Алгеброид Куранта - Courant algebroid

В области математики, известной как дифференциальная геометрия , геометрия Куранта была первоначально введена Чжан-Цзюй Лю, Аланом Вайнштейном и Пин Сюй в их исследовании двойников биалгеброидов Ли в 1997 году. Лю, Вайнштейн и Сюй назвали ее в честь Куранта , который имел неявно разработал ранее, в 1990 году, стандартный прототип алгеброида Куранта, открыв кососимметричную скобку на , называемую сегодня скобкой Куранта, которая не удовлетворяет тождеству Якоби. И этот стандартный пример, и дубль биалгебры Ли являются частными экземплярами алгеброидов Куранта.

Определение

Алгеброид Куранта состоит из данных - векторного расслоения со скобкой , невырожденного послойного внутреннего произведения и карты расслоения, подчиняющейся следующим аксиомам:

где являются сечениями Е и F является гладкой функцией на базовом многообразии М . D - это комбинация с d - дифференциалом де Рама, двойственным отображением и κ - отображением из E в индуцированное внутренним произведением.

Кососимметричное определение

Можно дать альтернативное определение, чтобы сделать скобку кососимметричной :

Это больше не удовлетворяет аксиоме тождества Якоби выше. Вместо этого он выполняет гомотопическое тождество Якоби.

где Т является

Правило Лейбница и инвариантность скалярного произведения модифицируются соотношением, а нарушение кососимметрии заменяется аксиомой

Кососимметрическая скобка вместе с дифференцированием D и якобиатором T образуют сильно гомотопную алгебру Ли .

Свойства

Скобка не является кососимметричной, как видно из третьей аксиомы. Вместо этого он выполняет определенное тождество Якоби (первая аксиома) и правило Лейбница (вторая аксиома). Из этих двух аксиом можно вывести, что отображение якоря ρ является морфизмом скобок:

Четвертое правило - неизменность внутреннего продукта под скобкой. Поляризация приводит к

Примеры

Примером алгеброида Куранта является скобка Дорфмана на прямой сумме с поворотом, введенным Шевера (1998), определенным как:

где X, Y - векторные поля, ξ, η - 1-формы, а H - замкнутая 3-форма, скручивающая скобку. Эта скобка используется для описания интегрируемости обобщенных сложных структур .

Более общий пример возникает из алгеброида Ли A , индуцированный дифференциал которого на снова будет записан как d . Затем с помощью той же формулы, что и для кронштейна Дорфман с H A -3-форма закрывается под д .

Другой пример алгеброида Куранта - квадратичная алгебра Ли, т. Е. Алгебра Ли с инвариантным скалярным произведением. Здесь базовое многообразие - это просто точка, поэтому отображение привязки (и D ) тривиально.

Пример, описанный в статье Weinstein et al. происходит от биалгеброида Ли, т. е. A - алгеброида Ли (с якорем и скобкой ), а также его двойственный алгеброид Ли (индуцирующий дифференциал на ) и (где на правой стороне скобки A расширяются до использования градуированного правила Лейбница). Это понятие симметрично в A и (см. Ройтенберг). Здесь с якорем и скобкой кососимметризация вышеуказанного в X и α (эквивалентно в Y и β ):

Структуры Дирака

Для алгеброида Куранта со скалярным произведением расщепленной сигнатуры (например, стандартной ) структура Дирака является максимально изотропным интегрируемым векторным подрасслоением L → M , т. Е.

,
,
.

Примеры

Как было обнаружено Курантом и параллельно Дорфманом, график 2-формы ω Ω 2 ( M ) максимально изотропен и, более того, интегрируется тогда и только тогда, когда d ω = 0, т. Е. 2-форма замкнута относительно дифференциала де Рама, т. Е. пресимплектическая структура.

Второй класс примеров возникает из бивекторов , графом является максимально изотропной и интегрируем тогда и только тогда [Π, Π] = 0, т.е. Π является Пуассон бивектор на М .

Обобщенные сложные структуры

(см. также основную статью обобщенной сложной геометрии )

Дан алгеброид Куранта со скалярным произведением расщепленной подписи. Обобщенная комплексная структура L → M - это структура Дирака в комплексифицированном алгеброиде Куранта с дополнительным свойством

где означает комплексное сопряжение относительно стандартной комплексной структуры при комплексификации.

Как подробно изучил Гуальтьери, обобщенные сложные структуры позволяют изучать геометрию, аналогичную сложной геометрии .

Примеры

Примерами помимо пресимплектических и пуассоновских структур также являются графы комплексной структуры J : TM TM .

Рекомендации

  1. ^ ZJ. Лю, А. Вайнштейн и П. Сюй: Тройки Манина для биалгеброидов Ли , Журн. из Diff.geom. 45 с. 647–574 (1997).
  2. ^ TJ Courant: Многообразия Дирака , Труды Американского математического общества, т. 319, стр. 631–661 (1990).
  3. ^ И. Ю. Дорфман: структуры Дирака интегрируемых эволюционных уравнений , Physics Letters A, том 125, стр. 240–246 (1987).
  4. ^ П. Шевера: Письма к А. Вайнштейну , неопубликованные.
  5. ^ М. Гуальтьери: Обобщенная комплексная геометрия , доктор философии. дипломная работа, Оксфордский университет, (2004 г.)

дальнейшее чтение