Дуоцилиндр - Duocylinder

Стереографическая проекция гребня дуоцилиндра (см. Ниже) в виде плоского тора . Гребень вращается в плоскости XW.

Duocylinder или двойной цилиндр , представляет собой геометрический объект , встроенный в 4- мерного евклидова пространства , определяется как декартово произведение двух дисков соответствующих радиусов г 1 и г 2 :

Это аналог цилиндра в 3-м пространстве, который представляет собой декартово произведение диска на отрезок . Но в отличие от цилиндра обе гиперповерхности ( обычного дуоцилиндра) конгруэнтны .

Его двойник представляет собой дуошпиндель, состоящий из двух окружностей, одна в плоскости XY, а другая в плоскости ZW.

Геометрия

Ограничивающие 3-многообразия

Duocylinder ограничена два взаимно перпендикулярно 3- многообразия с тором -как поверхности соответственно описывается формулами:

а также

Дуоцилиндр назван так потому, что эти два ограничивающих 3-многообразия можно рассматривать как трехмерные цилиндры, «изогнутые» в 4-мерном пространстве, так что они образуют замкнутые контуры в плоскостях XY и ZW . Дуоцилиндр имеет вращательную симметрию в обеих этих плоскостях.

Правильный дуоцилиндр состоит из двух конгруэнтных ячеек, одной квадратной плоской грани тора (гребня), нулевых ребер и нулевых вершин.

Хребет

Гребень из duocylinder является 2-многообразием, граница между двумя ограничивающими (твердым веществом) торой клеток. Он имеет форму тора Клиффорда , который представляет собой декартово произведение двух окружностей. Интуитивно это можно построить следующим образом: сверните двухмерный прямоугольник в цилиндр так, чтобы его верхний и нижний края пересекались. Затем катите цилиндр в плоскости, перпендикулярной трехмерной гиперплоскости, в которой находится цилиндр, так, чтобы два его круглых конца встретились.

Полученная форма топологически эквивалентна евклидову двумерному тору (форме бублика). Однако, в отличие от последнего, все части его поверхности деформируются одинаково. На пончике поверхность вокруг «отверстия для пончика» деформируется с отрицательной кривизной, в то время как внешняя поверхность деформируется с положительной кривизной.

Ребро дуоцилиндра можно рассматривать как реальную глобальную форму экранов видеоигр, таких как Asteroids , где выход за край одной стороны экрана ведет к другой стороне. Его нельзя без искажения встроить в трехмерное пространство, потому что для соединения обеих пар ребер требуется две степени свободы в дополнение к присущей ему двумерной поверхности.

Дуоцилиндр может быть построен из 3-сферы , «отрезав» выпуклость 3-сферы по обе стороны от гребня. Аналог этого на 2-сфере состоит в том, чтобы нарисовать круги малых широт под углом ± 45 градусов и отрезать выпуклость между ними, оставив цилиндрическую стену, и отрезав вершины, оставив плоские вершины. Эта операция эквивалентна удалению выбранных вершин / пирамид из многогранников , но поскольку 3-сфера является гладкой / регулярной, вам необходимо обобщить операцию.

Двугранный угол между двумя 3-й гиперповерхности по обе стороны от хребта составляет 90 градусов.

Прогнозы

Параллельные проекции дуоцилиндра в трехмерное пространство и его поперечные сечения в трехмерном пространстве образуют цилиндры. Перспективные проекции дуоцилиндра образуют торообразные формы с заполненным «бубликом».

Отношение к другим формам

Дуоцилиндр - это форма, ограничивающая дуопризмы, поскольку количество сторон составляющих многоугольных призм приближается к бесконечности. Таким образом, дуопризмы служат хорошими политопными приближениями дуоцилиндра.

В трехмерном пространстве цилиндр можно рассматривать как промежуточное звено между кубом и сферой . В четырехмерном пространстве есть три промежуточные формы между тессерактом (1 шар × 1 шар × 1 шар × 1 шар) и гиперсферой (4 шара ). Они есть:

  • кубиндер (2-шар × 1-шар × 1-шар), поверхность которого состоит из четырех цилиндрических ячеек и одного квадратного тора.
  • spherinder (3-шар × 1-шар), поверхность которого состоит из трех клеток - двух сфер, и область между ними.
  • duocylinder (2-шар × 2 шара), поверхность которого состоит из двух тороидальных клеток.

Дуоцилиндр - единственный из трех стандартных. Эти конструкции соответствуют пяти перегородкам из 4-х размеров.

Смотрите также

Рекомендации

  • Простое объяснение четвертого измерения , Генри П. Мэннинг, Munn & Company, 1910, Нью-Йорк. Доступно в библиотеке Университета Вирджинии. Также доступно в Интернете: The Fourth Dimension Simply Explained - содержит описание дуопризм и дуоцилиндров (двойных цилиндров).
  • Визуальное руководство по дополнительным измерениям: визуализация четвертого измерения, многомерных многогранников и изогнутых гиперповерхностей , Крис МакМаллен, 2008, ISBN  978-1438298924

Внешние ссылки

( Копия Wayback Machine )