Искривленное пространство - Curved space

Искривленное пространство часто относится к пространственной геометрии, которая не является «плоской», где плоское пространство описывается евклидовой геометрией . Криволинейные пространства обычно можно описать с помощью римановой геометрии, хотя некоторые простые случаи можно описать и другими способами. Изогнутые пространства играют важную роль в общей теории относительности , где гравитация часто визуализируется как искривленное пространство. Вселенная Фридмана представляет собой изогнутую метрику , которая формирует основу для текущего описания расширения пространства и формы Вселенной .

Простой двумерный пример

Очень знакомый пример искривленного пространства - поверхность сферы. Хотя на наш знакомый взгляд сфера выглядит трехмерной, если объект вынужден лежать на поверхности, он имеет только два измерения, в которых он может двигаться. Поверхность сферы может быть полностью описана двумя измерениями, поскольку независимо от того, как поверхность может казаться шероховатой, но это все же лишь поверхность, являющаяся двухмерной внешней границей объема. Даже поверхность Земли, которая является фрактальной по сложности, по-прежнему представляет собой только двумерную границу, расположенную за пределами объема.

Встраивание

В плоском пространстве сумма квадратов стороны прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Это соотношение не выполняется для искривленных пространств.

Одна из определяющих характеристик искривленного пространства - это его отход от теоремы Пифагора . В искривленном пространстве

.

Пифагорейские отношения часто можно восстановить, описав пространство дополнительным измерением. Предположим, у нас есть неевклидово трехмерное пространство с координатами . Потому что это не плоский

.

Но если мы теперь описываем трехмерное пространство четырьмя измерениями ( ), мы можем выбрать такие координаты, что

.

Обратите внимание , что координата является не такой же , как координата .

Для выбора 4D-координат в качестве действительных дескрипторов исходного 3D-пространства оно должно иметь такое же количество степеней свободы . Поскольку четыре координаты имеют четыре степени свободы, на них должно быть наложено ограничение. Мы можем выбрать такое ограничение, чтобы теорема Пифагора выполнялась в новом четырехмерном пространстве. То есть

.

Константа может быть положительной или отрицательной. Для удобства мы можем выбрать константу равной

где сейчас положительно и .

Теперь мы можем использовать это ограничение, чтобы исключить искусственную четвертую координату . Дифференциал ограничивающего уравнения равен

ведущий к .

Подстановка в исходное уравнение дает

.

Эта форма, как правило , не особенно привлекательная и поэтому преобразования координат часто применяется: , , . С этим преобразованием координат

.

Без встраивания

Геометрия n-мерного пространства также может быть описана с помощью римановой геометрии . Изотропное и однородное пространство может быть описано с помощью метрики:

.

Это сводится к евклидову пространству, когда . Но пространство можно назвать « плоским », если все компоненты тензора Вейля равны нулю. В трех измерениях это условие выполняется, когда тензор Риччи ( ) равен метрике, умноженной на скаляр Риччи ( не путать с R из предыдущего раздела). То есть . Вычисление этих компонентов по метрике дает

где .

Это дает метрику:

.

где может быть нулем, положительным или отрицательным и не ограничивается ± 1.

Открытый, плоский, закрытый

Изотропное и однородное пространство может быть описано с помощью метрики:

.

В пределе, когда константа кривизны ( ) становится бесконечно большой, возвращается плоское евклидово пространство . По сути, это то же самое, что и установка на ноль. Если не равен нулю, пространство не евклидово. Когда пространство называют замкнутым или эллиптическим . Когда пространство называют открытым или гиперболическим .

Сумма углов треугольников, лежащих на поверхности открытого пространства, меньше 180 °. Сумма углов треугольников, лежащих на поверхности замкнутого пространства, превышает 180 °. Объема, однако, нет .

Смотрите также

дальнейшее чтение

  • Папаставридис, Джон Г. (1999). «Общие n -мерные (римановы) поверхности» . Тензорное исчисление и аналитическая динамика . Бока-Ратон: CRC Press. С. 211–218. ISBN   0-8493-8514-8 .

внешние ссылки