De motu corporum в извилине -De motu corporum in gyrum

De motu corporum in gyrum («О движении тел по орбите») - это предполагаемое название рукописи Исаака Ньютона, отправленной Эдмонду Галлею в ноябре 1684 года. спросил Ньютона о проблемах, которые тогда занимали умы Галлея и его научное сообщество в Лондоне, включая сэра Кристофера Рена и Роберта Гука .

Название документа предполагается только потому, что оригинал утерян. Его содержание вытекает из сохранившихся документов, которые представляют собой две современные копии и черновик. Заголовок теперь используется только в черновике; оба экземпляра без названия.

В этой рукописи ( для краткости - Де Моту , но не путать с несколькими другими ньютоновскими статьями, названия которых начинаются с этих слов) были даны важные математические выводы, относящиеся к трем отношениям, теперь известным как «законы Кеплера» (до работы Ньютона они не действовали. обычно считались законами). Галлей сообщил о сообщении Ньютона Королевскому обществу 10 декабря 1684 года (по старому стилю ). После дальнейшего поощрения Галлея Ньютон продолжил разработку и написание своей книги Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (широко известной как Principia ) из ядра, которое можно увидеть в De Motu, почти все содержание которого также снова появляется в Principia .

СОДЕРЖАНИЕ

Одна из сохранившихся копий Де Моту была сделана путем внесения в реестровую книгу Королевского общества , а ее (латинский) текст доступен в Интернете.

Для облегчения перекрестных ссылок на содержание De Motu, которое снова появилось в Principia , есть онлайн-источники для Principia в английском переводе, а также на латыни.

De motu corporum in gyrum достаточно короток, чтобы изложить здесь содержание его различных разделов. Он содержит 11 предложений, обозначенных как «теоремы» и «проблемы», некоторые из которых содержат следствия. Прежде чем перейти к этой основной теме, Ньютон начинает с некоторых предварительных сведений:

  • 3 Определения :
1: «Центростремительная сила» (Ньютон создал этот термин, и его первое упоминание в этом документе) побуждает или притягивает тело к некоторой точке, рассматриваемой как центр. (Это снова появляется в Определении 5 Принципов .)
2: «Внутренняя сила» тела определяется способом, который подготавливает идею инерции и первого закона Ньютона (в отсутствие внешней силы тело продолжает движение в состоянии покоя или в равномерном движении вдоль прямая линия). (Определение 3 Принципов имеет аналогичный эффект.)
3: «Сопротивление»: свойство среды, которая регулярно препятствует движению.
  • 4 гипотезы :
1: Ньютон указывает, что в первых 9 предложениях ниже сопротивление принимается равным нулю, затем для остальных (2) утверждений сопротивление считается пропорциональным как скорости тела, так и плотности среды.
2: Благодаря своей внутренней силе (только) каждое тело будет равномерно продвигаться по прямой к бесконечности, если что-то внешнее не препятствует этому.

(Более поздний первый закон движения Ньютона имеет аналогичный эффект, Закон 1 в Началах .)

3: Силы объединяются по правилу параллелограмма. Ньютон рассматривает их по сути так же, как мы теперь относимся к векторам. Этот момент снова появляется в следствиях 1 и 2 третьего закона движения, Закона 3 в Началах .
4: В начальные моменты действия центростремительной силы расстояние пропорционально квадрату времени. (Контекст показывает, что Ньютон имел здесь дело с бесконечно малыми или их предельными отношениями.) Это снова появляется в Книге 1, лемме 10 в Началах .

Затем следуйте еще двум предварительным пунктам:

  • 2 леммы :
1: Ньютон кратко излагает продолжающиеся продукты пропорций, включающих различия:
если A / (AB) = B / (BC) = C / (CD) и т. д., то A / B = B / C = C / D и т. д.
2: Все параллелограммы, касающиеся данного эллипса (следует понимать: на концах сопряженных диаметров ), равны по площади.

Затем следует основная тема Ньютона, обозначенная как теоремы, проблемы, следствия и схолии:

Теорема 1.

Теорема 1 демонстрирует, что там, где на вращающееся тело действует только центростремительная сила, из этого следует, что радиус-вектор, проведенный от тела к центру притяжения, сметает равные площади в равные промежутки времени (независимо от того, как центростремительная сила изменяется с расстоянием) . (Ньютон использует для этого вывода - как он это делает в более поздних доказательствах в этом Де Моту , а также во многих частях более поздних Принципов - предельный аргумент исчисления бесконечно малых в геометрической форме, в которой площадь, заметаемая радиус-вектором, равна разделены на секторы-треугольники. Они небольшого и уменьшающегося размера, которые, как считается, стремятся к нулю индивидуально, в то время как их число неограниченно увеличивается). Эта теорема появляется снова с расширенным объяснением, как предложение 1, теорема 1, Принципов .

Теорема 2.

Теорема 2 рассматривает тело, равномерно движущееся по круговой орбите, и показывает, что для любого данного временного отрезка центростремительная сила (направленная к центру круга, рассматриваемого здесь как центр притяжения) пропорциональна квадрату дуги. - пройденная длина, обратно пропорциональная радиусу. (Эта тема снова появляется в виде предложения 4, теоремы 4 в « Началах» , и здесь также снова появляются следствия.)

Следствие 1 указывает на то, что центростремительная сила пропорциональна V 2 / R, где V - орбитальная скорость, а R - круговой радиус.

Следствие 2 показывает, что, говоря по-другому, центростремительная сила пропорциональна (1 / P 2 ) * R, где P - период обращения.

Следствие 3 показывает, что если P 2 пропорционален R, то центростремительная сила не будет зависеть от R.

Следствие 4 показывает, что если P 2 пропорционален R 2 , то центростремительная сила будет пропорциональна 1 / R.

Следствие 5 показывает, что если P 2 пропорционален R 3 , то центростремительная сила будет пропорциональна 1 / (R 2 ).

Затем схолий отмечает, что соотношение следствия 5 (квадрат орбитального периода, пропорционального кубу орбитального размера) применяется к планетам на их орбитах вокруг Солнца и к галилеевым спутникам, вращающимся вокруг Юпитера.

Теорема 3.

Теорема 3 теперь оценивает центростремительную силу на некруговой орбите, используя другой аргумент геометрического предела, включающий отношения исчезающе малых отрезков линии. Демонстрация сводится к оценке кривизны орбиты, как если бы она была сделана из бесконечно малых дуг, а центростремительная сила в любой точке оценивается по скорости и кривизне локальной бесконечно малой дуги. Этот предмет снова появляется в Началах как Предложение 6 Книги 1.

Следствие затем указывает на то , как можно таким образом , чтобы определить центростремительные силы для любой заданной формы орбиты и центра.

Задача 1 затем исследует случай круговой орбиты, предполагая, что центр притяжения находится на окружности круга. Один из схолий указывает, что если бы вращающееся тело достигло такого центра, оно бы улетело по касательной. (Предложение 7 в Принципах .)

Задача 2 исследует случай эллипса, в котором центр притяжения находится в его центре, и обнаруживает, что центростремительная сила, вызывающая движение в этой конфигурации, будет прямо пропорциональна радиус-вектору. (Этот материал становится предложением 10, проблемой 5 в Принципах .)

В задаче 3 снова исследуется эллипс, но теперь рассматривается следующий случай, когда центр притяжения находится в одном из его фокусов. «Тело вращается по эллипсу : требуется закон центростремительной силы, стремящейся к фокусу эллипса». Здесь Ньютон считает, что центростремительная сила, вызывающая движение в этой конфигурации, обратно пропорциональна квадрату радиус-вектора. (Перевод: «Следовательно, центростремительная сила взаимно равна LX SP², то есть (взаимно) в удвоенном соотношении [т.е. квадрате] расстояния ...»). Это становится предложением 11 в Принципах .

Затем один из ученых отмечает, что эта проблема 3 доказывает, что орбиты планет представляют собой эллипсы с Солнцем в одном фокусе. (Перевод: «Таким образом, главные планеты вращаются по эллипсам, имеющим фокус в центре Солнца, а их радиусы ( векторы ) обращены к Солнцу, все вместе они описывают области, пропорциональные времени (латинское« омнино ») как Кеплер предположил ». .) Предметом проблемы 3 становится предложение 11, проблема 6 в Принципах .

Теорема 4.

Теорема 4 показывает, что при центростремительной силе, обратно пропорциональной квадрату радиус-вектора, время обращения тела по эллиптической орбите с заданной большой осью такое же, как и для тела на круговой орбите с того же диаметра, что и большая ось. (Предложение 15 в Принципах .)

Схолии указывает на то , как это позволяет определить планетарные эллипсов и расположение их очагов от косвенных измерений.

Затем в задаче 4 исследуется, в случае закона обратных квадратов центростремительной силы, как определить орбитальный эллипс для заданного начального положения, скорости и направления движущегося по орбите тела. Ньютон указывает здесь, что если скорость достаточно высока, орбита больше не эллипс, а парабола или гипербола. Он также определяет геометрический критерий различия между эллиптическим корпусом и другими, основанный на вычисленном размере прямой кишки , как пропорции расстояния, на которое вращающееся тело приближается к центру. (Предложение 17 в Принципах .)

Затем один из ученых отмечает, что преимуществом этой демонстрации является то, что она позволяет определять орбиты комет и дает возможность оценивать их периоды и возвращаться, когда орбиты имеют эллиптическую форму. Обсуждаются также некоторые практические трудности реализации этого.

Наконец, в серии предложений, основанных на нулевом сопротивлении любой среды, в задаче 5 обсуждается случай вырожденной эллиптической орбиты, равной прямолинейному падению к центру притяжения или выбросу из него. (Предложение 32 в Началах .)

В схолии показано, как задачи 4 и 5 применимы к снарядам в атмосфере и падению тяжелых тел, если сопротивление атмосферы можно принять равным нулю.

Наконец, Ньютон пытается распространить результаты на случай атмосферного сопротивления, рассматривая сначала ( проблема 6 ) влияние сопротивления на инерционное движение по прямой, а затем ( проблема 7 ) комбинированные эффекты сопротивления и однородного центростремительного движения. сила при движении к центру / от центра в однородной среде. Обе проблемы решаются геометрически с использованием гиперболических конструкций. Эти две последние «проблемы» вновь появляются в книге 2 Принципов в виде предложений 2 и 3.

Затем в заключительной схолии показано, как задачи 6 и 7 применимы к горизонтальным и вертикальным компонентам движения снарядов в атмосфере (в данном случае без учета кривизны Земли).

Комментарии к содержанию

В некоторых местах в «Де Моту» Ньютон полагается на доказанные факты, которые используются на практике в качестве основы для рассмотрения их обращений, как также доказанных. Особенно это было замечено в отношении «проблемы 3». Стиль демонстрации Ньютона во всех своих работах был местами довольно краток; он, казалось, предполагал, что определенные шаги будут сочтены самоочевидными или очевидными. В «Де Моту», как и в первом издании « Принципов» , Ньютон конкретно не указывал основания для распространения доказательств на обратное. Доказательство обратного здесь зависит от того, очевидно, что существует отношение уникальности, т.е. что в любой данной установке только одна орбита соответствует одному заданному и заданному набору силы / скорости / начального положения. Ньютон добавил такое упоминание во второе издание Принципов как следствие предложений 11–13 в ответ на критику подобного рода, высказанную при его жизни.

Существенная научная полемика существует по вопросу о том, являются ли эти расширения обратного и связанные с ними утверждения об уникальности самоочевидными и очевидными и насколько они очевидны. (Нет никаких указаний на то, что обратное неверно или что они не были заявлены Ньютоном, споры велись по поводу того, были ли доказательства Ньютона удовлетворительными или нет.)

Вопрос Галлея

Подробности визита Эдмунда Галлея к Ньютону в 1684 году известны нам только по воспоминаниям от тридцати до сорока лет спустя. Согласно одному из этих воспоминаний, Галлей спросил Ньютона: «... какой, по его мнению, будет Кривая, которая будет описана Планетами, предполагающими, что сила притяжения к Солнцу обратна квадрату их расстояния от него».

Другой вариант вопроса был задан самим Ньютоном, но также примерно через тридцать лет после этого события: он написал, что Галлей, спрашивая его, «знал ли я, какая фигура, описанная планетами в своих сферах вокруг Солнца, очень желает иметь мою демонстрацию» В свете этих разных отчетов, основанных на старых воспоминаниях, трудно точно сказать, какие слова использовал Галлей.

Роль Роберта Гука

В 1686 году Ньютон признал, что первоначальный стимул для него в 1679/80 году расширить свои исследования движений небесных тел возник из переписки с Робертом Гуком в 1679/80 году.

Гук начал обмен корреспонденцией в ноябре 1679 года, написав Ньютону, чтобы сообщить Ньютону, что Гук был назначен вести корреспонденцию Королевского общества. Поэтому Гук хотел услышать от участников об их исследованиях или их взглядах на исследования других; и как бы для того, чтобы заинтересовать Ньютона, он спросил, что Ньютон думает о различных вещах, а затем дал целый список, упомянув «сложение небесных движений планет из прямого касательного и притягивающего движения к центральному телу», и «моя гипотеза о законах или причинах пружинистости», а затем новая гипотеза из Парижа о планетных движениях (которую Гук подробно описал), а затем попытки провести или улучшить национальные исследования, разница в широте между Лондоном и Кембриджем , и другие предметы. Ньютон ответил «моей собственной фантазией» об определении движения Земли с помощью падающего тела. Гук не согласился с идеей Ньютона о том, как будет двигаться падающее тело, и получилось короткое соответствие.

Позже, в 1686 году, когда « Начала » Ньютона были представлены Королевскому обществу, Гук на основании этой переписки заявил, что ему принадлежит некоторая часть содержания Ньютона в « Началах» , и сказал, что Ньютон был обязан идеей закона притяжения обратных квадратов ему, хотя в то же время Гук отказался от всякого кредита на кривые и траектории, которые Ньютон продемонстрировал на основе закона обратных квадратов.

Ньютон, который слышал об этом от Галлея, опроверг утверждения Гука в письмах к Галлею, признав лишь случай пробудившегося интереса. Ньютон признал некоторые предыдущие работы других, в том числе Исмаэля Буллиалдуса , который предположил (но без демонстрации), что сила притяжения от Солнца была обратно пропорциональна квадрату расстояния, и Джованни Альфонсо Борелли , который предположил (снова без демонстрации) что была тенденция к Солнцу, подобная гравитации или магнетизму, которая заставляла планеты двигаться по эллипсам; но элементы, которые утверждал Гук, были связаны либо с самим Ньютоном, либо с другими их предшественниками, такими как Буллиальдус и Борелли, но не Гук. Рен и Галлей скептически отнеслись к утверждениям Гука, вспомнив случай, когда Гук утверждал, что у него есть вывод планетных движений по закону обратных квадратов, но не смог произвести его даже из-за приза.

Существуют научные споры о том, что именно Ньютон получил от Гука, если что-то действительно получил, помимо стимула, который Ньютон признал.

Примерно через тридцать лет после смерти Ньютона в 1727 году Алексис Клеро , один из первых и выдающихся преемников Ньютона в области гравитационных исследований, написал после обзора работы Гука, что она показала, «какое расстояние существует между истиной, на которую можно взглянуть, и истиной, которая демонстрируется ".

Смотрите также

использованная литература

Библиография

  • Никогда в покое: биография Исаака Ньютона , RS Westfall, Cambridge University Press, 1980 ISBN  0-521-23143-4
  • Математические статьи Исаака Ньютона , Vol. 6. С. 30–91, изд. Д. Т. Уайтсайд, Cambridge University Press, 1974 ISBN  0-521-08719-8