Вывод преобразований Лоренца - Derivations of the Lorentz transformations

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени
Общая теория относительности
Классическая гравитация
Соответствующая математика
v т е

Есть много способов вывести преобразования Лоренца с использованием различных физических принципов, от уравнений Максвелла до постулатов специальной теории относительности Эйнштейна , и математических инструментов, охватывающих от элементарной алгебры и гиперболических функций до линейной алгебры и теории групп .

В этой статье представлены некоторые из наиболее простых для использования в контексте специальной теории относительности для простейшего случая буста Лоренца в стандартной конфигурации, то есть двух инерциальных систем, движущихся относительно друг друга с постоянной (однородной) относительной скоростью, меньшей, чем скорость света и используя декартовы координаты, чтобы оси x и x 'были коллинеарны .

Преобразование Лоренца

В основных отраслях современной физики , а именно общей теории относительности и ее широко применимым подмножестве специальной теории относительности , а также релятивистской квантовой механики и релятивистской квантовой теории поля , то преобразование Лоренца является правилом преобразования , при котором все четыре-векторы и тензоры , содержащие физические величины преобразования от одной системы координат к другой.

В простых примерах таких четыре векторов являются четыре позиции и четыре импульса из частицы , так и для полех электромагнитного тензора и энергия-импульс тензор . Тот факт, что эти объекты преобразуются в соответствии с преобразованием Лоренца, математически определяет их как векторы и тензоры; см. тензор для определения.

Учитывая компоненты четырех векторов или тензоров в некотором кадре, «правило преобразования» позволяет определять измененные компоненты тех же четырех векторов или тензоров в другом кадре, которые могут быть увеличены или ускорены относительно исходного кадра. «Разгон» не следует связывать с пространственным перемещением , скорее он характеризуется относительной скоростью между кадрами. Само правило трансформации зависит от относительного движения кадров. В простейшем случае двух инерциальных систем отсчета относительная скорость между ними входит в правило преобразования. Для вращающихся систем отсчета или обычных неинерциальных систем отсчета необходимы дополнительные параметры, включая относительную скорость (величину и направление), ось вращения и угол поворота.

Историческое прошлое

Обычная трактовка (например, оригинальная работа Альберта Эйнштейна ) основана на неизменности скорости света. Однако, это не обязательно отправной точкой: действительно (как подвергается, например, во втором томе Курса теоретической физики по Ландау и Лифшица ), что на самом деле на кону местонахождение взаимодействий: один предполагает , что влияние, которое, скажем, одна частица оказывает на другую, не может передаваться мгновенно. Следовательно, существует теоретическая максимальная скорость передачи информации, которая должна быть инвариантной, и оказывается, что эта скорость совпадает со скоростью света в вакууме. Сам Ньютон называл идею действия на расстоянии философски «абсурдной» и считал, что гравитация должна передаваться неким агентом в соответствии с определенными законами.

Майкельсон и Морли в 1887 году разработали эксперимент с использованием интерферометра и полупрозрачного зеркала, который оказался достаточно точным, чтобы обнаружить поток эфира. Система зеркал отражала свет обратно в интерферометр. Если бы имел место дрейф эфира, он произвел бы фазовый сдвиг и изменение интерференции, которое было бы обнаружено. Однако фазового сдвига обнаружено не было. Отрицательный результат эксперимента Майкельсона-Морли подорвал концепцию эфира (или его дрейфа). Вследствие этого возникло недоумение относительно того, почему свет, очевидно, ведет себя как волна, без какой-либо обнаруживаемой среды, через которую может распространяться волновая активность.

В статье 1964 года Эрик Кристофер Зееман показал, что свойство сохранения причинности , условие, которое в математическом смысле более слабое, чем инвариантность скорости света, достаточно, чтобы гарантировать, что преобразования координат являются преобразованиями Лоренца. В статье Нормана Гольдштейна аналогичный результат показан с использованием инерции (сохранение временных линий), а не причинности .

Физические принципы

Эйнштейн основывал свою специальную теорию относительности на двух фундаментальных постулатах . Во-первых, все физические законы одинаковы для всех инерциальных систем отсчета, независимо от их относительного состояния движения; и, во-вторых, скорость света в свободном пространстве одинакова во всех инерциальных системах отсчета, опять же, независимо от относительной скорости каждой системы отсчета. Преобразование Лоренца, по сути, является прямым следствием этого второго постулата.

Второй постулат

Предположим второй постулат специальной теории относительности, утверждающий постоянство скорости света, независимой от системы отсчета, и рассмотрим набор систем отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью, то есть инерциальных систем , каждая из которых наделена своим собственным набором декартовых координат. координаты маркировки точек, то есть событий пространства-времени. Чтобы выразить неизменность скорости света в математической форме, зафиксируйте два события в пространстве-времени, которые будут записаны в каждой системе отсчета. Пусть первым событием будет излучение светового сигнала, а вторым - его поглощение.

Выберите любую опорную рамку в коллекции. В его координатах первому событию будут присвоены координаты , а второму . Пространственное расстояние между излучением и поглощением равно , но это также расстояние, которое проходит сигнал. Следовательно, можно составить уравнение ${\ displaystyle x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}, ct_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}, ct_ {2}}$${\ textstyle {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}}}$${\ displaystyle c (t_ {2} -t_ {1})}$

${\ displaystyle c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} - (y_ {2} -y_ {1} ) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} = 0.}$

Все остальные системы координат будут записывать то же уравнение в своих координатах. Это непосредственное математическое следствие неизменности скорости света. Величина слева называется пространственно-временным интервалом . Интервал для событий, разделенных световыми сигналами, одинаков (ноль) во всех системах отсчета и поэтому называется инвариантным .

Инвариантность интервала

Чтобы преобразование Лоренца имело физическое значение, осознаваемое природой, крайне важно, чтобы интервал был инвариантной мерой для любых двух событий, а не только для тех, которые разделены световыми сигналами. Чтобы установить это, мы рассматриваем бесконечно малый интервал,

${\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2},}$

как записано в системе . Пусть будет другая система, назначающая интервал одним и тем же двум бесконечно удаленным событиям. Поскольку если , то интервал также будет равен нулю в любой другой системе (второй постулат), а поскольку и являются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка, они должны быть пропорциональны друг другу, ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K '}$${\ displaystyle ds '^ {2}}$${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$${\ displaystyle ds ^ {2}}$${\ displaystyle ds '^ {2}}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = ads '^ {2}.}$

От чего может зависеть? Это может не зависеть от положения двух событий в пространстве-времени, потому что это нарушит постулируемую однородность пространства-времени . Это может зависеть от относительной скорости между и , но только от скорости, а не от направления, потому что последнее нарушит изотропию пространства . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K '}$

Теперь внесите системы и , ${\ displaystyle K_ {1}}$${\ displaystyle K_ {2}}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = a (V_ {1}) ds_ {1} ^ {2}, \ quad ds ^ {2} = a (V_ {2}) ds_ {2} ^ {2}, \ quad ds_ {1} ^ {2} = a (V_ {12}) ds_ {2} ^ {2}.}$

Из этого следует,

${\ displaystyle {\ frac {a (V_ {2})} {a (V_ {1})}} = a (V_ {12}).}$

Теперь можно заметить, что в правой части, которая зависит от обоих и ; а также от угла между векторами и . Однако можно также заметить, что левая часть не зависит от этого угла. Таким образом, единственный способ сохранить истинность уравнения - это если функция является константой. Далее, по тому же уравнению эта постоянная равна единице. Таким образом, ${\ displaystyle V_ {12}}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {2}}$${\ Displaystyle а (V)}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = ds '^ {2}}$

для всех систем . Поскольку это верно для всех бесконечно малых интервалов, это верно для всех интервалов. ${\ displaystyle K '}$

Большинство, если не все, выводы преобразований Лоренца принимают это как должное [Неясно, что такое "это". "Это" то, что пространственно-временные интервалы равны? Или "это" то, что верно для всех бесконечно малых интервалов, также верно для всех интервалов? ]. В этих выводах они используют только постоянство скорости света (инвариантность светоподобных разделенных событий). Этот результат гарантирует, что преобразование Лоренца является правильным преобразованием [опять же неясно, что означает «Это»].

Строгое утверждение и доказательство пропорциональности ds ² и ds ′ ²

Теорема: Пусть целые числа, и векторное пространство над по размеру . Позвольте быть неопределенным внутренним продуктом с типом подписи . Предположим , есть симметричная билинейная форма на такое , что пустое множество из ассоциированной квадратичной формы от содержится в том , что из (т.е. предположим , что для каждого , если потом ). Тогда существует такая константа , что . Кроме того, если мы предположим, что он также имеет тип подписи , то у нас есть . ${\ Displaystyle п, п \ geq 1}$${\ displaystyle d: = n + p}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle (п, р)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle h (v, v) = 0}$${\ displaystyle g (v, v) = 0}$${\ displaystyle C \ in {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle g = Ch}$${\ Displaystyle п \ neq p}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle (п, р)}$${\ displaystyle C> 0}$

Замечания.

• В предыдущем разделе термин «бесконечно малый» по отношению к фактически относится (поточечно) к квадратичной форме над четырехмерным вещественным векторным пространством (а именно касательным пространством в точке пространственно-временного многообразия). Приведенный выше аргумент почти дословно скопирован из Ландау и Лифшица, где соразмерность и просто констатируется как «очевидный» факт, даже несмотря на то, что это утверждение не сформулировано математически точно и не доказано. Это неочевидный математический факт, который необходимо обосновать; к счастью, доказательство относительно простое и сводится к основным алгебраическим наблюдениям и манипуляциям.${\ displaystyle ds ^ {2}}$${\ displaystyle ds ^ {2}}$${\ displaystyle ds '^ {2}}$

• Приведенные выше предположения относительно означает следующее: является билинейной формой , которая является симметричной и невырожденной , таким образом, что существует упорядоченный базис из , для которого${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h: V \ times V \ to {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ dots, v_ {n}, v_ {n + 1}, \ dots, v_ {d} \}}$${\ displaystyle V}$
  $${\ displaystyle h (v_ {a}, v_ {b}) = {\ begin {case} -1 & {\ text {if}} a = b \ in \ {1, \ dots, n \} \\ 1 & { \ text {if}} a = b \ in \ {n + 1, \ dots, d \} \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$$

  
  Эквивалентный способ сказать, что это матричное представление относительно упорядоченного базиса .${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -I_ {n} & 0 \\ 0 & I_ {p} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ dots, v_ {d} \}}$

• Если мы рассмотрим частный случай, когда мы имеем дело с ситуацией лоренцевой сигнатуры в четырех измерениях, на которой основана теория относительности (или можно было бы принять противоположное соглашение со знаком минус; но это явно не так. влияют на истинность теоремы). Кроме того, в этом случае, если мы предполагаем, и обе имеют квадратичные формы с одним и тем же нулевым набором (в терминологии физики мы говорим это и порождаем один и тот же световой конус), то теорема говорит нам, что существует такая константа , что . По модулю некоторых различий в обозначениях, это именно то, что было использовано в разделе выше .${\ Displaystyle п = 1, р = 3}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle C> 0}$${\ displaystyle g = Ch}$

Доказательство теоремы.

Для удобства давайте согласимся в этом доказательстве с тем, что греческие индексы любят колебаться, а латинские индексы - больше . Кроме того, везде мы будем использовать соглашение Эйнштейна о суммировании . ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ Displaystyle \ {1, \ точки, п \}}$${\ displaystyle i, j}$${\ Displaystyle \ {п + 1, \ точки, п \}}$

Фиксируем базис из относительно которого имеет матричное представление . Кроме того, для каждого и, имеющего единицу евклидовой нормы, рассмотрим вектор . Тогда в силу билинейности имеем , а значит, и по нашему предположению . Используя билинейность и симметрию , это эквивалентно ${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ dots, v_ {d} \}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle [h] = {\ begin {pmatrix} -I_ {n} & 0 \\ 0 & I_ {p} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle x = (x ^ {1}, \ dots, x ^ {n}) \ in {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ displaystyle y = (y ^ {n + 1} \ dots, y ^ {n + p}) \ in {\ mathbb {R}} ^ {p}}$${\ displaystyle w = x ^ {\ alpha} v _ {\ alpha} + y ^ {i} v_ {i} \ in V}$${\ Displaystyle час (вес, вес) = - \ lVert x \ rVert ^ {2} + \ lVert y \ rVert ^ {2} = - 1 + 1 = 0}$${\ Displaystyle г (ш, ш) = 0}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} x ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} + 2g _ {\ alpha i} x ^ {\ alpha} y ^ {i} + g_ {ij} y ^ {i} у ^ {j} = 0.}$

Поскольку это верно для всей единичной нормы, мы можем заменить на, чтобы получить ${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle -y}$

${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} x ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} -2g _ {\ alpha i} x ^ {\ alpha} y ^ {i} + g_ {ij} y ^ {i} у ^ {j} = 0.}$

Теперь вычтем эти два уравнения и разделим на 4, чтобы получить, что для всей единичной нормы, ${\ displaystyle x, y}$

${\ displaystyle g _ {\ alpha i} x ^ {\ alpha} y ^ {i} = 0.}$

Итак, выбирая и (т.е. с 1 в указанном индексе и 0 в другом месте), мы видим, что в результате этого наше первое уравнение упрощается до ${\ Displaystyle х = е _ {\ альфа} \ in {\ mathbb {R}} ^ {п}}$${\ displaystyle y = e_ {i} \ in {\ mathbb {R}} ^ {p}}$${\ displaystyle g _ {\ alpha i} = 0}$

${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} x ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} = - g_ {ij} y ^ {i} y ^ {j}.}$

Это еще раз верно для всех и для единичной нормы. В результате все недиагональные члены исчезают; подробнее, предположим, это разные индексы. Подумайте . Тогда, так как правая часть уравнения не зависит от , мы видим , что и , следовательно . Практически идентичным аргументом мы заключаем, что если - разные индексы, то . ${\ Displaystyle х \ в {\ mathbb {R}} ^ {п}}$${\ displaystyle y \ in {\ mathbb {R}} ^ {p}}$${\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ в \ {1, \ точки, п \}}$${\ textstyle x _ {\ pm} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (e _ {\ alpha} \ pm e _ {\ beta})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} = 0}$${\ displaystyle i, j \ in \ {n + 1, \ dots, n + p \}}$${\ displaystyle g_ {ij} = 0}$

Наконец, последовательно позволяя диапазону расширяться, а затем позволяя диапазону выходить за пределы , мы видим, что ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {n} \ in {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {p} \ in {\ mathbb {R}} ^ {p}}$

${\ displaystyle -g_ {11} = \ dots = -g_ {nn} = g_ {n + 1, n + 1} = \ dots = g_ {n + p, n + p}}$,

или, другими словами, имеет матричное представление , что эквивалентно высказыванию . Итак, заявленная в теореме константа пропорциональности равна . Наконец, если мы предположим, что у обоих есть типы подписи, а затем (мы не можем иметь, потому что это будет означать , что невозможно, поскольку наличие типа подписи означает, что это ненулевая билинейная форма. Кроме того, если , то это означает, что имеет положительную диагональ записи и отрицательные диагональные записи, т. е. имеет сигнатуру , поскольку мы предполагали , поэтому это также невозможно. Это оставляет нас в качестве единственного варианта). Это завершает доказательство теоремы. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle [g] = - g_ {11} \ cdot {\ begin {pmatrix} -I_ {n} & 0 \\ 0 & I_ {p} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle g = -g_ {11} \ cdot h}$${\ displaystyle C = -g_ {11}}$${\ displaystyle g, h}$${\ Displaystyle (п, р)}$${\ Displaystyle п \ neq p}$${\ displaystyle C: = - g_ {11}> 0}$${\ displaystyle C = 0}$${\ displaystyle g = 0}$${\ Displaystyle (п, р)}$${\ displaystyle C <0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle (п, п) \ neq (п, р)}$${\ Displaystyle п \ neq p}$${\ displaystyle C> 0}$

Стандартная конфигурация

Инвариантный интервал можно рассматривать как функцию неположительно определенного расстояния в пространстве-времени. Набор искомых преобразований должен оставлять это расстояние неизменным. Из-за декартовой природы системы координат системы отсчета можно сделать вывод, что, как и в евклидовом случае, возможные преобразования состоят из сдвигов и вращений, при этом термин «вращение» может иметь немного более широкое значение.

Интервал тривиально инвариантен относительно трансляции. Для поворотов есть четыре координаты. Следовательно, есть шесть плоскостей вращения. Три из них - это вращения в пространственных плоскостях. Интервал инвариантен и относительно обычных вращений.

Осталось найти «поворот» в трех оставшихся координатных плоскостях, при котором интервал остается неизменным. Точно так же найти способ присвоить координаты так, чтобы они совпадали с координатами, соответствующими движущейся системе отсчета.

Общая проблема состоит в том, чтобы найти такое преобразование, что

${\ displaystyle {\ begin {align} & \, \, \, \, \, \, \, \, c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ { 2} -x_ {1}) ^ {2} - (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} \\ & = c ^ {2} (t_ {2} '- t_ {1}') ^ {2} - (x_ {2} '- x_ {1}') ^ {2} - (y_ {2} '- y_ {1} ') ^ {2} - (z_ {2}' - z_ {1} ') ^ {2}. \ End {выравнивается}}}$

Для решения общей проблемы можно использовать знание об инвариантности интервала перемещений и обычных вращений, чтобы без ограничения общности предположить, что системы отсчета F и F ′ выровнены таким образом, что все их оси координат пересекаются в точке t = t ′ = 0 и что оси x и x ′ постоянно выровнены, а система F ′ имеет скорость V вдоль положительной оси x . Назовите это стандартной конфигурацией . Это сводит общую проблему к поиску такого преобразования, что

${\ displaystyle c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} = c ^ {2} (t_ {2} '-t_ {1}') ^ {2} - (x_ {2} '- x_ {1}') ^ {2}.}.$

Стандартная конфигурация используется в большинстве примеров ниже. Линейное решение простой задачи

${\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} = c ^ {2} t '^ {2} -x' ^ {2}}$

решает более общую проблему, поскольку разности координат затем преобразуются одинаково. При рассмотрении этой более простой проблемы в литературе часто предполагается или как-то аргументируется линейность. Если решение более простой задачи не является линейным, то оно не решает исходную проблему из-за перекрестных членов, появляющихся при расширении квадратов.

Решения

Как уже упоминалось, общая проблема решается переводами в пространство-время. Они не кажутся решением более простой поставленной задачи, в отличие от бустов (а иногда и поворотов в зависимости от угла атаки). Еще больше решений существует, если настаивать только на неизменности интервала для светоподобных разделенных событий. Это нелинейные конформные («сохраняющие угол») преобразования. Надо

Преобразования Лоренца ⊂ Пуанкаре преобразования ⊂ конформной группы преобразований .

Некоторые уравнения физики конформно инвариантны, например , уравнения Максвелла в пространстве без источников, но не все. Актуальность конформных преобразований в пространстве-времени в настоящее время неизвестна, но конформная группа в двух измерениях очень важна в конформной теории поля и статистической механике . Таким образом, именно группа Пуанкаре выделяется постулатами специальной теории относительности. Именно наличие повышений Лоренца (для которых сложение скоростей отличается от простого сложения векторов, которое допускало бы скорости, превышающие скорость света) в отличие от обычных повышений, которые отделяют его от галилеевой группы теории относительности Галилея . Пространственные вращения, пространственные и временные инверсии и трансляции присутствуют в обеих группах и имеют одинаковые последствия в обеих теориях (законы сохранения импульса, энергии и углового момента). Не все принятые теории соблюдают симметрию относительно инверсий.

Использование геометрии пространства-времени

Решение Ландау и Лифшица

Задача, поставленная в стандартной конфигурации для ускорения в x- направлении , где штрихованные координаты относятся к движущейся системе, решается путем нахождения линейного решения более простой задачи.

${\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} = c ^ {2} t '^ {2} -x' ^ {2}.}$

Наиболее общее решение, как можно проверить прямой заменой с помощью (H1),

Чтобы определить роль Ψ в физическом окружении, запишите последовательность начала координат F ′ , то есть x ′ = 0, x = vt . Уравнения становятся (используя сначала x ′ = 0 ),

${\ displaystyle x = ct '\ sinh \ Psi, \ quad ct = ct' \ cosh \ Psi.}$

Теперь разделите:

${\ displaystyle {\ frac {x} {ct}} = \ tanh \ Psi = {\ frac {v} {c}} \ Rightarrow \ quad \ sinh \ Psi = {\ frac {\ frac {v} {c} } {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, \ quad \ cosh \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ гидроразрыв {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}},}$

где x = vt использовалось на первом этапе, (H2) и (H3) на втором, что при повторном подключении к ( 1 ) дает

${\ displaystyle x = {\ frac {x '+ vt'} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, \ quad t = {\ frac {t '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} x'} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}},}$

или, используя обычные сокращения,

Этот расчет повторяется более подробно в разделе гиперболическое вращение .

Гиперболическое вращение

Преобразования Лоренца также могут быть получены путем простого применения постулатов специальной теории относительности и использования гиперболических тождеств .

Постулаты относительности

Начнем с уравнений сферического волнового фронта светового импульса с центром в начале координат:

${\ displaystyle (ct) ^ {2} - (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) = (ct ') ^ {2} - (x' ^ {2} + y ' ^ {2} + z '^ {2}) = 0}$

которые принимают одинаковую форму в обеих системах отсчета из-за постулатов специальной теории относительности. Затем рассмотрим относительное движение по осям x каждого кадра в стандартной конфигурации, приведенной выше, так что y = y ′, z = z ′, что упрощается до

${\ displaystyle (ct) ^ {2} -x ^ {2} = (ct ') ^ {2} -x' ^ {2}}$

Линейность

Теперь предположим, что преобразования принимают линейный вид:

${\ displaystyle {\ begin {выравнивается} x '& = Ax + Bct \\ ct' & = Cx + Dct \ end {выравнивается}}}$

где находятся A , B , C , D. Если бы они были нелинейными, они не принимали бы одну и ту же форму для всех наблюдателей, поскольку фиктивные силы (следовательно, ускорения) возникали бы в одной системе отсчета, даже если бы скорость была постоянной в другой, что несовместимо с преобразованиями инерциальной системы отсчета.

Подставляем в предыдущий результат:

${\ displaystyle (ct) ^ {2} -x ^ {2} = [(Cx) ^ {2} + (Dct) ^ {2} + 2CDcxt] - [(Ax) ^ {2} + (Bct) ^ {2} + 2ABcxt]}$

и сравнивая коэффициенты x ² , t ² , xt :

${\ displaystyle {\ begin {align} -1 = C ^ {2} -A ^ {2} & \ Rightarrow & A ^ {2} -C ^ {2} = 1 \\ c ^ {2} = (Dc) ^ {2} - (Bc) ^ {2} & \ Rightarrow & D ^ {2} -B ^ {2} = 1 \\ 2CDc-2ABc = 0 & \ Rightarrow & AB = CD \ end {выровнено}}}$

Гиперболическое вращение

Уравнения предполагают гиперболическое тождество ${\ displaystyle \ cosh ^ {2} \ phi - \ sinh ^ {2} \ phi = 1.}$

Введение параметра быстроты ϕ как гиперболического угла позволяет согласованно отождествлять

${\ Displaystyle А = D = \ сш \ фи \ ,, \ квад С = В = - \ зп \ фи}$

где знаки после квадратных корней выбраны так, чтобы x и t увеличивались. Гиперболические преобразования решены для:

${\ Displaystyle {\ begin {align} x '& = x \ cosh \ phi -ct \ sinh \ phi \\ ct' & = - x \ sinh \ phi + ct \ cosh \ phi \ end {align}}}$

Если бы знаки были выбраны по-другому, координаты положения и времени необходимо было бы заменить на - x и / или - t, чтобы x и t увеличивались, а не уменьшались.

Чтобы определить, как ϕ соотносится с относительной скоростью, из стандартной конфигурации начало отсчета со штрихом x '= 0 измеряется в нем, чтобы быть x = vt (или эквивалентным и противоположным способом; начало отсчета без штриха равно x = 0, а в системе со штрихом - x ′ = - vt ):

${\ displaystyle 0 = vt \ cosh \ phi -ct \ sinh \ phi \, \ Rightarrow \, \ tanh \ phi = {\ frac {v} {c}} = \ beta}$

а манипуляции с гиперболическими тождествами приводят к соотношениям между β , γ и ϕ ,

${\ Displaystyle \ сш \ фи = \ гамма, \, \ квад \ зп \ фи = \ бета \ гамма \ ,.}$

Из физических принципов

Проблема обычно ограничивается двумя измерениями с использованием скорости вдоль оси x , так что координаты y и z не пересекаются, как описано выше в стандартной конфигурации .

Замедление времени и сокращение длины

Уравнения преобразования могут быть получены из замедления времени и сокращения длины , которые, в свою очередь, могут быть выведены из первых принципов. С O и O ', представляющими пространственные начала кадров F и F' , и некоторым событием M , отношение между векторами положения (которые здесь сводятся к ориентированным сегментам OM , OO ' и O'M ) в обоих кадрах задается следующим образом: :

OM = OO ′ + O′M .

Используя координаты ( x , t ) в F и ( x ′, t ′) в F ′ для события M, в кадре F сегменты имеют вид OM = x , OO ′ = vt и O′M = x ′ / γ (поскольку x ' является O'M как измерено в F' ):

${\ displaystyle x = vt + x '/ \ gamma.}$

Аналогично, в кадре F ′ сегменты имеют вид OM = x / γ (поскольку x является OM, как измерено в F ), OO ′ = vt ′ и O′M = x ′ :

${\ displaystyle x / \ gamma = vt '+ x'.}$

Преобразуя первое уравнение, получаем

${\ Displaystyle х '= \ гамма (х-vt),}$

что является пространственной частью преобразования Лоренца. Второе соотношение дает

${\ Displaystyle х = \ гамма (х '+ vt'),}$

что является инверсией космической части. Исключение x ′ между двумя уравнениями пространственной части дает

${\ Displaystyle т '= \ гамма (т-vx / с ^ {2}),}$

что является временной частью преобразования, обратное которому находится аналогичным исключением x :

${\ displaystyle t = \ gamma (t '+ vx' / c ^ {2}).}$

Сферические световые фронты

Следующее похоже на Эйнштейна. Как и в преобразовании Галилея, преобразование Лоренца является линейным, поскольку относительная скорость систем отсчета постоянна как вектор; в противном случае появились бы силы инерции . Их называют инерциальными или галилеевыми системами отсчета. Согласно теории относительности никакая система отсчета Галилея не является привилегированной. Другое условие состоит в том, что скорость света не должна зависеть от системы отсчета, на практике от скорости источника света.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета O и O ′, предполагая, что O находится в состоянии покоя, в то время как O ′ движется со скоростью v относительно O в положительном направлении x . Истоки O и O ′ изначально совпадают. Световой сигнал излучается из общего источника и распространяется как сферический волновой фронт. Рассмотрим точку P на сферическом волновом фронте на расстоянии r и r ′ от начала координат O и O ′ соответственно. Согласно второму постулату специальной теории относительности скорость света одинакова в обоих кадрах, поэтому для точки P :

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = ct \\ r '& = ct'. \ end {выравнивается}}}$

Уравнение сферы в системе отсчета O задается формулой

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}$

Для сферического волнового фронта, который становится

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2}.}$

Точно так же уравнение сферы в системе отсчета O ′ задается формулой

${\ displaystyle x '^ {2} + y' ^ {2} + z '^ {2} = r' ^ {2},}$

так что сферический волновой фронт удовлетворяет

${\ displaystyle x '^ {2} + y' ^ {2} + z '^ {2} = c ^ {2} t' ^ {2}.}$

Начало координат O ′ движется по оси x . Следовательно,

${\ displaystyle {\ begin {align} y '& = y \\ z' & = z. \ end {align}}}$

x ′ должен линейно изменяться с x и t . Следовательно, преобразование имеет вид

${\ Displaystyle х '= \ гамма х + \ сигма т.}$

Для начала координат O ′ x ' и x задаются формулами

${\ displaystyle {\ begin {align} x '& = 0 \\ x & = vt, \ end {align}}}$

Итак, для всех t ,

${\ displaystyle 0 = \ gamma vt + \ sigma t}$

и поэтому

${\ Displaystyle \ sigma = - \ gamma v.}$

Это упрощает преобразование в

${\ Displaystyle х '= \ гамма \ влево (х-vt \ вправо)}$

где γ подлежит определению. В этой точке γ не обязательно является константой, но требуется уменьшить до 1 при v ≪ c .

Обратное преобразование такое же, за исключением того, что знак v меняется на противоположный:

${\ displaystyle x = \ gamma \ left (x '+ vt' \ right).}$

Два приведенных выше уравнения определяют связь между t и t ′ как:

${\ Displaystyle х = \ гамма \ влево [\ гамма \ влево (х-vt \ вправо) + vt '\ вправо]}$

или

${\ displaystyle t '= \ gamma t + {\ frac {\ left (1 - {\ gamma ^ {2}} \ right) x} {\ gamma v}}.}$

Заменив x ′, y ′, z ′ и t ′ в уравнении сферического волнового фронта в системе отсчета O ′,

${\ displaystyle x '^ {2} + y' ^ {2} + z '^ {2} = c ^ {2} t' ^ {2},}$

с их выражениями в терминах x , y , z и t дает:

${\ displaystyle {\ gamma ^ {2}} \ left (x-vt \ right) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = c ^ {2} \ left [\ gamma t + {\ гидроразрыв {\ left (1 - {\ gamma ^ {2}} \ right) x} {\ gamma v}} \ right] ^ {2}}$

и поэтому,

${\ displaystyle \ gamma ^ {2} x ^ {2} + \ gamma ^ {2} v ^ {2} t ^ {2} -2 \ gamma ^ {2} vtx + y ^ {2} + z ^ { 2} = c ^ {2} {\ gamma ^ {2}} t ^ {2} + {\ frac {\ left (1 - {\ gamma ^ {2}} \ right) ^ {2} c ^ {2 } x ^ {2}} {{\ gamma ^ {2}} v ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ left (1 - {\ gamma ^ {2}} \ right) txc ^ {2} } {v}}}$

что означает,

${\ displaystyle \ left [{\ gamma ^ {2}} - {\ frac {\ left (1 - {\ gamma ^ {2}} \ right) ^ {2} c ^ {2}} {{\ gamma ^ {2}} v ^ {2}}} \ right] x ^ {2} -2 {\ gamma ^ {2}} vtx + y ^ {2} + z ^ {2} = \ left (c ^ {2 } {\ gamma ^ {2}} - v ^ {2} {\ gamma ^ {2}} \ right) t ^ {2} +2 {\ frac {\ left [1 - {\ gamma ^ {2}} \ right] txc ^ {2}} {v}}}$

или

${\ displaystyle \ left [{\ gamma ^ {2}} - {\ frac {\ left (1 - {\ gamma ^ {2}} \ right) ^ {2} c ^ {2}} {{\ gamma ^ {2}} v ^ {2}}} \ right] x ^ {2} - \ left [2 {\ gamma ^ {2}} v + 2 {\ frac {\ left (1 - {\ gamma ^ {2 }} \ right) c ^ {2}} {v}} \ right] tx + y ^ {2} + z ^ {2} = \ left [c ^ {2} {\ gamma ^ {2}} - v ^ {2} {\ gamma ^ {2}} \ right] t ^ {2}}$

Сравнение коэффициента при t ² в приведенном выше уравнении с коэффициентом при t ² в уравнении сферического волнового фронта для системы O дает:

${\ displaystyle c ^ {2} {\ gamma ^ {2}} - v ^ {2} {\ gamma ^ {2}} = c ^ {2}}$

Эквивалентные выражения для γ могут быть получены путем сопоставления коэффициентов x ² или установки коэффициента tx равным нулю. Перестановка:

${\ displaystyle {\ gamma ^ {2}} = {\ frac {1} {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$

или, выбирая положительный корень, чтобы оси x и x 'и оси времени указывали в одном направлении,

${\ displaystyle {\ gamma} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

который называется фактором Лоренца . Это дает преобразование Лоренца из приведенного выше выражения. Это дается

${\ displaystyle {\ begin {align} x '& = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ t' & = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}} } \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {align}}}$

Преобразование Лоренца - не единственное преобразование, оставляющее неизменной форму сферических волн, поскольку существует более широкий набор преобразований сферических волн в контексте конформной геометрии , оставляя неизменным выражение . Однако конформные преобразования с изменением масштаба не могут использоваться для симметричного описания всех законов природы, включая механику , тогда как преобразования Лоренца (единственное подразумеваемое ) представляют собой симметрию всех законов природы и сводятся к преобразованиям Галилея при . ${\ displaystyle \ lambda \ left (\ delta x ^ {2} + \ delta y ^ {2} + \ delta z ^ {2} -c ^ {2} \ delta t ^ {2} \ right)}$${\ displaystyle \ lambda = 1}$${\ displaystyle v \ ll c}$

Теория относительности Галилея и Эйнштейна

Галилеевы системы отсчета

В классической кинематике полное смещение x в кадре R представляет собой сумму относительного смещения x ′ в кадре R ′ и расстояния между двумя исходными точками x - x ′. Если v - относительная скорость R ′ относительно R, преобразование будет следующим: x  =  x ′ +  vt или x ′ =  x  -  vt . Это соотношение является линейным для постоянной v , то есть когда R и R 'являются галилеевыми системами отсчета.

Основное отличие теории относительности Эйнштейна от теории относительности Галилея состоит в том, что координаты пространства и времени взаимосвязаны и находятся в разных инерциальных системах отсчета t  ≠  t ′.

Поскольку пространство предполагается однородным, преобразование должно быть линейным. Наиболее общая линейная зависимость получается с четырьмя постоянными коэффициентами: A , B , γ и b :

${\ Displaystyle х '= \ гамма х + bt \,}$

${\ displaystyle t '= Ax + Bt. \,}$

Линейное преобразование становится преобразованием Галилея, когда γ = B = 1, b = - v и A = 0.

Объект, покоящийся в кадре R ′ в позиции x ′ = 0, движется с постоянной скоростью v в кадре R. Следовательно, преобразование должно давать x ′ = 0, если x = vt . Следовательно, b = - γv и первое уравнение записывается как

${\ Displaystyle х '= \ гамма (х-vt) \ ,.}$

Используя принцип относительности

Согласно принципу относительности, привилегированной системы отсчета Галилея не существует: поэтому обратное преобразование для положения из системы R 'в систему R должно иметь ту же форму, что и исходная, но со скоростью в противоположном направлении, т.е. заменяя v с -v :

${\ Displaystyle х = \ гамма \ влево (х '- (- v) т' \ вправо),}$

и поэтому

${\ displaystyle x = \ gamma \ left (x '+ vt' \ right).}$

Определение постоянных первого уравнения

Поскольку скорость света одинакова во всех системах отсчета, в случае светового сигнала преобразование должно гарантировать, что t  =  x / c, когда t ′ =  x ′ / c .

Подстановка t и t ′ в предыдущие уравнения дает:

${\ Displaystyle х '= \ гамма \ влево (1-v / с \ вправо) х,}$

${\ displaystyle x = \ gamma \ left (1 + v / c \ right) x '.}$

Умножение этих двух уравнений вместе дает,

${\ displaystyle xx '= \ gamma ^ {2} \ left (1-v ^ {2} / c ^ {2} \ right) xx'.}$

В любой момент после t = t ′ = 0 xx ′ не равно нулю, поэтому деление обеих частей уравнения на xx ′ приводит к

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}},}$

который называется «фактором Лоренца».

Когда требуется, чтобы уравнения преобразования удовлетворяли уравнениям светового сигнала в форме x  =  ct и x '= ct ', путем замены значений x и x '  тот же метод дает такое же выражение для фактора Лоренца.

Определение постоянных второго уравнения

Уравнение преобразования для времени может быть легко получено путем рассмотрения частного случая светового сигнала, снова удовлетворяющего x  =  ct и x ′ =  ct ′, путем подстановки члена за членом в ранее полученное уравнение для пространственной координаты

${\ Displaystyle х '= \ гамма (х-vt), \,}$

давая

${\ displaystyle ct '= \ gamma \ left (ct - {\ frac {v} {c}} x \ right),}$

так что

${\ displaystyle t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {v} {c ^ {2}}} x \ right),}$

который при отождествлении с

${\ displaystyle t '= Ax + Bt, \,}$

определяет коэффициенты преобразования A и B как

${\ Displaystyle А = - \ гамма v / с ^ {2}, \,}$

${\ Displaystyle В = \ гамма. \,}$

Таким образом, A и B - это уникальные постоянные коэффициенты, необходимые для сохранения постоянства скорости света в системе координат со штрихом.

Популярный вывод Эйнштейна

В своей популярной книге Эйнштейн вывел преобразование Лоренца, утверждая, что должны быть две ненулевые константы связи λ и μ такие, что

${\ displaystyle {\ begin {case} x'-ct '= \ lambda \ left (x-ct \ right) \\ x' + ct '= \ mu \ left (x + ct \ right) \, \ end { случаи}}}$

которые соответствуют свету, движущемуся вдоль положительной и отрицательной оси абсцисс соответственно. Для света x = ct тогда и только тогда, когда x ′ = ct ′ . Сложение и вычитание двух уравнений и определение

${\ Displaystyle {\ begin {case} \ gamma = \ left (\ lambda + \ mu \ right) / 2 \\ b = \ left (\ lambda - \ mu \ right) / 2, \, \ end {cases} }}$

дает

${\ Displaystyle {\ begin {case} x '= \ gamma x-bct \\ ct' = \ gamma ct-bx. \, \ end {cases}}}$

Подставив x ′ = 0, соответствующий x = vt, и отметив, что относительная скорость равна v = bc / γ , это дает

${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ t' = \ gamma \ left (t - {\ frac {v} {c ^ {2}}} x \ right) \, \ end {case}}}$

Константу γ можно оценить, задав c ² t ² - x ² = c ² t ′ ² - x ′ ² в соответствии со стандартной конфигурацией .

Используя теорию групп

Из групповых постулатов

Ниже приводится классический вывод (см., Например, [1] и ссылки в нем), основанный на групповых постулатах и ​​изотропии пространства.

Координатные преобразования как группа

Преобразования координат между инерциальными системами отсчета образуют группу (называемую собственно группой Лоренца ), причем групповая операция представляет собой композицию преобразований (выполнение одного преобразования за другим). Действительно, четыре групповых аксиомы выполнены:

1. Замыкание : композиция двух преобразований - это преобразование: рассмотрим композицию преобразований из инерциальной системы отсчета K в инерциальную систему отсчета K ′ (обозначается как K → K ′), а затем из K ′ в инерциальную систему отсчета K ′ ′, [ K ′ → K ′ ′], существует преобразование, [ K → K ′] [ K ′ → K ′ ′], непосредственно из инерциальной системы отсчета K в инерциальную систему отсчета K ′ ′.
2. Ассоциативность : преобразования ([ K → K ′] [ K ′ → K ′ ′]) [ K ′ ′ → K ′ ′ ′] и [ K → K ′] ([ K ′ → K ′ ′] [ K ′ ′ → K ′ ′ ′]) идентичны.
3. Идентичность элемент : существует единичный элемент, преобразование К → К .
4. Обратный элемент : для любого преобразования К → K 'существует обратное преобразование K ' → K .

Матрицы преобразований, согласованные с групповыми аксиомами

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, K и K ′, причем последняя движется со скоростью v относительно первой. Вращениями и сдвигами мы можем выбрать оси x и x ′ вдоль вектора относительной скорости, а также то, что события ( t , x ) = (0,0) и ( t ′, x ′) = (0,0) совпадают. Поскольку увеличение скорости происходит по осям x (и x ′ ), с перпендикулярными координатами ничего не происходит, и мы можем просто опустить их для краткости. Теперь, поскольку преобразование, которое мы ищем, соединяет две инерциальные системы отсчета, оно должно преобразовать линейное движение в ( t , x ) в линейное движение в координатах ( t ', x ') . Следовательно, это должно быть линейное преобразование. Общий вид линейного преобразования:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t '\\ x' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ delta \\\ beta & \ alpha \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} t \\ x \ end {bmatrix}},}$

где α , β , γ и δ - некоторые еще неизвестные функции относительной скорости v .

Рассмотрим теперь движение начала системы отсчета K ′. В кадре K ′ он имеет координаты ( t ′, x ′ = 0) , а в кадре K он имеет координаты ( t , x = vt ) . Эти две точки связаны преобразованием

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t '\\ 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ delta \\\ beta & \ alpha \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} } t \\ vt \ end {bmatrix}},}$

откуда мы получаем

${\ Displaystyle \ бета = -v \ альфа \,}$.

Аналогично, рассматривая движение начала отсчета K , получаем

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t '\\ - vt' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ delta \\\ beta & \ alpha \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t \\ 0 \ end {bmatrix}},}$

откуда мы получаем

${\ Displaystyle \ бета = -v \ гамма \,}$.

Объединение этих двух дает α = γ, и матрица преобразования упрощается,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t '\\ x' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ delta \\ - v \ gamma & \ gamma \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t \\ x \ end {bmatrix}}.}$

Теперь рассмотрим обратный элемент группового постулата . Есть два способа перейти от системы координат K ′ к системе координат K. Первый - применить обратную матрицу преобразования к координатам K ′:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t \\ x \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {\ gamma ^ {2} + v \ delta \ gamma}} {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ delta \\ v \ gamma & \ gamma \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t '\\ x' \ end {bmatrix}}.}$

Во - вторых, учитывая , что K 'система координат движется со скоростью об относительно K системы координат K система координат должна двигаться со скоростью - v по отношению к К ' системе координат. Замена v на - v в матрице преобразования дает:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t \\ x \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma (-v) & \ delta (-v) \\ v \ gamma (-v) & \ гамма (-v) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t '\\ x' \ end {bmatrix}},}$

Теперь функция γ не может зависеть от направления v, потому что это, по-видимому, фактор, который определяет релятивистское сжатие и замедление времени. Эти двое (в нашем изотропном мире) не могут зависеть от направления v . Таким образом, γ (- v ) = γ ( v ) и сравнивая две матрицы, получаем

${\ displaystyle \ gamma ^ {2} + v \ delta \ gamma = 1.}$

Согласно постулату группы замыкания , композиция двух преобразований координат также является преобразованием координат, поэтому произведение двух наших матриц также должно быть матрицей той же формы. Преобразование K в K ′ и из K ′ в K ′ ′ дает следующую матрицу преобразования для перехода от K к K ′ ′:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {bmatrix} t '' \\ x '' \ end {bmatrix}} & = {\ begin {bmatrix} \ gamma (v ') & \ delta (v') \\ - v '\ gamma (v') & \ gamma (v ') \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ gamma (v) & \ delta (v) \\ - v \ gamma (v) & \ gamma (v) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t \\ x \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} \ gamma (v ') \ gamma (v) - v \ delta (v ') \ gamma (v) & \ gamma (v') \ delta (v) + \ delta (v ') \ gamma (v) \\ - (v' + v) \ gamma (v ' ) \ gamma (v) & - v '\ gamma (v') \ delta (v) + \ gamma (v ') \ gamma (v) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t \\ x \ конец {bmatrix}}. \ end {выравнивается}}}$

В исходной матрице преобразования оба основных диагональных элемента равны γ , следовательно, чтобы объединенная матрица преобразования, приведенная выше, имела ту же форму, что и исходная матрица преобразования, элементы главной диагонали также должны быть равны. Приравнивание этих элементов и перестановка дает:

${\ Displaystyle \ гамма (v ') \ гамма (v) -v \ delta (v') \ gamma (v) = - v '\ gamma (v') \ delta (v) + \ gamma (v ') \ гамма (v) \,}$

${\ Displaystyle v \ дельта (v ') \ гамма (v) = v' \ гамма (v ') \ delta (v) \,}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta (v)} {v \ gamma (v)}} = {\ frac {\ delta (v ')} {v' \ gamma (v ')}}. \,}$

Знаменатель будет отличным от нуля для ненулевого v , потому что γ ( v ) всегда отличен от нуля;

${\ Displaystyle \ гамма ^ {2} + v \ дельта \ гамма = 1}$.

Если v = 0, у нас есть единичная матрица, которая совпадает с помещением v = 0 в матрицу, которую мы получаем в конце этого вывода для других значений v , что делает окончательную матрицу действительной для всех неотрицательных v .

Для ненулевого v эта комбинация функций должна быть универсальной константой, одной и той же для всех инерциальных систем отсчета. Определить эту константу в качестве δ ( v ) / об Г ( v ) = каппа , где κ имеет размерность в 1 / V ² . Решение

${\ Displaystyle 1 = \ гамма ^ {2} + v \ дельта \ гамма = \ гамма ^ {2} (1+ \ каппа v ^ {2}) \,}$

мы наконец получаем

${\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1+ \ kappa v ^ {2}}}}$

и, таким образом, матрица преобразования, согласованная с аксиомами группы, имеет вид

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t '\\ x' \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ kappa v ^ {2}}}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ kappa v \\ - v & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t \\ x \ end {bmatrix}}.}.$

Если κ > 0 , тогда будут преобразования (с κv ² ≫ 1 ), которые преобразуют время в пространственную координату и наоборот. Мы исключаем это по физическим причинам, потому что время может течь только в положительном направлении. Таким образом, с групповыми постулатами согласуются два типа матриц преобразования:

Галилеевы преобразования

Если κ = 0, то мы получаем кинематику Галилея-Ньютона с преобразованием Галилея,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t '\\ x' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - v & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t \\ x \ конец {bmatrix}} \ ;,}$

где время абсолютное, t ′ = t , а относительная скорость v двух инерциальных систем отсчета не ограничена.

Преобразования Лоренца

Если κ <0 , то мы устанавливаем, которая становится инвариантной скоростью , скоростью света в вакууме. Это дает κ = −1 / c ^2, и, таким образом, мы получаем специальную теорию относительности с преобразованием Лоренца ${\ displaystyle c = 1 / {\ sqrt {- \ kappa}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t '\\ x' \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- {v ^ {2} \ over c ^ {2}}}} } {\ begin {bmatrix} 1 & {- v \ over c ^ {2}} \\ - v & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} t \\ x \ end {bmatrix}} \ ;,}$

где скорость света - это конечная универсальная постоянная, определяющая максимально возможную относительную скорость между инерциальными системами отсчета.

Если v ≪ c, преобразование Галилея является хорошим приближением преобразования Лоренца.

Только эксперимент может ответить на вопрос, какая из двух возможностей, κ = 0 или κ <0 , реализуется в нашем мире. Эксперименты по измерению скорости света, впервые проведенные датским физиком Оле Рёмером , показывают, что она конечна, а эксперимент Майкельсона-Морли показал, что это абсолютная скорость и, следовательно, κ <0 .

Повышение от генераторов

Используя скорость ϕ для параметризации преобразования Лоренца, усиление в направлении x равно

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ phi & - \ sinh \ phi & 0 & 0 \\ - \ sinh \ phi & \ cosh \ phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}, }$

также для усиления в у -направления

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ phi & 0 & - \ sinh \ phi & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \ sinh \ phi & 0 & \ cosh \ phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}, }$

и г -направление

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ phi & 0 & 0 & - \ sinh \ phi \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \ sinh \ phi & 0 & 0 & \ cosh \ phi \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \ ,. }$

где e _x , e _y , e _z - декартовы базисные векторы, набор взаимно перпендикулярных единичных векторов вдоль их указанных направлений. Если один кадр увеличивается со скоростью v относительно другого, удобно ввести единичный вектор n = v / v = β / β в направлении относительного движения. Общий прирост

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c \, t '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ phi & -n_ {x} \ sinh \ phi & -n_ {y} \ sinh \ phi & -n_ {z} \ sinh \ phi \\ - n_ {x} \ sinh \ phi & 1 + (\ ch \ phi -1) n_ {x} ^ {2 } & (\ cosh \ phi -1) n_ {x} n_ {y} & (\ cosh \ phi -1) n_ {x} n_ {z} \\ - n_ {y} \ sinh \ phi & (\ cosh \ phi -1) n_ {y} n_ {x} & 1 + (\ ch \ phi -1) n_ {y} ^ {2} & (\ ch \ phi -1) n_ {y} n_ {z} \\ - n_ {z} \ sinh \ phi & (\ ch \ phi -1) n_ {z} n_ {x} & (\ cosh \ phi -1) n_ {z} n_ {y} & 1 + (\ cosh \ phi -1 ) n_ {z} ^ {2} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Обратите внимание, что матрица зависит от направления относительного движения, а также от скорости во всех трех числах (два для направления, один для скорости).

Мы можем преобразовать каждую из матриц повышения в другую форму следующим образом. Сначала рассмотрим усиление по оси x . Разложение в ряд Тейлора матрицы повышающего о φ = 0 является

${\ displaystyle B (\ mathbf {e} _ {x}, \ phi) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ phi ^ {n}} {n!}} \ left . {\ frac {\ partial ^ {n} B (\ mathbf {e} _ {x}, \ phi)} {\ partial \ phi ^ {n}}} \ right | _ {\ phi = 0}}$

где производные матрицы по ϕ задаются дифференцированием каждого элемента матрицы отдельно, а обозначение | _{ϕ = 0} указывает, что ϕ устанавливается в ноль после оценки производных. Расширение до первого порядка дает бесконечно малое преобразование

${\ displaystyle B (\ mathbf {e} _ {x}, \ phi) = I + \ phi \ left. {\ frac {\ partial B} {\ partial \ phi}} \ right | _ {\ phi = 0} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} - \ phi {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & end & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & end & 0 & 0 & 0 \\ 0 & end & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0}$

что справедливо, если ϕ мало (следовательно, ϕ ² и более высокие степени незначительны), и может быть интерпретировано как отсутствие повышения (первый член I представляет собой единичную матрицу 4 × 4), за которым следует небольшое повышение. Матрица

${\ displaystyle K_ {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

является генератором повышения в направлении x , поэтому бесконечно малое усиление равно

${\ Displaystyle B (\ mathbf {e} _ {x}, \ phi) = I- \ phi K_ {x}}$

Теперь ϕ мало, поэтому деление на положительное целое число N дает еще меньшее приращение скорости ϕ / N , а N этих бесконечно малых повышений дадут исходное бесконечно малое усиление с быстротой ϕ ,

${\ displaystyle B (\ mathbf {e} _ {x}, \ phi) = \ left (I - {\ frac {\ phi K_ {x}} {N}} \ right) ^ {N}}$

В пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов получаем конечное преобразование буста

${\ displaystyle B (\ mathbf {e} _ {x}, \ phi) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (I - {\ frac {\ phi K_ {x}} {N}} \ справа) ^ {N} = e ^ {- \ phi K_ {x}}}$

которое является предельным определением экспоненты, данным Леонардом Эйлером , и теперь верно для любого ϕ .

Повторение процесса повышения в направлениях y и z приводит к получению других генераторов.

${\ displaystyle K_ {y} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad K_ {z} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

и повышения

${\ Displaystyle B (\ mathbf {e} _ {y}, \ phi) = e ^ {- \ phi K_ {y}} \ ,, \ quad B (\ mathbf {e} _ {z}, \ phi) = e ^ {- \ phi K_ {z}} \ ,.}$

Для любого направления бесконечно малое преобразование (малое ϕ и разложение до первого порядка)

${\ Displaystyle B (\ mathbf {n}, \ phi) = I + \ phi \ left. {\ frac {\ partial B} {\ partial \ phi}} \ right | _ {\ phi = 0} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} - \ phi {\ begin {bmatrix} 0 & n_ {x} & n_ {y} & n_ {z} \\ n_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ n_ {y} & 0 & 0 & 0 \\ n_ {z} & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & n_ {x} & n_ {y} & n_ {z} \\ n_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ n_ {y} & 0 & 0 & 0 \\ n_ {z} & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} = n_ {x} K_ {x} + n_ {y} K_ {y} + n_ {z} K_ {z} = \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}}$

является генератором наддува в направлении n . Это генератор полного повышения, вектор матриц K = ( K _x , K _y , K _z ) , спроецированный в направлении усиления n . Бесконечно малое ускорение равно

${\ Displaystyle В (\ mathbf {п}, \ phi) = I- \ phi (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K})}$

Тогда в пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов получаем конечное преобразование буста

${\ Displaystyle B (\ mathbf {n}, \ phi) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (I - {\ frac {\ phi (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K})) } {N}} \ right) ^ {N} = e ^ {- \ phi (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K})}}$

что теперь верно для любого ϕ . Расширение матрицы экспоненты из - ф ( п ⋅ K ) в своих степенных рядов

${\ displaystyle e ^ {- \ phi \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} (- \ фи \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {n}}$

теперь нам нужны мощности генератора. Площадь

${\ displaystyle (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x } n_ {z} \\ 0 & n_ {y} n_ {x} & n_ {y} ^ {2} & n_ {y} n_ {z} \\ 0 & n_ {z} n_ {x} & n_ {z} n_ {y} & n_ {z} ^ {2} \ end {bmatrix}}}$

но куб ( п ⋅ К ) ³ возвращается к ( п ⋅ К ) , и , как всегда сила нулевая идентичность 4 × 4, ( п ⋅ К ) ⁰ = я . В общем случае нечетных степеней п = 1, 3, 5, ... есть

${\ displaystyle (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {n} = (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K})}$

а четные степени n = 2, 4, 6,… равны

${\ Displaystyle (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {n} = (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2}}$

поэтому явный вид матрицы повышения зависит только от генератора и его квадрата. Разделение степенного ряда на нечетный степенной ряд и четный степенной ряд с использованием нечетной и четной мощности генератора и ряда Тейлора sinh ϕ и ch ϕ около ϕ = 0 дает более компактную, но подробную форму матрицы усиления

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {- \ phi \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}} & = - \ sum _ {n = 1,3,5 \ ldots} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ phi ^ {n} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {n} + \ sum _ {n = 0,2,4 \ ldots} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ phi ^ {n} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {n} \\ & = - \ left [\ phi + {\ frac {\ phi ^ {3}} {3!}} + {\ frac {\ phi ^ {5}} {5!}} + \ cdots \ right] (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) + I + \ left [-1 + 1 + {\ frac {1} {2!}} \ Phi ^ {2} + {\ frac {1} {4!}} \ Phi ^ {4} + {\ frac {1} {6!}} \ phi ^ {6} + \ cdots \ right] (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2} \\ & = - \ sinh \ phi (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) + I + (- 1+ \ cosh \ phi) (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2} \ end {align}}}$

где 0 = −1 + 1 вводится для четного степенного ряда для завершения ряда Тейлора для ch ϕ . Повышение похоже на формулу вращения Родригеса ,

${\ Displaystyle B (\ mathbf {n}, \ phi) = e ^ {- \ phi \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}} = I- \ sinh \ phi (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) + (\ cosh \ phi -1) (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2} \ ,.}$

Отрицание скорости экспоненты дает матрицу обратного преобразования,

${\ Displaystyle B (\ mathbf {n}, - \ phi) = e ^ {\ phi \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}} = I + \ sinh \ phi (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) + (\ ch \ phi -1) (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2} \ ,.}$

В квантовой механике , релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля для буст-генераторов используется другое соглашение; все генераторы повышения умножаются на множитель мнимой единицы i = √ −1 .

Из экспериментов

Говард Перси Робертсон и другие показали, что преобразование Лоренца также может быть получено эмпирическим путем. Для этого необходимо записать преобразования координат, которые включают экспериментально проверяемые параметры. Например, пусть дана единственная «предпочтительная» инерциальная система отсчета, в которой скорость света постоянна, изотропна и не зависит от скорости источника. Также предполагается, что синхронизация Эйнштейна и синхронизация с помощью медленного транспорта часов эквивалентны в этом кадре. Затем представьте себе другую систему отсчета в относительном движении, в которой часы и стержни имеют такое же внутреннее устройство, как и в предпочтительной системе отсчета. Однако следующие отношения остаются неопределенными: ${\ displaystyle X, Y, Z, T}$${\ displaystyle x, y, z, t}$

• ${\ Displaystyle а (v)}$ различия в измерениях времени,
• ${\ displaystyle b (v)}$ различия в измеренных продольных длинах,
• ${\ displaystyle d (v)}$ различия в измеренных поперечных длинах,
• ${\ Displaystyle \ varepsilon (v)}$ зависит от процедуры синхронизации часов в движущейся системе отсчета,

тогда формулы преобразования (предполагаемые линейными) между этими кадрами задаются следующим образом:

${\ Displaystyle {\ begin {align} t & = a (v) T + \ varepsilon (v) x \\ x & = b (v) (X-vT) \\ y & = d (v) Y \\ z & = d ( v) Z \ end {выровнено}}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon (v)}$зависит от соглашения о синхронизации и не определяется экспериментально, он получает значение , используя синхронизацию Эйнштейна в обоих кадрах. Отношение между и определяется экспериментом Майкельсона – Морли , соотношение между и определяется экспериментом Кеннеди – Торндайка , и только оно определяется экспериментом Айвса – Стилвелла . Таким образом, они были определены с большой точностью до и , что преобразует вышеуказанное преобразование в преобразование Лоренца. ${\ displaystyle -v / c ^ {2}}$${\ displaystyle b (v)}$${\ displaystyle d (v)}$${\ Displaystyle а (v)}$${\ displaystyle b (v)}$${\ Displaystyle а (v)}$${\ Displaystyle 1 / а (v) = Ь (v) = \ гамма}$${\ Displaystyle d (v) = 1}$

Смотрите также

• Группа Лоренца
• Теорема Нётер
• Группа Пуанкаре
• Подходящее время
• Релятивистская метрика
• Спинор

Примечания

использованная литература

• Greiner, W .; Бромли, Д.А. (2000). Релятивистская квантовая механика (3-е изд.). спрингер. ISBN 9783540674573.
• Ландау, ЛД ; Лифшиц, Е.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , 1 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7