс , у которого дифференциал, по определению,

для и , дифференциалы на , .

Тогда теорема говорит, что у нас есть цепные отображения

таким образом, что является единицей и является цепной гомотопны к единице. Более того, карты естественны в и . Следовательно, два комплекса должны иметь одинаковые гомологии :

Утверждение в терминах составных карт

Первоначальная теорема была доказана в терминах ациклических моделей, но больший пробег был получен в формулировках Эйленберга и Мак Лейна с использованием явных карт. Стандартная карта они производят традиционно называют картой Александро-Уитни и на карте Эйленберга- Зильбера . Отображения естественны и в и, и обратны с точностью до гомотопии:

для гомотопности естественной в обоих , и таким образом, что в дальнейшем, каждый из , и равна нулю. Это то, что стало бы известно как данные сокращения или гомотопического ретракта .

Побочный продукт

Диагональное отображение индуцирует отображение коцепных комплексов , за которым следует отображение Александера – Уитни, которое дает копроизведение, индуцирующее стандартное копроизведение на . Относительно этих копроизведений на и карта

,

также называемое отображением Эйленберга – Зильбера, становится отображением дифференциальных градуированных коалгебр . Сама композиция не является картой коалгебр.

Утверждение в когомологиях

Отображения Александера – Уитни и Эйленберга – Зильбера дуализуются (при любом выборе коммутативного кольца коэффициентов с единицей) к паре отображений

которые также являются гомотопическими эквивалентностями, о чем свидетельствуют двойники предыдущих уравнений, использующие двойственную гомотопию . Копроизведение не дуализируется напрямую, потому что дуализация не распределяется по тензорным произведениям бесконечно порожденных модулей, но существует естественная инъекция дифференциальных градуированных алгебр, заданных формулой , произведение берется в кольце коэффициентов . Это индуцирует изоморфизм в когомологиях, поэтому есть зигзаг отображений дифференциальной градуированной алгебры

индуцирование продукта в когомологиях, известное как произведение чашки , потому что и являются изоморфизмами. Заменив на так что все карты идут одинаково, получится стандартный кубок на коцепях, явно заданный как

,

которое, поскольку вычисление коцепи исчезает, если только оно не сводится к более знакомому выражению.

Обратите внимание , что если это прямое отображение коцепных комплексов, на самом деле карта дифференциальных градуированных алгебр, то произведение чашка будет делать с градуированной коммутативной алгебры , которой она не является. Эта неспособность отображения Александера – Уитни быть отображением коалгебры является примером недоступности коммутативных моделей коцепного уровня для когомологий над полями с ненулевой характеристикой и, таким образом, в некотором смысле ответственна за большую часть тонкости и сложности в стабильной теории гомотопий. .

Обобщения

Важное обобщение на неабелев случай с использованием скрещенных комплексов дается в статье Эндрю Тонкса ниже. Это дает полную информацию о результате о (симплициальном) классифицирующем пространстве скрещенного комплекса, сформулированном, но не доказанном в статье Рональда Брауна и Филипа Дж. Хиггинса о классификации пространств.

Последствия

Теорема Эйленберга – Зильбера является ключевым элементом в установлении теоремы Кюннета , которая выражает группы гомологий через и . В свете теоремы Эйленберга – Зильбера, содержание теоремы Кюннета состоит в анализе того, как гомологии комплекса тензорного произведения соотносятся с гомологиями факторов.

Смотрите также

использованная литература

  • Эйленберг, Самуэль ; Зильбер, Джозеф А. (1953), "О произведениях комплексов", Американский журнал математики , 75 . (1), стр 200-204, DOI : 10,2307 / 2372629 , JSTOR  2372629 , MR  0052767.
  • Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1.
  • Тонкс, Эндрю (2003), "О теореме Эйленберга-Зильбера для скрещенных комплексов", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 179 (1-2), стр 199-230,. Дои : 10.1016 / S0022-4049 (02) 00160 -3 , Руководство по ремонту  1958384.
  • Браун, Рональд ; Хиггинс, Филип Дж. (1991), "Классифицирующее пространство скрещенного комплекса", Математические слушания Кембриджского философского общества , 110 , стр. 95–120, CiteSeerX  10.1.1.145.9813 , DOI : 10.1017 / S0305004100070158.