Сферы Данделина - Dandelin spheres

Сферы Данделина касаются бледно-желтой плоскости, пересекающей конус.

В геометрии , в сферах Dandelin одна или две сферы , которые касательной как к плоскости и к конусу , которая пересекает плоскость. Пересечение конуса и плоскости является коническим сечением , а точка, в которой любая сфера касается плоскости, является фокусом конического сечения, поэтому сферы Данделина также иногда называют фокальными сферами .

Сферы Данделена были открыты в 1822 году. Они названы в честь французского математика Жерминаля Пьера Данделена , хотя Адольфу Кетле иногда также приписывают частичную заслугу.

Сферы Данделина можно использовать для элегантных современных доказательств двух классических теорем, известных Аполлонию Пергскому . Первая теорема состоит в том, что замкнутое коническое сечение (т.е. эллипс ) - это геометрическое место точек, такое что сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Вторая теорема состоит в том, что для любого конического сечения расстояние от фиксированной точки (фокуса) пропорционально расстоянию от фиксированной линии ( директрисы ), а коэффициент пропорциональности называется эксцентриситетом .

Коническая секция имеет по одной сфере Данделина для каждого фокуса. Эллипс состоит из двух сфер Данделина, соприкасающихся с одной и той же вершиной конуса, в то время как у гиперболы две сферы Данделина касаются противоположных вершин. Парабола имеет только один шары данделена.

Доказательство того, что кривая пересечения имеет постоянную сумму расстояний до фокусов

Рассмотрим иллюстрацию, изображающую конус с вершиной S наверху. Плоскость e пересекает конус по кривой C (с синей внутренней частью). Следующее доказательство покажет, что кривая C является эллипсом.

Две коричневые сферы Данделина, G 1 и G 2 , располагаются по касательной как к плоскости, так и к конусу: G 1 над плоскостью, G 2 под ней. Каждая сфера касается конуса по кругу (белого цвета), и .

Обозначим точку касания плоскости с G 1 через F 1 , аналогично для G 2 и F 2 . Пусть Р будет типичным точка на кривой C .

Для того, чтобы доказать: Сумма расстояний остается постоянной , как точка P движется вдоль кривой пересечения C . (Это одно определение С быть эллипс, причем и является его фокусов.)

  • Прямая, проходящая через P и вершину S конуса, пересекает две окружности, касаясь G 1 и G 2 соответственно в точках P 1 и P 2 .
  • Когда P перемещается по кривой, P 1 и P 2 перемещаются по двум окружностям, и расстояние между ними d ( P 1 ,  P 2 ) остается постоянным.
  • Расстояние от Р до Р 1 является таким же , как расстояние от Р до Р 1 , поскольку линейные сегменты PF 1 и ПП 1 оба касательной к одной и той же области G 1 .
  • Согласно симметричному аргументу, расстояние от P до F 2 такое же, как расстояние от P до P 2 .
  • Следовательно, мы вычисляем сумму расстояний, которая постоянна при движении P по кривой.

Это дает другое доказательство теоремы Аполлония Пергского .

Если мы определим эллипс как геометрическое место точек P, такое что d ( F 1 ,  P ) +  d ( F 2 ,  P ) = константа, то приведенный выше аргумент доказывает, что кривая пересечения C действительно является эллипсом. То, что пересечение плоскости с конусом симметрично относительно серединного перпендикуляра линии, проходящей через F 1 и F 2, может показаться нелогичным, но этот аргумент проясняет это.

Корпус цилиндра

Адаптация этого аргумента работает для гипербол и парабол как пересечений плоскости с конусом. Другая адаптация работает для эллипса, представленного как пересечение плоскости с правильным круговым цилиндром .

Доказательство свойства focus-directrix

Направляющую конического сечения можно найти с помощью конструкции Данделина. Каждая сфера Данделина пересекает конус по окружности; пусть оба этих круга определяют свои собственные плоскости. Пересечения этих двух параллельных плоскостей с плоскостью конического сечения будут двумя параллельными линиями; эти прямые являются направляющими конического сечения. Однако парабола имеет только одну сферу Данделина и, следовательно, имеет только одну директрису.

Используя сферы Данделина, можно доказать, что любое коническое сечение является геометрическим местом точек, для которых расстояние от точки (фокуса) пропорционально расстоянию от директрисы. Древнегреческие математики, такие как Папп Александрийский, знали об этом свойстве, но сферы Данделина облегчают доказательство.

Ни Данделин, ни Кетле не использовали сферы Данделена для доказательства свойства фокус-директрисы. Первыми, кто сделал это, возможно, был Пирс Мортон в 1829 году или, возможно, Хью Гамильтон, который заметил (в 1758 году), что сфера касается конуса в окружности, определяющей плоскость, пересечение которой с плоскостью конического сечения является директрисой. Свойство focus-directrix можно использовать для простого доказательства того, что астрономические объекты движутся по коническим сечениям вокруг Солнца.

Заметки

  1. ^ a b c Тейлор, Чарльз. Введение в древнюю и современную геометрию коник , стр. 196 («фокальные сферы») , стр. 204–205 (история открытия) (Дейтон, Белл и др., 1881).
  2. ^ Данделин, Г. (1822). «Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique» [Воспоминания о некоторых замечательных свойствах параболического очага [т. Е. Косого строфоида ]]. Nouveaux mémoires de l'Académie royale des Sciences et belles-lettres de Bruxelles (на французском языке). 2 : 171–200.
  3. ^ Кендиг, Кит. Коникс , стр. 86 (доказательство для эллипса) и стр. 141 (для гиперболы) (Cambridge University Press, 2005).
  4. ^ Кетле, Адольф (1819) «Математическая диссертация inauguralis de quibusdam locis geometryis nec non de curva focali» ( Первая математическая диссертация по некоторым геометрическим точкам, а также фокальным кривым), докторская диссертация (Гентский университет («Ганд»), Бельгия). (на латыни)
  5. ^ Годо, Л. (1928). "Математик Адольф Кетле (1796-1874)" . Ciel et Terre (на французском). 44 : 60–64.
  6. ^ a b c Хит, Томас. История греческой математики , стр. 119 (свойство фокус-директриса) , стр. 542 (сумма расстояний до свойства фокусов) (Clarendon Press, 1921).
  7. ^ Браннан, А. и др. Геометрия , стр. 19 (Cambridge University Press, 1999).
  8. ^ Numericana в Биографии: Мортон, Пирс
  9. ^ Мортон, Пирс. Геометрия, плоскость, твердое тело и сферическое, в шести книгах , стр. 228 (Болдуин и Крэдок, 1830).
  10. ^ Мортон, Пирс (1830). «На фокусе конического сечения» . Труды Кембриджского философского общества . 3 : 185–190.
  11. ^ Гамильтон, Хью (1758). De Sectionibus Conicis. Tractatus Geometricus. In quo, ex Natura ipsius Coni, Sectionum Affectiones facillime deducuntur. Methodo nova [ О конических сечениях. Геометрический трактат. В котором, исходя из природы самого конуса, легче всего вывести отношения сечений. Новым методом. ] (на латыни). Лондон, Англия: Уильям Джонстон. С. 122–125. Liber (книга) II, Propositio (предложение) XXXVII (37).
  12. ^ Хайман, Эндрю. "Простая декартова трактовка движения планет", European Journal of Physics , Vol. 14, стр. 145 (1993).

Внешние ссылки