Научная нотация - Scientific notation

Научная нотация - это способ выражения слишком больших или слишком маленьких чисел (обычно приводящих к длинной строке цифр) для удобной записи в десятичной форме . Он может называться научной формой или стандартной формой индекса , или стандартной формой в Великобритании. Эта десятичная система обозначений обычно используется учеными, математиками и инженерами, отчасти потому, что она может упростить определенные арифметические операции . В научных калькуляторах это обычно называется режимом отображения «SCI».

Десятичная запись	Научная нотация
2	2 × 10 0
300	3 × 10 2
4 321 0,768	4,321 768 × 10 3
−53 000	−5,3 × 10 4
6 720 000 000	6,72 × 10 9
0,2	2 × 10 -1
987	9,87 × 10 2
0,000 000 007 51	7,51 × 10 −9

В экспоненциальной записи ненулевые числа записываются в виде

м × 10 ^н

или m умножить на десять в степени n , где n - целое число , а коэффициент m - ненулевое действительное число (обычно от 1 до 10 по абсолютной величине и почти всегда записывается как завершающее десятичное число ). Целое число п называется показателем степенью , и реальное число т называется мантиссой или мантисса . Термин «мантисса» может быть неоднозначным , где логарифмы участвует, потому что это также традиционное название дробной части от общего логарифма . Если число отрицательное, то перед m стоит знак минус , как в обычной десятичной системе счисления. В нормализованной записи показатель степени выбирается таким образом, чтобы абсолютное значение (модуль) мантиссы m было не менее 1, но менее 10.

Десятичная дробь с плавающей запятой - это компьютерная арифметическая система, тесно связанная с научным представлением.

Нормализованная запись

Любое данное действительное число может быть записано в форме m × 10 ⁿ^ разными способами: например, 350 можно записать как3,5 × 10 ² или35 × 10 ¹ или350 × 10 ⁰ .

В нормализованном экспоненциальном ( так называемый «стандартной формой» в Соединенном Королевстве), показатель степени п выбирается таким образом , что абсолютное значение из м остатков по крайней мере один , но меньше , чем десять ( 1 & le ; | т | <10 ). Таким образом, 350 записывается как3,5 × 10 ² . Эта форма позволяет легко сравнивать числа: числа с более высокими показателями (из-за нормализации) больше, чем с меньшими показателями, а вычитание показателей дает оценку количества порядков, разделяющих числа. Это также форма, которая требуется при использовании таблиц десятичных логарифмов . В нормализованной записи показатель степени n отрицателен для числа с абсолютным значением от 0 до 1 (например, 0,5 записывается как5 × 10 ⁻¹ ). 10 и показатель степени часто опускаются, когда показатель степени равен 0.

Нормализованная научная форма - это типичная форма выражения больших чисел во многих областях, если не требуется ненормализованная или иначе нормализованная форма, такая как инженерная нотация . Нормализованную научную нотацию часто называют экспоненциальной нотацией - хотя последний термин является более общим и также применяется, когда m не ограничивается диапазоном от 1 до 10 (как, например, в инженерной нотации) и основаниями, отличными от 10 (например, 3,15 × 2 ²⁰^ ).

Инженерная нотация

Инженерная нотация (часто называемая «ENG» на научных калькуляторах) отличается от нормализованной научной нотации тем, что показатель n ограничен кратным 3. Следовательно, абсолютное значение m находится в диапазоне 1 ≤ | м | <1000, а не 1 ≤ | м | <10. Хотя инженерная нотация схожа по концепции, ее редко называют научной нотацией. Инженерная нотация позволяет числам явно совпадать с соответствующими им префиксами SI , что облегчает чтение и устное общение. Например,12,5 × 10 ^-9  м можно прочитать как «двенадцать целых пять десятых нанометров» и записать как12,5 нм , в то время как его эквивалент в научном обозначении1,25 × 10 ^-8  м , вероятно, будет считываться как «одна целая две-пять раз десять до отрицательных восьми метров».

Значимые фигуры

Значащая цифра - это цифра в числе, повышающая его точность. Сюда входят все ненулевые числа, нули между значащими цифрами и нули, обозначенные как значащие . Начальные и конечные нули не являются значащими цифрами, потому что они существуют только для того, чтобы показать масштаб числа. К сожалению, это приводит к неоднозначности. Номер1 230 400 обычно читается как пять значащих цифр: 1, 2, 3, 0 и 4, причем последние два нуля служат только в качестве заполнителей и не добавляют точности. Однако такое же число можно было бы использовать, если бы последние две цифры были также точно измерены и оказались равными 0–7 значащим цифрам.

Когда число преобразуется в нормализованную научную нотацию, оно уменьшается до числа от 1 до 10. Все значащие цифры остаются, но заполняющие нули больше не требуются. Таким образом1 230 400 станет1,2304 × 10 ^6, если в нем пять значащих цифр. Если бы число было известно с шестью или семью значащими цифрами, оно было бы показано как1,230 40 × 10 ⁶ или1,230 400 × 10 ⁶ . Таким образом, дополнительным преимуществом научного обозначения является то, что количество значащих цифр однозначно.

Расчетные окончательные цифры

В научных измерениях принято записывать все точно известные цифры измерения и оценивать по крайней мере одну дополнительную цифру, если есть какая-либо информация о ее значении. Результирующее число содержит больше информации, чем было бы без дополнительной цифры, которую можно считать значащей цифрой, поскольку она передает некоторую информацию, ведущую к большей точности измерений и в совокупности измерений (сложении или умножении их вместе).

Дополнительную информацию о точности можно передать с помощью дополнительных обозначений. Часто бывает полезно знать, насколько точна последняя цифра. Например, принятое значение массы протона может быть правильно выражено как1.672 621 923 69 (51) × 10 ⁻²⁷  кг , что является сокращением для(1,672 621 923 69 ± 0,000 000 000 51 ) × 10 ⁻²⁷  кг .

Обозначение E

Большинство калькуляторов и многие компьютерные программы представляют очень большие и очень маленькие результаты в научной нотации, как правило , вызывается с помощью ключа с метким EXP(для показателя ), EEX(для ввода экспоненту ), EE, EX, E, или в зависимости от производителя и модели. Поскольку показатели с надстрочным индексом, такие как 10 ^7, не всегда могут быть удобно отображены, буква E (или e ) часто используется для обозначения «умножить на десять в степени» (что будет записано как «× 10 ⁿ » ), после чего следует значение показателя степени; другими словами, для любых двух действительных чисел m и n использование « m E n » будет указывать на значение m × 10 ⁿ . В этом случае символ e не связан с математической константой e или экспоненциальной функцией e ^x (путаница, которая маловероятна, если научная запись представлена ​​заглавной E ). Хотя E обозначает показатель степени , это обозначение обычно называют (научным) обозначением E, а не (научным) экспоненциальным обозначением . Использование нотации E облегчает ввод данных и удобочитаемость при текстовом общении, поскольку сводит к минимуму количество нажатий клавиш, позволяет избежать уменьшения размера шрифта и обеспечивает более простое и краткое отображение, но в некоторых публикациях это не приветствуется. ×10^x

Примеры и другие обозначения

• Обозначение E уже использовалось разработчиками операционной системы SHARE (SOS) для IBM 709 в 1958 году.
• В большинстве популярных языков программирования 6.022E23(или 6.022e23) эквивалентно6.022 × 10 ²³ иБыло бы написано 1,6 × 10 ^-351.6E-35 (например, Ada , Analytica , C / C ++ , FORTRAN (начиная с FORTRAN II с 1958 г.), MATLAB , Scilab , Perl , Java , Python , Lua , JavaScript и другие).
• После появления первых карманных калькуляторов, поддерживающих научную нотацию в 1972 году ( HP-35 , SR-10 ), термин « декапа» иногда использовался в развивающихся сообществах пользователей для обозначения множителя степени десяти, чтобы лучше отличать его от «нормального». "экспоненты. Точно так же буква «D» использовалась в машинописных цифрах. Это обозначение было предложено Джимом Дэвидсоном и опубликовано в выпуске бюллетеня Hewlett-Packard Ричарда Дж. Нельсона 65 Примечания для пользователей HP-65 за январь 1976 г. , и оно было принято и перенесено в сообщество Texas Instruments Ричардом К. Вандербургом, редактор информационного бюллетеня 52-Notes для пользователей SR-52 в ноябре 1976 г.
• На дисплеях карманных светодиодных калькуляторов не отображается буква «e» или «E». Вместо этого одна или несколько цифр между мантиссой и показателем степени оставались пустыми (например 6.022 23, как в Hewlett-Packard HP-25 ), или использовалась пара меньших и слегка приподнятых цифр, зарезервированных для экспоненты (например , как в Commodore PR100 ).6.022 23
• FORTRAN (по крайней мере, начиная с FORTRAN IV с 1961 г.) также использует "D" для обозначения чисел двойной точности в экспоненциальной нотации.
• Аналогично, буква "D" использовалась в карманных компьютерах Sharp PC-1280 , PC-1470U , PC-1475 , PC-1480U , PC-1490U , PC-1490UII , PC-E500 , PC-E500S , PC-E550 , PC- E650 и PC-U6000 для обозначения 20-значных чисел двойной точности в экспоненциальном представлении BASIC в период с 1987 по 1995 год.
• 60 Алгол (1960) язык программирования использует индекс десять « ₁₀ » символа вместо буквы Е, например: .6.0221023
• Использование « ₁₀ » в различных стандартах Algol создало проблему для некоторых компьютерных систем, которые не обеспечивали такой символ « ₁₀ ». Как следствие, Алгол-W Стэнфордского университета требовал использования одинарных кавычек, например , а некоторые варианты советского Алгола допускали использование кириллического символа « ю », например 6.022ю + 23.6.022'+23
• Впоследствии Алгол 68 языков программирования , при условии , что выбор из 4 -х символов: E, e, \, или ₁₀. На примерах: 6.022E23, 6.022e23, 6.022\23или .6.0221023

Эта статья содержит символы Unicode « Разные технические ». Без надлежащей поддержки рендеринга вы можете увидеть вопросительные знаки, квадраты или другие символы вместо « 10 » ( десятичный знак экспоненты U + 23E8 TTF ).

• Десятичный экспоненциальный символ является частью стандарта Unicode , например 6.022⏨23. Он входит в U + 23E8 ⏨ DECIMAL экспоненту SYMBOL для размещения использования в языках программирования Algol 60 и Algol 68.
• В калькуляторах серий TI-83 и TI-84 Plus используется стилизованный символ E для отображения десятичной экспоненты и символ 10 для обозначения эквивалентного оператора × 10 ^ .
• Симула язык программирования требует использования &(или &&для долго ), например: 6.022&23(или 6.022&&23).
• Язык Wolfram Language (используемый в системе Mathematica ) допускает сокращенную запись файлов 6.022*^23. (Вместо этого Eобозначает математическую константу e ).

Использование пробелов

В нормализованной научной нотации, в нотации E и в инженерной нотации пробел (который при наборе может быть представлен пробелом нормальной ширины или тонким интервалом ), который разрешен только до и после "×" или перед "E" иногда опускается, хотя перед алфавитным символом встречается реже.

Дополнительные примеры научных обозначений

• An электрона масса «сек примерно0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356  кг . В научных обозначениях это пишется9,109 383 56 × 10 ⁻³¹  кг (в единицах СИ).
• В Земли «сек масса составляет около5 972 400 000 000 000 000 000 000  кг . В научных обозначениях это пишется5.9724 × 10 ²⁴  кг .
• В окружность Земли составляет примерно40 000 000  м . В научных обозначениях это4 × 10 ⁷  м . В технических обозначениях это пишется40 × 10 ⁶  м . В стиле СИ это может быть написано40 мм (40 мегаметров ).
• Дюйма определяется как точно 25,4 мм . Цитируя стоимость25,400 мм показывает, что значение верное с точностью до микрометра. Приблизительное значение только с двумя значащими цифрами будет2,5 × 10 ¹  мм вместо этого. Поскольку количество значащих цифр не ограничено, длину дюйма можно, при необходимости, записать как (скажем)2,540 000 000 00 × 10 ¹  мм .
• Гиперинфляция - это проблема, которая возникает, когда печатается слишком много денег из-за слишком малого количества товаров, что приводит к росту инфляции на 50% или более за один месяц; валюты имеют тенденцию терять свою внутреннюю стоимость с течением времени. В некоторых странах уровень инфляции составлял 1 миллион процентов или более за один месяц, что обычно приводит к отказу от национальной валюты вскоре после этого. В ноябре 2008 года ежемесячный уровень инфляции зимбабвийского доллара достиг 79,6 миллиарда процентов; приблизительное значение с тремя значащими цифрами будет7,96 × 10 ¹⁰ процентов.

Преобразование чисел

Преобразование числа в этих случаях означает преобразование числа в научную форму записи, преобразование обратно в десятичную форму или изменение экспоненциальной части уравнения. Ничто из этого не меняет фактического числа, только то, как оно выражается.

Десятичное в научное

Во-первых, переместите десятичный разделитель на достаточное количество позиций, n , чтобы поместить значение числа в желаемый диапазон, от 1 до 10 для нормализованной записи. Если десятичная дробь была перемещена влево, добавьте ; вправо ,. Чтобы представить число× 10n× 10−n1,230,400 в нормализованном экспоненциальном представлении, десятичный разделитель будет перемещен на 6 цифр влево и добавлен, что приведет к× 1061,2304 × 10 ⁶ . Номер−0,004 0321 десятичный разделитель сдвинулся бы на 3 цифры вправо, а не влево, и дал бы−4,0321 × 10 ⁻³ .

От научного к десятичному

Чтобы преобразовать число из экспоненциального в десятичное, сначала удалите с конца, а затем сдвиньте десятичный разделитель на n цифр вправо (положительное n ) или влево (отрицательное n ). Номер× 10nДесятичный разделитель 1,2304 × 10 ⁶ сместится на 6 цифр вправо и станет1,230,400 , в то время как−4,0321 × 10 ⁻³ десятичный разделитель переместится на 3 цифры влево и будет−0,004 0321 .

Экспоненциальный

Преобразование между различными научными представлениями одного и того же числа с разными экспоненциальными значениями достигается путем выполнения противоположных операций умножения или деления на степень десяти над мантиссой и вычитания или сложения единицы на показательной части. Десятичный разделитель в мантиссе сдвигается на x разрядов влево (или вправо), а x прибавляется (или вычитается из) экспоненты, как показано ниже.

1,234 × 10 ³ =12,34 × 10 ² =123,4 × 10 ¹ = 1234

Основные операции

Учитывая два числа в научной записи,

${\ displaystyle x_ {0} = m_ {0} \ times 10 ^ {n_ {0}}}$

а также

${\ displaystyle x_ {1} = m_ {1} \ times 10 ^ {n_ {1}}}$

Умножение и деление выполняются по правилам работы с возведением в степень :

${\ displaystyle x_ {0} x_ {1} = m_ {0} m_ {1} \ times 10 ^ {n_ {0} + n_ {1}}}$

а также

${\ displaystyle {\ frac {x_ {0}} {x_ {1}}} = {\ frac {m_ {0}} {m_ {1}}} \ times 10 ^ {n_ {0} -n_ {1}) }}$

Вот несколько примеров:

${\ displaystyle 5.67 \ times 10 ^ {- 5} \ times 2.34 \ times 10 ^ {2} \ приблизительно 13,3 \ times 10 ^ {- 5 + 2} = 13,3 \ times 10 ^ {- 3} = 1,33 \ times 10 ^ {- 2}}$

а также

${\ displaystyle {\ frac {2.34 \ times 10 ^ {2}} {5.67 \ times 10 ^ {- 5}}} \ приблизительно 0,413 \ times 10 ^ {2 - (- 5)} = 0,413 \ times 10 ^ { 7} = 4,13 \ times 10 ^ {6}}$

Сложение и вычитание требуют, чтобы числа были представлены с использованием одной и той же экспоненциальной части, так что мантисса может быть просто добавлена ​​или вычтена:

${\ displaystyle x_ {0} = m_ {0} \ times 10 ^ {n_ {0}}}$и с${\ displaystyle x_ {1} = m_ {1} \ times 10 ^ {n_ {1}}}$${\ displaystyle n_ {0} = n_ {1}}$

Затем добавьте или вычтите значения:

${\ displaystyle x_ {0} \ pm x_ {1} = (m_ {0} \ pm m_ {1}) \ times 10 ^ {n_ {0}}}$

Пример:

${\ displaystyle 2.34 \ times 10 ^ {- 5} +5.67 \ times 10 ^ {- 6} = 2.34 \ times 10 ^ {- 5} +0,567 \ times 10 ^ {- 5} = 2,907 \ times 10 ^ {- 5}}$

Другие базы

В то время как основание десять обычно используется для научных обозначений, можно использовать и другие основы, при этом основание 2 является следующим наиболее часто используемым.

Например, в научной системе счисления с основанием 2 число 1001 _b в двоичной системе (= 9 _d ) записывается как 1,001 _b × 2 _d ^{11 _b} или 1,001 _b × 10 _b ^{11 _b} с использованием двоичных чисел (или короче 1,001 × 10 ^11, если бинарный контекст очевиден). В обозначении E это записывается как 1.001 _b E11 _b (или короче: 1.001E11) с буквой E, которая теперь обозначает « умножение на два (10 _b ) в степени». Чтобы лучше отличить этот показатель с основанием 2 от показателя с основанием 10, показатель с основанием 2 иногда также обозначается буквой B вместо E , сокращенная запись, первоначально предложенная Брюсом Аланом Мартином из Брукхейвенской национальной лаборатории в 1968 году. , как в 1.001 _b B11 _b (или короче: 1.001B11). Для сравнения, то же число в десятичном представлении : 1,125 × 2 ³ (с использованием десятичного представления) или 1,125B3 (по-прежнему с использованием десятичного представления). Некоторые калькуляторы используют смешанное представление для двоичных чисел с плавающей запятой, где показатель степени отображается как десятичное число даже в двоичном режиме, поэтому приведенное выше становится 1,001 _b × 10 _b ^{3 _d} или меньше 1,001B3.

Это тесно связано с представлением с плавающей запятой base-2, обычно используемым в компьютерной арифметике, и использованием двоичных префиксов IEC (например, 1B10 для 1 × 2 ¹⁰ ( kibi ), 1B20 для 1 × 2 ²⁰ ( mebi ), 1B30 для 1 × 2 ³⁰ ( гиби ), 1Б40 для 1 × 2 ⁴⁰ ( теби )).

Подобно B (или b ), буквы H (или h ) и O (или o , или C ) иногда также используются для обозначения умножения на 16 или 8 степени, как в 1,25 = 1,40 _h × 10 _h ^{0 _h} = 1,40. H0 = 1,40h0, или 98000 = 2,7732 _o × 10 _o ^{5 _o} = 2,7732o5 = 2,7732 C5.

Еще одно аналогичное соглашение для обозначения экспонент с основанием 2 - использование буквы P (или p для «мощности»). В этой нотации значение всегда должно быть шестнадцатеричным, тогда как показатель всегда должен быть десятичным. Эта нотация может быть получена с помощью реализаций семейства функций printf в соответствии со спецификацией C99 и стандартом ( Single Unix Specification ) IEEE Std 1003.1 POSIX при использовании спецификаторов преобразования % a или % A. Начиная с C ++ 11 , функции ввода-вывода C ++ также могут анализировать и распечатывать P-нотацию. Между тем, эта нотация полностью принята языковым стандартом, начиная с C ++ 17 . Яблоко «s Swift поддерживает его. Это также требуется стандартом двоичных чисел с плавающей запятой IEEE 754-2008 . Пример: 1.3DEp42 представляет 1.3DE _h × 2 ⁴² .

Техническую нотацию можно рассматривать как научную нотацию с основанием 1000.

Смотрите также

• Двоичный префикс
• Позиционное обозначение
• Переменная научная запись
• Инженерная нотация
• Арифметика с плавающей точкой
• ISO 31-0
• ISO 31-11
• Значительная цифра
• Числа Сучжоу написаны с порядком величины и единицей измерения под мантиссой.
• Код РКМ

использованная литература

внешние ссылки

• Конвертер десятичной системы в научную
• Конвертер из научного представления в десятичный
• Научная нотация в повседневной жизни
• Упражнение по преобразованию в научную нотацию и обратно
• Конвертер научной нотации
• Глава « Научная нотация» из « Уроки в электрических цепях, том 1» Бесплатная электронная книга исерия « Уроки в электрических цепях ».