Длина Дебая - Debye length

В плазме и электролитах , то длина Дебай (также называемая радиусом Дебая ), является мерой носителей заряда чистого электростатического эффекта «ы в растворе и , насколько его электростатический эффект сохраняется. С каждой длиной Дебая заряды все больше электрически экранируются, и электрический потенциал уменьшается по величине на 1 / е . Дебайте сферой является объемом, радиус которой длина Дебая. Длина Дебая - важный параметр в физике плазмы , электролитов и коллоидов ( теория ДЛВО ). Соответствующий волновой вектор экранирования Дебая для частиц плотности , заряда при температуре выражается в гауссовых единицах . Выражения в единицах МКС будут приведены ниже. Аналогичные величины при очень низких температурах ( ) известны как длина Томаса – Ферми и волновой вектор Томаса – Ферми. Они представляют интерес для описания поведения электронов в металлах при комнатной температуре. ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle к _ {\ rm {D}} = 1 / \ lambda _ {\ rm {D}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle к _ {\ rm {D}} ^ {2} = 4 \ pi nq ^ {2} / (k _ {\ rm {B}} T)}$${\ displaystyle T \ to 0}$

Длина Дебая названа в честь голландско-американского физика и химика Питера Дебая (1884-1966), лауреата Нобелевской премии по химии.

Физическое происхождение

Длина Дебая естественным образом возникает при термодинамическом описании больших систем подвижных зарядов. В системе зарядов различных видов, -й вид несет заряд и имеет концентрацию в определенном месте . В соответствии с так называемым «примитивной моделью», эти заряды распределены в непрерывной среде, которая характеризуется только его относительной статической диэлектрической проницаемостью , . Такое распределение зарядов в этой среде приводит к возникновению электрического потенциала, который удовлетворяет уравнению Пуассона : ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle q_ {j}}$ ${\ Displaystyle N_ {J} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ varepsilon \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {r}) = - \, \ sum _ {j = 1} ^ {N} q_ {j} \, n_ {j} (\ mathbf { r}) - \ rho _ {\ rm {ext}} (\ mathbf {r})}$,

где , - электрическая постоянная , - плотность заряда, внешняя (логически, а не пространственно) по отношению к среде. ${\ Displaystyle \ varepsilon \ Equiv \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {ext}}}$

Мобильные платежи способствуют не только в создании , но и двигаться в ответ на соответствующую кулоновской силу , . Если мы далее предположим, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом при абсолютной температуре , то концентрации дискретных зарядов могут рассматриваться как средние термодинамические (по ансамблю), а соответствующий электрический потенциал - как среднее термодинамическое поле . При этих предположениях концентрация заряда -го вида описывается распределением Больцмана : ${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle -q_ {j} \, \ nabla \ Phi (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle N_ {J} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle n_ {j} (\ mathbf {r}) = n_ {j} ^ {0} \, \ exp \ left (- {\ frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r}) } {k _ {\ rm {B}} T}} \ right)}$,

где - постоянная Больцмана, а где - средняя концентрация зарядов веществ . ${\ Displaystyle к _ {\ rm {B}}}$${\ displaystyle n_ {j} ^ {0}}$${\ displaystyle j}$

Отождествление мгновенных концентраций и потенциала в уравнении Пуассона с их аналогами для среднего поля в распределении Больцмана приводит к уравнению Пуассона – Больцмана :

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {r}) = - \, \ sum _ {j = 1} ^ {N} q_ {j} n_ {j} ^ {0} \, \ exp \ left (- {\ frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r})} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) - \ rho _ {\ rm {ext }} (\ mathbf {r})}$.

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Решения для более общих систем могут быть получены в пределе высоких температур (слабой связи) , если Тейлор разложит экспоненту: ${\ displaystyle q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r}) \ ll k _ {\ rm {B}} T}$

${\ displaystyle \ exp \ left (- {\ frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r})} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) \ приблизительно 1 - {\ гидроразрыв {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r})} {k _ {\ rm {B}} T}}}$.

Это приближение дает линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {r}) = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {n_ {j} ^ {0} \, q_ {j} ^ {2}} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) \, \ Phi (\ mathbf {r}) - \, \ sum _ {j = 1} ^ {N} n_ {j} ^ {0} q_ {j} - \ rho _ {\ rm {ext}} (\ mathbf {r})}$

которое также известно как уравнение Дебая – Хюккеля : второй член в правой части обращается в нуль для электрически нейтральных систем. Термин в скобках, разделенный на , имеет единицы обратной длины в квадрате, и путем анализа размеров приводит к определению характерного масштаба длины. ${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = \ left ({\ frac {\ varepsilon \, k _ {\ rm {B}} T} {\ sum _ {j = 1} ^ {N} n_ { j} ^ {0} \, q_ {j} ^ {2}}} \ right) ^ {1/2}}$

это обычно называют длиной Дебая – Хюккеля. Как единственный характерный масштаб длины в уравнении Дебая – Хюккеля, задает масштаб для вариаций потенциала и концентраций заряженных частиц. Все заряженные частицы вносят вклад в длину Дебая – Хюккеля одинаково, независимо от знака их зарядов. Для электрически нейтральной системы уравнение Пуассона принимает вид ${\ displaystyle \ lambda _ {D}}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi (\ mathbf {r}) = \ lambda _ {\ rm {D}} ^ {- 2} \ Phi (\ mathbf {r}) - {\ frac {\ rho _ {\ rm {ext}} (\ mathbf {r})} {\ varepsilon}}}$

Чтобы проиллюстрировать экранирование Дебая, потенциал, создаваемый внешним точечным зарядом, равен ${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {ext}} = Q \ delta (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon r}} e ^ {- r / \ lambda _ {\ rm {D}}}}$

Затравочный кулоновский потенциал экспоненциально экранируется средой на расстоянии длины Дебая.

Длина Дебая-Хюккеля может быть выражена через длину Бьеррума как ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {B}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = \ left (4 \ pi \, \ lambda _ {\ rm {B}} \, \ sum _ {j = 1} ^ {N} n_ {j} ^ {0} \, z_ {j} ^ {2} \ right) ^ {- 1/2}}$,

где - целое число заряда, которое связывает заряд -й ионной разновидности с элементарным зарядом . ${\ displaystyle z_ {j} = q_ {j} / e}$${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle e}$

В плазме

В неизотермической плазме температуры для электронов и тяжелых частиц могут различаться, в то время как фоновая среда может рассматриваться как вакуум ( ), а длина Дебая равна ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r} = 1}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0} k _ {\ rm {B}} / q_ {e} ^ {2}} {n_ {e} / T_ {e} + \ sum _ {j} z_ {j} ^ {2} n_ {j} / T_ {i}}}}}$

куда

λ _D - длина Дебая,

ε ₀ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

k _B - постоянная Больцмана ,

q _e - заряд электрона ,

T _e и T _i - температуры электронов и ионов соответственно,

n _e - плотность электронов,

n _j - плотность разновидностей атомов j с положительным ионным зарядом z _j q _e

Даже в квазинейтральной холодной плазме, где вклад ионов фактически кажется больше из-за более низкой ионной температуры, ионный член на самом деле часто опускается, давая

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0} k _ {\ rm {B}} T_ {e}} {n_ {e} q_ {e} ^ {2}}}}}$

хотя это справедливо только тогда, когда подвижность ионов незначительна по сравнению с временной шкалой процесса.

Типичные значения

В космической плазме с относительно низкой концентрацией электронов длина Дебая может достигать макроскопических значений, например, в магнитосфере, солнечном ветре, межзвездной среде и межгалактической среде. См. Таблицу ниже:

Плазма	Плотность n e (м −3 )	Температура электронов T (K)	Магнитное поле B (Тл)	Длина Дебая λ D (м)
Солнечное ядро	10 32	10 7	-	10 −11
Токамак	10 20	10 8	10	10 −4
Сброс газа	10 16	10 4	-	10 −4
Ионосфера	10 12	10 3	10 −5	10 −3
Магнитосфера	10 7	10 7	10 −8	10 2
Солнечный ветер	10 6	10 5	10 −9	10
Межзвездная среда	10 5	10 4	10 −10	10
Межгалактическая среда	1	10 6	-	10 5

В растворе электролита

В электролите или коллоидной суспензии длина Дебая для одновалентного электролита обычно обозначается символом κ ^−1.

${\ displaystyle \ kappa ^ {- 1} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {\ rm {r}} \ varepsilon _ {0} k _ {\ rm {B}} T} {2N _ {\ rm { A}} e ^ {2} I}}}}$

куда

I - ионная сила электролита в единицах моль / м ³ ,

ε ₀ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

ε _r - диэлектрическая проницаемость ,

k _B - постоянная Больцмана ,

T - абсолютная температура в градусах Кельвина ,

N _A - это число Авогадро .

${\ displaystyle e}$это элементарный заряд ,

или, для симметричного одновалентного электролита,

${\ displaystyle \ kappa ^ {- 1} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {\ rm {r}} \ varepsilon _ {0} RT} {2 \ times 10 ^ {3} F ^ {2} C_ {0}}}}}$

куда

R - газовая постоянная ,

F - постоянная Фарадея ,

C ₀ - концентрация электролита в молярных единицах (М или моль / л).

В качестве альтернативы,

${\ displaystyle \ kappa ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ sqrt {8 \ pi \ lambda _ {\ rm {B}} N _ {\ rm {A}} \ times 10 ^ {3} I }}}}$

куда

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {B}}}$- длина среды по Бьерруму.

Для воды комнатной температуры λ _B ≈ 0,7 нм.

При комнатной температуре (20 ° C или 70 ° F) в воде можно учесть соотношение:

${\ displaystyle \ kappa ^ {- 1} (\ mathrm {nm}) = {\ frac {0.304} {\ sqrt {I (\ mathrm {M})}}}}$

куда

κ ⁻¹ выражается в нанометрах (нм)

I - ионная сила, выраженная в молях (М или моль / л).

Существует метод оценки приблизительного значения длины Дебая в жидкостях с использованием проводимости, который описан в стандарте ISO и книге.

В полупроводниках

Длина Дебая становится все более важной при моделировании твердотельных устройств, поскольку усовершенствования литографических технологий позволили уменьшить геометрию.

Дебаевская длина полупроводников равна:

${\ displaystyle L _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon k _ {\ rm {B}} T} {q ^ {2} N _ {\ rm {dop}}}}}}$

куда

ε - диэлектрическая проницаемость,

k _B - постоянная Больцмана,

T - абсолютная температура в градусах Кельвина,

q - элементарный заряд, а

N _dop - это чистая плотность примесей (доноров или акцепторов).

Когда профили легирования превышают длину Дебая, основные носители больше не ведут себя в соответствии с распределением легирующих примесей. Вместо этого измерение профиля градиентов легирования обеспечивает «эффективный» профиль, который лучше соответствует профилю плотности основных носителей.

В контексте твердых тел длина Дебая также называется длиной экранирования Томаса – Ферми .

Смотрите также

• Длина Бьеррума
• Эффект Дебая – Фалькенхагена
• Плазменные колебания
• Эффект экранирования
• Эффект экранирования

использованная литература

дальнейшее чтение

• Голдстон и Резерфорд (1997). Введение в физику плазмы . Филадельфия: Издательский институт физики .
• Ликлема (1993). Основы интерфейсной и коллоидной науки . Нью-Йорк: Academic Press .