Расстояние от точки до плоскости - Distance from a point to a plane

В евклидове пространства , то расстояние от точки до плоскости расстояние между заданной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскости или ближайшей точкой на плоскости.

Его можно найти, начиная с замены переменных, которая перемещает начало координат, чтобы оно совпало с данной точкой, а затем находя точку на смещенной плоскости, которая является ближайшей к началу координат . Полученная точка имеет декартовы координаты : ${\ displaystyle ax + by + cz = d}$ ${\ Displaystyle (х, у, г)}$

${\ displaystyle \ displaystyle x = {\ frac {ad} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}, \ quad \ quad \ displaystyle y = {\ frac {bd} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}, \ quad \ quad \ displaystyle z = {\ frac {cd} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}$.

Расстояние между началом координат и точкой равно . ${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$

Преобразование общей проблемы в проблему расстояния от источника

Предположим, мы хотим найти ближайшую точку на плоскости к точке ( ), где плоскость определяется выражением . Мы определяем , , и , чтобы получить , как самолет выражается в терминах преобразованных переменных. Теперь проблема заключалась в нахождении ближайшей точки на этой плоскости к началу координат и ее расстояния от начала координат. Точку на плоскости с точки зрения исходных координат можно найти из этой точки, используя приведенные выше отношения между и , между и , и между и ; расстояние в исходных координатах такое же, как расстояние в пересмотренных координатах. ${\ displaystyle X_ {0}, Y_ {0}, Z_ {0}}$${\ displaystyle aX + bY + cZ = D}$${\ displaystyle x = X-X_ {0}}$${\ displaystyle y = Y-Y_ {0}}$${\ displaystyle z = Z – Z_ {0}}$${\ displaystyle d = D-aX_ {0} -bY_ {0} -cZ_ {0}}$${\ displaystyle ax + by + cz = d}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle Z}$

Переформулировка с использованием линейной алгебры

Формулу для ближайшей точки к началу координат можно выразить более кратко, используя обозначения линейной алгебры . Выражение в определении плоскости - это скалярное произведение , а выражение, появляющееся в решении, - это квадрат нормы . Таким образом, если является заданным вектором, плоскость может быть описана как набор векторов, для которых ближайшей точкой на этой плоскости является вектор ${\ displaystyle ax + by + cz}$ ${\ Displaystyle (а, б, с) \ cdot (х, у, г)}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}$ ${\ Displaystyle | (а, б, в) | ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (а, б, в)}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {ш} = d}$

${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ mathbf {v} d} {| \ mathbf {v} | ^ {2}}}}$.

Евклидово расстояние от начала координат до плоскости является нормой этой точки,

${\ displaystyle {\ frac {| d |} {| \ mathbf {v} |}} = {\ frac {| d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}}$.

Почему это ближайшая точка

Как в координатной, так и в векторной формулировках, можно проверить, что данная точка лежит на данной плоскости, подставив точку в уравнение плоскости.

Чтобы увидеть, что это ближайшая точка к началу координат на плоскости, обратите внимание, что она является скалярным кратным вектору, определяющему плоскость, и поэтому ортогональна плоскости. Таким образом, если любая точка на плоскости, кроме себя, то отрезки от начала координат до и от , чтобы сформировать прямоугольный треугольник , и по теореме Пифагора расстояние от начала координат до IS ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ sqrt {| \ mathbf {p} | ^ {2} + | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} | ^ {2}}}}$.

Поскольку число должно быть положительным, это расстояние больше, чем расстояние от начала координат до . ${\ displaystyle | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} | ^ {2}}$${\ displaystyle | \ mathbf {p} |}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

В качестве альтернативы можно переписать уравнение плоскости, используя скалярные произведения с вместо исходного скалярного произведения с (поскольку эти два вектора являются скалярными кратными друг другу), после чего ближайшая точка становится непосредственным следствием неравенство Коши-Шварца . ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Ближайшая точка и расстояние для гиперплоскости и произвольной точки

Векторное уравнение для гиперплоскости в -мерном евклидовом пространстве через точку с нормальным вектором : или где . Соответствующая декартова форма - это где . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {а} \ neq \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle (\ mathbf {x} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a} = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {a} = d}$${\ displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a}}$${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = d}$${\ displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a} = a_ {1} p_ {1} + a_ {2} p_ {2} + \ cdots a_ {n} p_ {n}}$

Ближайшая точка на этой гиперплоскости к произвольной точке - это ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {y} - \ left [{\ dfrac {(\ mathbf {y} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a}} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a} = \ mathbf {y} - \ left [{\ dfrac {\ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d} {\ mathbf {a } \ cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a}}$

а расстояние от гиперплоскости до ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ Displaystyle \ влево \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ | = \ left \ | \ left [{\ dfrac {(\ mathbf {y} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a}} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a} \ right \ | = {\ dfrac {\ left | (\ mathbf {y} - \ mathbf { p}) \ cdot \ mathbf {a} \ right |} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}} = {\ dfrac {\ left | \ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d \ right |} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}}}$.

Написанная в декартовой форме, ближайшая точка задается для где ${\ displaystyle x_ {i} = y_ {i} -ka_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$

${\ Displaystyle к = {\ dfrac {\ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} = {\ dfrac {a_ {1} y_ { 1} + a_ {2} y_ {2} + \ cdots a_ {n} y_ {n} -d} {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots a_ {n} ^ {2}}}}$,

а расстояние от гиперплоскости до ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ displaystyle {\ dfrac {\ left | a_ {1} y_ {1} + a_ {2} y_ {2} + \ cdots a_ {n} y_ {n} -d \ right |} {\ sqrt {a_ { 1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots a_ {n} ^ {2}}}}}$.

Таким образом, в точке на плоскости, ближайшей к произвольной точке , задается ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle ax + by + cz = d}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$${\ Displaystyle (х, у, г)}$

${\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {l} x = x_ {1} -ka \\ y = y_ {1} -kb \\ z = z_ {1} -kc \ end {array}} \ право\}}$

где

${\ displaystyle k = {\ dfrac {ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} -d} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$,

а расстояние от точки до плоскости равно

${\ displaystyle {\ dfrac {\ left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} -d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}}$.

Смотрите также

• Расстояние от точки до линии
• Нормальная форма Гессена
• Наклонные линии # Расстояние

Ссылки