Кольцо продукта - Product ring

В математике можно объединить несколько колец в одно большое кольцо продукта . Это делается путем получения декартова произведения (возможно, бесконечного) семейства колец покоординатным сложением и умножением. Полученное кольцо называется прямым произведением исходных колец.

Примеры

Важным примером является кольцо Z / п Z из целых чисел по модулю п . Если n записано как произведение степеней простых чисел (см. Основную теорему арифметики ),

где p i - различные простые числа, то Z / n Z естественно изоморфно кольцу произведения

Это следует из китайской теоремы об остатках .

Характеристики

Если R = Π i I R i является произведением колец, то для каждого i в I существует сюръективный гомоморфизм колец p i : R R i, который проецирует произведение на i- ю координату. Произведение R вместе с проекциями p i обладает следующим универсальным свойством :

если S является любым кольцом и е я : S R я является кольцевым гомоморфизмом для каждого I в I , то существует ровно один кольцевой гомоморфизм F : S R такое , что р я е = F I для каждого я в I .

Это показывает, что произведение колец является примером произведений в смысле теории категорий .

Когда I конечно, основная аддитивная группа Π i I R i совпадает с прямой суммой аддитивных групп R i . В этом случае некоторые авторы называют R «прямой суммой колец R i » и пишут i I R i , но это неверно с точки зрения теории категорий, поскольку обычно это не копроизведение в категории колец: например, когда два или более R i не равны нулю, отображение включения R i R не может отобразить 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.

(Конечное копроизведение в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над коммутативным кольцом является тензорным произведением алгебр . Копроизведение в категории алгебр является свободным произведением алгебр .)

Прямые продукты коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямой продукт.

Если я являюсь идеальным из R я для каждого I в I , то = Π яЯ я являюсь идеал R . Если I конечно, то верно и обратное, т. Е. Любой идеал кольца R имеет этот вид. Однако, если I бесконечно и кольца R i не равны нулю, то обратное неверно: множество элементов со всеми, кроме конечного числа ненулевых координат образует идеал, который не является прямым произведением идеалов R i . Идеал A является простым идеалом в R, если все A i, кроме одного , равны R i, а оставшиеся A i являются простым идеалом в R i . Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма в R я образую идеал , не содержащийся в любом таких А , но аксиома выбора дает , что оно содержится в некотором максимальном идеале , который подавно премьер.

Элемент х в R является единицей тогда и только тогда , когда все его компоненты являются единицы, то есть, тогда и только тогда , когда р я ( х ) является единицей в R я для каждого I в I . Группа единиц R является произведением групп единиц R i .

Продукт двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля : если x является элементом продукта, все координаты которого равны нулю, кроме p i ( x ) , и y является элементом продукта со всеми нулевыми координатами, кроме p j ( y ), где i j , то xy = 0 в кольце произведения.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

  • Херштейн, И. Н. (2005) [1968], Некоммутативные кольца (5-е изд.), Cambridge University Press , ISBN   978-0-88385-039-8
  • Лэнг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 91, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984.00001