Уравнение перетаскивания - Drag equation

В динамике жидкости , то уравнение сопротивления формула используется для вычисления силы сопротивления , испытываемого объектом вследствие перемещения через полностью вмещающую жидкость . Уравнение:

${\ Displaystyle F _ {\ rm {d}} \, = \, {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, u ^ {2} \, c _ {\ rm {d}} \, A }$: ${\ displaystyle F _ {\ rm {d}}}$ - сила сопротивления , которая по определению является составляющей силы в направлении скорости потока,; ${\ displaystyle \ rho}$ - массовая плотность жидкости,; ${\ displaystyle u}$ - скорость потока относительно объекта,; ${\ displaystyle A}$ - эталонная область , а; ${\ displaystyle c _ {\ rm {d}}}$ - коэффициент сопротивления - безразмерный коэффициент, связанный с геометрией объекта и учитывающий как поверхностное трение, так и сопротивление формы . Если жидкость является жидкостью, зависит от числа Рейнольдса ; если жидкость является газом, зависит как от числа Рейнольдса, так и от числа Маха . ${\ displaystyle c _ {\ rm {d}}}$ ${\ displaystyle c _ {\ rm {d}}}$

Уравнение приписывается лорду Рэлею , который первоначально использовал L ² вместо A (где L было некоторым линейным размером).

Контрольная область A обычно определяется как область ортогональной проекции объекта на плоскость, перпендикулярную направлению движения. Для неполых объектов простой формы, таких как сфера, это точно так же, как площадь поперечного сечения . Для других объектов (например, катящейся трубы или тела велосипедиста) A может быть значительно больше, чем площадь любого поперечного сечения вдоль любой плоскости, перпендикулярной направлению движения. Для аэродинамических профилей в качестве эталонной площади используется квадрат длины хорды ; Так как хорды аэродинамического профиля обычно имеют длину 1, эталонная площадь также равна 1. В самолетах используется площадь крыла (или площадь лопастей несущего винта) в качестве эталонной площади, что упрощает сравнение подъема . Дирижабли и тела вращения используют объемный коэффициент сопротивления, в котором эталонная площадь является квадратом кубического корня из объема дирижабля. Иногда для одного и того же объекта задаются разные контрольные области, и в этом случае необходимо указать коэффициент сопротивления, соответствующий каждой из этих различных областей.

Для обтекаемых тел с острыми углами , таких как квадратные цилиндры и пластины, расположенные поперек направления потока, это уравнение применимо с коэффициентом сопротивления как постоянным значением, когда число Рейнольдса больше 1000. Для гладких тел, таких как круглый цилиндр, коэффициент сопротивления Коэффициент лобового сопротивления может значительно изменяться, пока числа Рейнольдса не достигают 10 ⁷ (десяти миллионов).

Обсуждение

Уравнение легче понять для идеализированной ситуации, когда вся жидкость сталкивается с эталонной областью и полностью останавливается, создавая давление застоя по всей площади. Ни один реальный объект не соответствует такому поведению. это отношение сопротивления любого реального объекта к сопротивлению идеального объекта. На практике грубое необтекаемое тело (крутое тело) будет иметь примерно 1, более или менее. Более гладкие объекты могут иметь гораздо более низкие значения . Уравнение точное - оно просто дает определение ( коэффициента сопротивления ), который зависит от числа Рейнольдса и определяется экспериментально. ${\ displaystyle c _ {\ rm {d}}}$ ${\ displaystyle c _ {\ rm {d}}}$ ${\ displaystyle c _ {\ rm {d}}}$ ${\ displaystyle c _ {\ rm {d}}}$

Особое значение имеет зависимость от скорости потока, а это означает, что сопротивление жидкости увеличивается пропорционально квадрату скорости потока. Когда, например, скорость потока увеличивается вдвое, жидкость ударяется не только с удвоенной скоростью, но и с удвоенной массой ударов жидкости в секунду. Следовательно, изменение количества движения за секунду умножается на четыре. Сила эквивалентна изменению количества движения, деленному на время. Это контрастирует с трением твердое тело о твердое тело , которое обычно очень мало зависит от скорости потока. ${\ displaystyle u ^ {2}}$

Связь с динамическим давлением

Сила сопротивления также может быть указана как,

${\ Displaystyle F _ {\ rm {d}} \ propto P _ {\ rm {D}} A}$

где Р _Д является давление , оказываемое текучей среды на площади A . Здесь давление P _D называется динамическим давлением из-за кинетической энергии жидкости, испытывающей относительную скорость потока u . Это определяется в форме, аналогичной уравнению кинетической энергии:

${\ displaystyle P _ {\ rm {D}} = {\ frac {1} {2}} \ rho u ^ {2}}$

Вывод

Уравнение сопротивления может быть получено с точностью до мультипликативной константы методом анализа размеров . Если движущаяся жидкость встречает объект, она оказывает на объект силу. Предположим, что жидкость является жидкостью, и участвующие переменные - при некоторых условиях - это:

скорость у ,
плотность жидкости ρ ,
кинематическая вязкость жидкости ν ,
размер тела, выраженный через его смачиваемую площадь А , и
сила сопротивления F _d .

Используя алгоритм π-теоремы Бакингема , эти пять переменных можно свести к двум безразмерным группам:

В качестве альтернативы безразмерные группы путем прямого управления переменными.

Это становится очевидным, когда сила сопротивления F _d выражается как часть функции других переменных в задаче:

{\ Displaystyle f_ {a} (F _ {\ rm {d}}, \, u, \, A, \, \ rho, \, \ nu) \, = \, 0. \,}

Эта довольно странная форма выражения используется потому, что не предполагает однозначной связи. Здесь f _a - некоторая (пока неизвестная) функция, которая принимает пять аргументов. Теперь правая часть равна нулю в любой системе единиц; поэтому должна быть возможность выразить взаимосвязь, описываемую f _a, в терминах только безразмерных групп.

Есть много способов комбинировать пять аргументов f _a для образования безразмерных групп, но π-теорема Бакингема утверждает, что таких групп будет две. Наиболее подходящими являются число Рейнольдса, определяемое по формуле

{\ displaystyle \ mathrm {Re} \, = \, {\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu}}}

и коэффициент лобового сопротивления, определяемый как

{\ displaystyle c _ {\ rm {d}} \, = \, {\ frac {F _ {\ rm {d}}} {{\ frac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}}.}

Таким образом, функция пяти переменных может быть заменена другой функцией только двух переменных:

{\ displaystyle f_ {b} \ left ({\ frac {F _ {\ rm {d}}} {{\ frac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}}) , \, {\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu}} \ right) \, = \, 0.}

где f _b - некоторая функция двух аргументов. Исходный закон затем сводится к закону, включающему только эти два числа.

Поскольку единственной неизвестной в приведенном выше уравнении является сила сопротивления F _d , ее можно выразить как

{\ displaystyle {\ frac {F _ {\ rm {d}}} {{\ frac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}} \, = \, f_ { c} \ left ({\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu}} \ right)}

или

{\ Displaystyle F _ {\ rm {d}} \, = \, {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2} \, f_ {c} (\ mathrm { Re}), \,}

и с

{\ displaystyle c _ {\ rm {d}} \, = \, f_ {c} (\ mathrm {Re}).}

Таким образом, сила просто равна 1/2 ρ A u ^2, умноженной на некоторую (пока неизвестную) функцию f _c числа Рейнольдса Re - значительно более простая система, чем исходная функция с пятью аргументами, приведенная выше.

Таким образом, размерный анализ делает очень сложную задачу (попытка определить поведение функции пяти переменных) намного более простой: определение сопротивления как функции только одной переменной, числа Рейнольдса.

Если текучая среда представляет собой газ, определенные свойства газа влияют на сопротивление, и эти свойства также должны быть приняты во внимание. Эти свойства обычно считаются абсолютной температурой газа и отношением его удельной теплоты. Эти два свойства определяют скорость звука в газе при данной температуре. Теорема Букингема Пи затем приводит к третьей безразмерной группе - отношению относительной скорости к скорости звука, которое известно как число Маха . Следовательно, когда тело движется относительно газа, коэффициент сопротивления изменяется в зависимости от числа Маха и числа Рейнольдса.

Также анализ дает бесплатно, так сказать, другую информацию. Анализ показывает, что при прочих равных сила сопротивления будет пропорциональна плотности жидкости. Такая информация часто оказывается чрезвычайно ценной, особенно на ранних стадиях исследовательского проекта.

Экспериментальные методы

Чтобы эмпирически определить зависимость числа Рейнольдса, вместо того, чтобы экспериментировать с большим телом с быстро текущими жидкостями (например, с самолетами реальных размеров в аэродинамических трубах ), можно с таким же успехом экспериментировать с небольшой моделью в потоке с более высокой скоростью, потому что они две системы обеспечивают сходство , имея одинаковое число Рейнольдса. Если то же самое число Рейнольдса и число Маха не могут быть достигнуты только за счет использования потока с более высокой скоростью, может быть выгодно использовать жидкость большей плотности или более низкой вязкости.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Бэтчелор, GK (1967). Введение в динамику жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
Хантли, HE (1967). Размерный анализ . Дувр. LOC 67-17978.

Languages

In other projects