Скрещенный модуль - Crossed module

В математике и особенно в теории гомотопий , скрещенный модуль состоит из групп G и H , где G действует на H с помощью автоморфизмов (который мы будем писать на левой стороне , и в гомоморфизм групп ${\ Displaystyle (г, ч) \ mapsto г \ cdot ч}$

${\ displaystyle d \ двоеточие H \ longrightarrow G, \!}$

которая эквивариантна относительно действия сопряжения G на самой себе:

${\ Displaystyle д (г \ CDOT ч) = гд (ч) г ^ {- 1} \!}$

а также удовлетворяет так называемому тождеству Пайффера :

${\ displaystyle d (h_ {1}) \ cdot h_ {2} = h_ {1} h_ {2} h_ {1} ^ {- 1} \!}$

Происхождение

Первое упоминание второй идентичности для скрещенного модуля, по-видимому, находится в сноске 25 на стр. 422 цитируемой ниже статьи Дж. Х. К. Уайтхеда 1941 г., а термин «скрещенный модуль» вводится в его статье 1946 г., цитируемой ниже. Эти идеи были хорошо развиты в его статье 1949 года «Комбинаторная гомотопия II», в которой также была представлена ​​важная идея свободного скрещенного модуля. Идеи Уайтхеда о скрещенных модулях и их приложениях развиты и объяснены в книге Брауна, Хиггинса, Сиверы, указанной ниже. Некоторые обобщения идеи скрещенного модуля объясняются в статье Джанелидзе.

Примеры

Пусть N будет нормальная подгруппа группы G . Тогда включение

${\ Displaystyle d \ двоеточие N \ longrightarrow G \!}$

это скрещенный модуль с сопряжением действием G на N .

Для любой группы G , модули над кольцом группы пересекаются G -модулями с D = 0.

Для любой группы H гомоморфизм из H в Aut ( H ), переводящий любой элемент H в соответствующий внутренний автоморфизм, является скрещенным модулем.

Для любого центрального расширения групп

${\ Displaystyle 1 \ к А \ к Н \ к G \ к 1 \!}$

сюръективный гомоморфизм

${\ displaystyle d \ двоеточие H \ to G \!}$

вместе с действием G на H определяет скрещенный модуль. Таким образом, центральные расширения можно рассматривать как специальные скрещенные модули. И наоборот, скрещенный модуль с сюръективной границей определяет центральное расширение.

Если ( X , A , x ) - отмеченная пара топологических пространств (т. Е. A - подпространство в X, а x - точка в A ), то граница гомотопии

${\ displaystyle d \ двоеточие \ pi _ {2} (X, A, x) \ rightarrow \ pi _ {1} (A, x) \!}$

от второй относительной гомотопической группы к фундаментальной группе может быть задана структура скрещенного модуля. Функтор

${\ displaystyle \ Pi \ двоеточие ({\ text {пары заостренных пробелов}}) \ rightarrow ({\ text {скрещенные модули}})}$

удовлетворяет одной из форм теоремы Ван Кампена в том смысле, что сохраняет некоторые копределы.

Результат по скрещенному модулю пары можно также сформулировать так: если

${\ Displaystyle F \ rightarrow E \ rightarrow B \!}$

точечное расслоение пространств, то индуцированное отображение фундаментальных групп

${\ Displaystyle d \ двоеточие \ pi _ {1} (F) \ rightarrow \ pi _ {1} (E) \!}$

можно придать структуру скрещенного модуля. Этот пример полезен в алгебраической K-теории . Существуют многомерные версии этого факта с использованием n -кубов пространств.

Эти примеры предполагают, что скрещенные модули можно рассматривать как «двумерные группы». Фактически, эту идею можно уточнить с помощью теории категорий . Можно показать, что скрещенный модуль по сути то же самое, что категориальная группа или 2-группа : то есть групповой объект в категории категорий или, что эквивалентно, категориальный объект в категории групп. Это означает, что концепция скрещенного модуля - это одна из разновидностей результата смешения понятий «группа» и «категория». Эта эквивалентность важна для многомерных версий групп.

Классификация пространства

Любой скрещенный модуль

${\ Displaystyle M = (д \ двоеточие H \ longrightarrow G) \!}$

имеет классифицирующее пространство BM с тем свойством, что его гомотопические группы - Coker d в размерности 1, Ker d в размерности 2 и 0 в размерности выше 2. Можно описать гомотопические классы отображений из CW-комплекса в BM . Это позволяет доказать, что (точечные, слабые) гомотопические 2-типы полностью описываются скрещенными модулями.

внешние ссылки

• Дж. Баез, А. Лауда, Многомерная алгебра V: 2-группы.
• Р. Браун, Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии.
• Р. Браун, Теория многомерных групп
• Р. Браун, П. Дж. Хиггинс, Р. Сивера, Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 с. (Август 2011 г.) .
• М. Форрестер-Баркер, Групповые объекты и внутренние категории
• Бехранг Нухи, Заметки о 2-группоидах, 2-группах и скрещенных модулях
• скрещенные модули в nlab

Ссылки

• Уайтхед, JHC, О добавлении отношений к гомотопическим группам, Ann. математики. (2) 42 (1941) 409–428.
• Whitehead, JHC, Примечание к предыдущей статье, озаглавленной «О добавлении отношений к гомотопическим группам», Ann. математики. (2) 47 (1946) 806–810.
• Уайтхед, JHC, Комбинаторная гомотопия. II, Бык. Амер. Математика. Soc. 55 (1949) 453–496.
• Джанелидзе Г. Внутренние скрещенные модули. Грузинская математика. J. 10 (2003), нет. 1, 99–114.