Прямоугольник - Rectangle

Прямоугольник
Прямоугольник Geometry Vector.svg
Прямоугольник
Тип четырехугольник , трапеция , параллелограмм , ортотоп
Ребра и вершины 4
Символ Шлефли {} × {}
Диаграмма Кокстера CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Группа симметрии Двугранный (D 2 ), [2], (* 22), порядок 4
Двойной многоугольник ромб
Характеристики выпуклый , изогональный , циклический Противоположные углы и стороны равны

В евклидовой геометрии плоскости , прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами . Его также можно определить как: равносторонний четырехугольник, поскольку равноугольный означает, что все его углы равны (360 ° / 4 = 90 °); или параллелограмм, содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины - это квадрат . Термин продолговатый иногда используется для обозначения неквадратного прямоугольника. Прямоугольник с вершинами ABCD обозначим как ABCD . Rectanglen.PNG 

Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus , которое представляет собой комбинацию « rectus» (как прилагательное, правильный, правильный) и angulus ( угол ).

Пересекла прямоугольник является скрещенным (самопересекающийся) четырехугольник , который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями (следовательно , только две стороны параллельны). Это частный случай антипараллелограмма , и его углы не прямые и не все равны, хотя противоположные углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая , эллиптическая и гиперболическая , имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами равной длины и равными углами, которые не являются прямыми углами.

Прямоугольники участвуют во многих задачах мозаики , таких как мозаика плоскости по прямоугольникам или мозаика прямоугольника по многоугольникам .

Характеристики

Выпуклый четырехугольник является прямоугольником , если и только если это какой - либо один из следующих действий :

  • параллелограмм по меньшей мере одним прямого угла
  • параллелограмм с диагоналями одинаковой длины
  • параллелограмм ABCD , где треугольники ABD и DCA являются конгруэнтны
  • равносторонний четырехугольник
  • четырехугольник с четырьмя прямыми углами
  • четырехугольник, в котором две диагонали равны по длине и делят друг друга пополам
  • выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d , площадь которого равна .
  • выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d , площадь которого равна

Классификация

Прямоугольник - это частный случай параллелограмма и трапеции . Квадрат является частным случаем прямоугольника.

Традиционная иерархия

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма , в котором каждая пара смежных сторон находится перпендикулярно .

Параллелограмм - это особый случай трапеции (известной как трапеция в Северной Америке), в которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .

Трапеция - это выпуклый четырехугольник, у которого есть по крайней мере одна пара параллельных противоположных сторон.

Выпуклый четырехугольник - это

  • Просто : граница не пересекает саму себя.
  • В форме звезды : весь интерьер виден с одной точки, не пересекая края.

Альтернативная иерархия

Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник с осями симметрии, проходящими через каждую пару противоположных сторон. Это определение включает как прямоугольные прямоугольники, так и скрещенные прямоугольники. Каждая из них имеет ось симметрии, параллельную и равноудаленной от пары противоположных сторон, а другая - серединный перпендикуляр этих сторон, но в случае скрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии для обеих сторон. что он делит пополам.

Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к большему классу четырехугольников, по крайней мере, с одной осью симметрии через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники состоят из равнобедренных трапеций и скрещенных равнобедренных трапеций (скрещенные четырехугольники с таким же расположением вершин, что и равнобедренные трапеции).

Характеристики

Симметрия

Прямоугольник циклический : все углы лежат на одной окружности .

Он равноугольный : все углы его углов равны (каждый по 90 градусов ).

Он изогонален или вершинно-транзитивен : все углы лежат в пределах одной орбиты симметрии .

Она состоит из двух линий из reflectional симметрии и вращательной симметрии 2 - го порядка (на 180 °).

Двойственность прямоугольник-ромб

Двойного многоугольника прямоугольника представляет собой ромб , как показано в таблице ниже.

Прямоугольник Ромб
Все углы равны. Все стороны равны.
Альтернативные стороны равны. Альтернативные углы равны.
Его центр равноудален от его вершин , следовательно, он имеет описанную окружность . Его центр равноудален от его сторон , следовательно, он имеет вписанную окружность .
Две оси симметрии делят пополам противоположные стороны . Две оси симметрии делят пополам противоположные углы .
Диагонали равны по длине . Диагонали пересекаются под равными углами .
  • Фигура, образованная соединением по порядку середин сторон прямоугольника, представляет собой ромб и наоборот.

Разное

Прямоугольник прямолинейен : его стороны пересекаются под прямым углом.

Прямоугольник в плоскости может быть определен пятью независимыми степенями свободы, состоящими, например, из трех для положения (включая два для перемещения и одну для вращения ), одну для формы ( соотношение сторон ) и одну для общего размера (площади). .

Два прямоугольника, ни один из которых не поместится внутри другого, считаются несравнимыми .

Формулы

Формула периметра прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.

Если прямоугольник имеет длину и ширину

  • у него есть площадь ,
  • имеет периметр ,
  • каждая диагональ имеет длину ,
  • и когда прямоугольник является квадратом .

Теоремы

Изопериметрическая теорема прямоугольников утверждает , что среди всех прямоугольников данного периметра квадрат имеет самую большую площадь .

Середины сторон любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями образуют прямоугольник.

Параллелограмм с равными диагоналями представляет собой прямоугольник.

Японская теорема для циклических четырехугольников состояний , что incentres четыре треугольников определяются вершинами циклического четырехугольник взятых три в то время форме прямоугольника.

Теорема британского флага утверждает, что с вершинами, обозначенными A , B , C и D , для любой точки P на одной плоскости прямоугольника:

Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C такой, что гомотетическая копия R тела r описана вокруг C и положительное отношение гомотетии не превосходит 2 и .

Скрещенные прямоугольники

Пересек четырехугольник (самопересекающийся) состоит из двух противоположных сторон , не являющихся самопересекающегося четырехугольник вместе с двумя диагоналями. Точно так же скрещенный прямоугольник - это скрещенный четырехугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями. У него такое же расположение вершин, как и у прямоугольника. Он выглядит как два идентичных треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Пересек четырехугольник иногда сравнивают с галстуком или бабочкой , которую иногда называют «угловые восемь». Трехмерная прямоугольная проволока рама , которая скручивается может принимать форму галстука - бабочки.

Внутренняя часть скрещенного прямоугольника может иметь плотность многоугольников ± 1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации намотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Пересек прямоугольник можно считать равноугольным , если правые и левые повороты разрешены. Как и у любого скрещенного четырехугольника , сумма его внутренних углов составляет 720 °, что позволяет внутренним углам выступать снаружи и превышать 180 °.

Прямоугольник и скрещенный прямоугольник - это четырехугольники со следующими общими свойствами:

  • Противоположные стороны равны по длине.
  • Две диагонали равны по длине.
  • Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательной симметрии 2-го порядка (до 180 °).

Crossed rectangles.png

Другие прямоугольники

Седло прямоугольник имеет 4 непланарных вершины, чередовались из вершин параллелепипеда , с уникальным минимальной поверхностью интерьером , определенным в виде линейной комбинации четыре вершин, создавая поверхность седла. В этом примере показаны 4 синих края прямоугольника и две зеленые диагонали, каждая из которых является диагональю кубовидных прямоугольных граней.

В сферической геометрии , A сферической прямоугольник представляет собой фигуру , чьи четыре ребра большой окружности дуги , которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой твердотельной геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия - это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии , эллиптическая прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги , которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

В гиперболической геометрии , A гиперболической прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги , которые встречаются под равными углами менее 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

Мозаики

Прямоугольник используется во многих периодических моделях тесселяции , например, в кирпичной кладке :

Stacked bond.png
Сложенная облигация
Обои group-cmm-1.jpg
Бегущая связь
Обои group-p4g-1.jpg
Плетение корзины
Basketweave bond.svg
Плетение корзины
Елочка bond.svg
Узор в елочку

Квадратные, идеальные и другие мозаичные прямоугольники

Идеальный прямоугольник 9-го порядка

Прямоугольник, выложенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется «квадратным», «прямоугольным» или «треугольным» (или «треугольным») прямоугольником соответственно. Прямоугольник, выложенный плиткой, идеален, если плитки одинаковы и имеют конечное количество, и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки одинакового размера, плитка неидеальна . В идеальном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными . Базу данных всех известных идеальных прямоугольников, идеальных квадратов и связанных форм можно найти на сайте squaring.net . Наименьшее количество квадратов, необходимое для идеального замощения прямоугольника, - 9, а наименьшее количество, необходимое для идеального возделывания квадрата, - 21, найденное в 1978 году с помощью компьютерного поиска.

Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда его можно выложить конечным числом неравных квадратов. То же верно и в случае, если плитки представляют собой неравные равнобедренные прямоугольные треугольники .

Наибольшее внимание привлекли мозаики прямоугольников другими плитками, которые представляют собой конгруэнтные непрямоугольные полимино , допускающие любые вращения и отражения. Есть также мозаики конгруэнтными полиаболами .

Юникод

   U+25AC ▬ BLACK RECTANGLE
   U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE
   U+25AE ▮ BLACK VERTICAL RECTANGLE
   U+25AF ▯ WHITE VERTICAL RECTANGLE

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки