Бесчисленный набор - Uncountable set

В математике , бесчисленное множество (или несчетное бесконечное множество ) представляет собой бесконечное множество , что содержит слишком много элементов , чтобы быть счетны . Несчетность набора тесно связана с его кардинальным числом : набор несчетным, если его кардинальное число больше, чем у набора всех натуральных чисел .

Характеристики

Есть много эквивалентных характеристик бесчисленного количества. Множество X несчетно тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

Первые три из этих характеризаций могут быть доказаны эквивалентными в теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора , но эквивалентность третьей и четвертой не может быть доказана без дополнительных принципов выбора.

Характеристики

  • Если несчетное множество X является подмножеством множества Y , то Y несчетное множество .

Примеры

Самый известный пример несчетного множества - это множество R всех действительных чисел ; Диагональный аргумент Кантора показывает, что это множество неисчислимо. Техник диагонализация доказательства также может быть использован , чтобы показать , что некоторые другие наборы несчетные, такие как множество всех бесконечных последовательностей из натуральных чисел и множество всех подмножеств множества натуральных чисел. Мощность R часто называется мощностью континуума и обозначается как , или , или ( beth-one ).

Множество Кантора несчетное подмножество R . Множество Кантора является фракталом и имеет размерность Хаусдорфа больше нуля, но меньше единицы ( R имеет размерность один). Это пример следующего факта: любое подмножество R размерности Хаусдорфа строго больше нуля должно быть несчетным.

Другим примером бесчисленного множества является множество всех функций из R в R . Этот набор даже «более несчетный», чем R в том смысле, что мощность этого набора ( beth-two ) больше, чем .

Более абстрактный пример несчетного множества - это множество всех счетных порядковых чисел , обозначаемых Ω или ω 1 . Обозначим мощность множества Ω ( алеф-единица ). Используя аксиому выбора , можно показать, что это наименьшее несчетное кардинальное число. Таким образом , мощность действительных чисел либо равна, либо строго больше. Георг Кантор был первым, кто поставил вопрос, равно ли . В 1900 году Дэвид Гильберт поставил этот вопрос как первую из своих 23 проблем . Утверждение, которое теперь называется гипотезой континуума и, как известно, не зависит от аксиом Цермело – Френкеля для теории множеств (включая аксиому выбора ).

Без аксиомы выбора

Без аксиомы выбора могли бы существовать мощности, несравнимые с (а именно, мощности дедекиндово-конечных бесконечных множеств). Наборы этих мощностей удовлетворяют первым трем указанным выше характеристикам, но не четвертой характеристике. Поскольку эти множества не больше натуральных чисел в смысле мощности, некоторые могут не захотеть называть их несчетными.

Если выбрана аксиома, следующие условия на кардинал эквивалентны:

  • а также
  • , где и - наименьший начальный порядковый номер, больший, чем

Однако все они могут быть разными, если аксиома выбора не работает. Поэтому не очевидно, какое из них является подходящим обобщением «несчетности», когда аксиома не работает. Возможно, в этом случае лучше не использовать это слово и указать, какое из них означает.

Смотрите также

использованная литература

Библиография

внешние ссылки