Корреляционная функция (статистическая механика) - Correlation function (statistical mechanics)

Схематические равно время спин корреляционные функции для ферромагнитных материалов и антиферромагнитных выше и ниже в зависимости от расстояния нормированного на длину корреляции, . Во всех случаях наиболее сильные корреляции наиболее близки к началу координат, что указывает на то, что спин имеет самое сильное влияние на своих ближайших соседей. Все корреляции постепенно затухают по мере увеличения расстояния от спина в начале координат. Выше температуры Кюри корреляция между спинами стремится к нулю, поскольку расстояние между спинами становится очень большим. Напротив, ниже корреляция между спинами не стремится к нулю на больших расстояниях, а вместо этого спадает до уровня, соответствующего дальнему порядку системы. Различие в поведении распада, когда корреляции между микроскопическими случайными величинами становятся равными нулю по сравнению с ненулевым на больших расстояниях, является одним из способов определения ближнего и дальнего порядка.${\ displaystyle T _ {\ text {Кюри}}}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle T _ {\ text {Кюри}}}$

В статистической механике , то функция корреляции является мерой того , в системе, так как характеризуется математической функцией корреляции . Корреляционные функции описывают, как связаны микроскопические переменные, такие как спин и плотность, в разных положениях. В частности, корреляционные функции количественно определяют, как микроскопические переменные в среднем изменяются друг с другом в пространстве и времени. Классическим примером таких пространственных корреляций являются ферро- и антиферромагнитные материалы, где спины предпочитают выстраиваться параллельно и антипараллельно своим ближайшим соседям соответственно. Пространственная корреляция между спинами в таких материалах показана на рисунке справа.

Определения

Наиболее распространенное определение корреляционной функции - это каноническое ансамблевое (тепловое) среднее скалярного произведения двух случайных величин, и , в положениях и и времени и : ${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {2}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R + r}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle т + \ тау}$

${\ Displaystyle С (г, \ тау) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t + \ tau) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ rangle \ langle \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t + \ tau) \ rangle \ ,.}$

Здесь скобки,, указывают вышеупомянутое среднее тепловое значение. Это вопрос соглашения вычитает ли один некоррелированный средний продукт и , с коррелированным продукта , с конвенцией , отличающейся среди полей. Чаще всего корреляционные функции используются для описания одной и той же переменной, такой как спин-спиновая корреляционная функция или функция корреляции положения-положения частицы в элементарной жидкости или твердом теле (часто называемой функцией радиального распределения или парной корреляцией. функция). Функции корреляции между одной и той же случайной величиной являются функциями автокорреляции . Однако в статистической механике не все корреляционные функции являются автокорреляционными функциями. Например, в многокомпонентных конденсированных фазах часто представляет интерес парная корреляционная функция между различными элементами. Такие парные корреляционные функции со смешанными элементами являются примером функций взаимной корреляции в качестве случайных величин и представляют средние вариации плотности в качестве положения функции для двух различных элементов. ${\ displaystyle \ langle ... \ rangle}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {2}}$${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ rangle \ langle \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t + \ tau) \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t + \ tau) \ rangle}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {2}}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {2}}$

Равновесные равновременные (пространственные) корреляционные функции

Часто интересует только пространственное влияние данной случайной величины, скажем, направления спина, на ее локальное окружение, без учета более поздних времен . В этом случае мы пренебрегаем эволюцией системы во времени, поэтому приведенное выше определение переписывается с . Это определяет функцию корреляции равно время , . Он записывается как: ${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау = 0}$${\ Displaystyle С (г, 0)}$

${\ Displaystyle С (г, 0) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ rangle \ langle \ mathbf {s_ {2}} (R + r, t) \ rangle \ ,.}$

Часто опускают опорное время и опорный радиус, предполагая равновесие (и, следовательно, временную инвариантность ансамбля) и усредняя по всем положениям образца, что дает: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle C (r) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (r) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0 ) \ rangle \ langle \ mathbf {s_ {2}} (r) \ rangle \ ,.}$

где, опять же, выбор того, следует ли вычитать некоррелированные переменные, различается для разных полей. Функция радиального распределения является примером функции равновременной корреляции, из которой некоррелированное опорное значение обычно не вычитается. На этой странице показаны другие функции спин-спиновой корреляции с одинаковым временем для различных материалов и условий.

Равновесные равнопозиционные (временные) корреляционные функции

Также может быть заинтересован в височной эволюции микроскопических переменных. Другими словами, как значение микроскопической переменной в данной позиции и времени и влияет на значение той же микроскопической переменной в более позднее время (и обычно в той же позиции). Такие временные корреляции количественно с помощью равной позиции корреляционных функций , . Они определены аналогично вышеуказанным функциям равновременной корреляции, но теперь мы пренебрегаем пространственными зависимостями, задавая , что дает: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle т + \ тау}$${\ Displaystyle С (0, \ тау)}$${\ displaystyle r = 0}$

${\ Displaystyle C (0, \ tau) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (R, t + \ tau) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_ {1}} (R, t) \ rangle \ langle \ mathbf {s_ {2}} (R, t + \ tau) \ rangle \ ,.}$

Предположение о равновесии (и, следовательно, неизменности ансамбля во времени) и усреднение по всем участкам в выборке дает более простое выражение для корреляционной функции равного положения по сравнению с функцией равновременной корреляции:

${\ Displaystyle С (\ тау) = \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0) \ cdot \ mathbf {s_ {2}} (\ tau) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s_ {1}} (0) \ rangle \ langle \ mathbf {s_ {2}} (\ tau) \ rangle \ ,.}$

Вышеупомянутое предположение может сначала показаться не интуитивным: как может ансамбль, который не зависит от времени, иметь неоднородную временную корреляционную функцию? Временные корреляции остаются актуальными для разговоров о равновесных системах, потому что неизменный во времени макроскопический ансамбль все еще может иметь нетривиальную временную динамику на микроскопическом уровне . Один из примеров - распространение. Однофазная система в состоянии равновесия макроскопически имеет однородный состав. Однако, если наблюдать за микроскопическим движением каждого атома, флуктуации в составе постоянно происходят из-за квазислучайных блужданий отдельных атомов. Статистическая механика позволяет делать проницательные утверждения о временном поведении таких колебаний равновесных систем. Это обсуждается ниже в разделе о временной эволюции корреляционных функций и гипотезе регрессии Онзагера .

Обобщение за пределами равновесных корреляционных функций

Все вышеуказанные корреляционные функции были определены в контексте статистической механики равновесия. Однако можно определить корреляционные функции для систем, не находящихся в состоянии равновесия. Изучая общее определение , становится ясно, что можно определить случайные величины, используемые в этих корреляционных функциях, такие как положения атомов и спины, вдали от равновесия. Таким образом, их скалярное произведение четко определено вдали от равновесия. Операция, которая больше не является четко определенной вне равновесия, является средним по равновесному ансамблю. Этот процесс усреднения для неравновесной системы обычно заменяется усреднением скалярного произведения по всей выборке. Это типично для экспериментов по рассеянию и компьютерного моделирования и часто используется для измерения функций радиального распределения стекол. ${\ Displaystyle С (г, \ тау)}$

Можно также определить средние по состояниям для систем, слегка отклоненных от состояния равновесия. См., Например, http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vaa/node56.html

Измерение корреляционных функций

Корреляционные функции обычно измеряются с помощью экспериментов по рассеянию. Например, в экспериментах по рассеянию рентгеновских лучей непосредственно измеряются электронно-электронные корреляции с равным временем действия. Зная элементные структурные факторы, можно также измерить элементные парные корреляционные функции. Дополнительную информацию см. В разделе Функция радиального распределения . Равновременные спин-спиновые корреляционные функции измеряются с помощью рассеяния нейтронов в отличие от рассеяния рентгеновских лучей. Рассеяние нейтронов также может дать информацию о парных корреляциях. Для систем, состоящих из частиц размером более одного микрометра, можно использовать оптическую микроскопию для измерения как равновременных, так и равнопозиционных корреляционных функций. Таким образом, оптическая микроскопия является обычным явлением для коллоидных суспензий, особенно в двух измерениях.

Временная эволюция корреляционных функций

В 1931 году Ларс Онсагер предположил, что регрессия микроскопических тепловых флуктуаций в состоянии равновесия следует макроскопическому закону релаксации малых неравновесных возмущений. Это известно как гипотеза регрессии Онзагера . Поскольку значения микроскопических переменных, разделенных большими временными шкалами, должны быть некоррелированными сверх того, что мы ожидаем от термодинамического равновесия, эволюцию корреляционной функции во времени можно рассматривать с физической точки зрения, поскольку система постепенно `` забывает '' заданные начальные условия. на него через спецификацию некоторой микроскопической переменной. На самом деле существует интуитивная связь между временной эволюцией корреляционных функций и временной эволюцией макроскопических систем: в среднем корреляционная функция изменяется во времени так же, как если бы система была подготовлена ​​в условиях, заданных начальным значением корреляционной функции. и позволил развиваться. ${\ Displaystyle \ тау}$

Равновесные флуктуации системы могут быть связаны с ее реакцией на внешние возмущения с помощью теоремы флуктуации-диссипации .

Связь фазовых переходов и корреляционных функций

Равновременные корреляционные функции как функция радиуса для ферромагнитной спиновой системы выше, при и ниже при ее критической температуре . Выше , имеет комбинированную экспоненциальной и степенной зависимости от расстояния: . Степенная зависимость преобладает на расстояниях, малых относительно длины корреляции , а экспоненциальная зависимость доминирует на расстояниях, больших относительно . В , расходится длина корреляции , что приводит к исключительно степенным поведением: . отличается крайней нелокальностью пространственных корреляций между микроскопическими значениями соответствующего параметра порядка без дальнего порядка. Ниже спины демонстрируют спонтанное упорядочение, т.е. дальний порядок, и бесконечную корреляционную длину. Непрерывные переходы порядок-беспорядок можно понимать как процесс перехода длины корреляции от бесконечности в низкотемпературном упорядоченном состоянии к бесконечности в критической точке, а затем к конечной в высокотемпературном неупорядоченном состоянии.${\ Displaystyle С (г, \ тау = 0)}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ Displaystyle С (г, \ тау = 0)}$${\ Displaystyle С (г, \ тау = 0) \ propto r ^ {- \ vartheta} e ^ {- r / \ xi (T)}}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ Displaystyle \ xi (T_ {C}) = \ infty}$${\ Displaystyle С (г, \ тау = 0) \ propto r ^ {- (d-2 + \ eta)}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ xi}$

Непрерывные фазовые переходы, такие как переходы порядок-беспорядок в металлических сплавах и ферромагнитно-парамагнитные переходы, включают переход от упорядоченного состояния к неупорядоченному. С точки зрения корреляционных функций, корреляционная функция равного времени отлична от нуля для всех точек решетки ниже критической температуры и не является незначительной только для довольно небольшого радиуса выше критической температуры. Поскольку фазовый переход является непрерывным, длина, на которой коррелируются микроскопические переменные, должна непрерывно переходить от бесконечности к конечной, когда материал нагревается до критической температуры. Это приводит к степенной зависимости корреляционной функции от расстояния в критической точке. Это показано на рисунке слева для ферромагнитного материала, а количественные данные приведены в разделе, посвященном магнетизму. ${\ displaystyle \ xi}$

Приложения

Магнетизм

В спиновой системе функция равновременной корреляции особенно хорошо изучена. Он описывает каноническое ансамблевое (тепловое) среднее скалярного произведения спинов в двух точках решетки по всем возможным порядкам: здесь скобки означают вышеупомянутое тепловое среднее. Схематические графики этой функции показаны для ферромагнитного материала ниже, при и выше его температуры Кюри слева. ${\ Displaystyle С (г) = \ langle \ mathbf {s} (R) \ cdot \ mathbf {s} (R + r) \ rangle \ - \ langle \ mathbf {s} (R) \ rangle \ langle \ mathbf {s} (R + r) \ rangle \ ,.}$

Даже в магнитно-неупорядоченной фазе спины в разных положениях коррелированы, т. Е. Если расстояние r очень мало (по сравнению с некоторым масштабом длины ), взаимодействие между спинами приведет к их корреляции. Выравнивание, которое естественно возникло бы в результате взаимодействия между спинами, разрушается тепловыми эффектами. При высоких температурах наблюдаются экспоненциально затухающие корреляции с увеличением расстояния, причем корреляционная функция асимптотически задается выражением ${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle C (r) \ приблизительно {\ frac {1} {r ^ {\ vartheta}}} \ exp {\ left (- {\ frac {r} {\ xi}} \ right)} \ ,,}$

где r - расстояние между спинами, а d - размер системы, а - показатель степени, значение которого зависит от того, находится ли система в неупорядоченной фазе (т.е. выше критической точки) или в упорядоченной фазе (т.е. ниже критическая точка). При высоких температурах корреляция спадает до нуля экспоненциально с увеличением расстояния между спинами. Тот же экспоненциальный спад как функция радиального расстояния также наблюдается ниже , но с пределом на больших расстояниях, являющимся средней намагниченностью . Точно в критической точке наблюдается алгебраическое поведение ${\ displaystyle \ vartheta}$${\ displaystyle T_ {c}}$${\ Displaystyle \ langle М ^ {2} \ rangle}$

${\ Displaystyle С (г) \ приблизительно {\ гидроразрыва {1} {г ^ {(d-2 + \ eta)}}} \ ,,}$

где - критический показатель , не имеющий простой связи с некритическим показателем, введенным выше. Например, точное решение двумерной модели Изинга (с короткодействующими ферромагнитными взаимодействиями) дает точно при критичности , но выше критичности и ниже критичности . ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ vartheta}$${\ displaystyle \ eta = {\ frac {1} {4}}}$${\ displaystyle \ vartheta = {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ vartheta = 2}$

При понижении температуры тепловое разупорядочение уменьшается, а при непрерывном фазовом переходе длина корреляции расходится, поскольку длина корреляции должна непрерывно переходить от конечного значения выше фазового перехода к бесконечному ниже фазового перехода:

${\ displaystyle \ xi \ propto | T-T_ {c} | ^ {- \ nu} \ ,,}$

с другим критическим показателем . ${\ displaystyle \ nu}$

Эта степенная корреляция отвечает за масштабирование , наблюдаемое в этих переходах. Все указанные показатели не зависят от температуры. На самом деле они универсальны , т. Е. Обнаруживаются одинаковыми в самых разных системах.

Функции радиального распределения

Одной из распространенных корреляционных функций является функция радиального распределения, которая часто встречается в статистической механике и механике жидкости . Корреляционная функция может быть вычислена в точно решаемых моделях (одномерный бозе-газ, спиновые цепочки, модель Хаббарда) с помощью квантового метода обратной задачи и анзаца Бете . В изотропной XY-модели корреляции времени и температуры были оценены Итсом, Корепином, Изергином и Славновым.

Корреляционные функции высшего порядка

Корреляционные функции более высокого порядка включают несколько опорных точек и определяются путем обобщения вышеуказанной корреляционной функции путем взятия ожидаемого значения продукта более чем двух случайных величин:

${\ displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) \ cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) \ rangle.}$

Однако такие корреляционные функции более высокого порядка относительно сложно интерпретировать и измерять. Например, для измерения аналогов парных функций распределения более высокого порядка необходимы источники когерентного рентгеновского излучения. И теория такого анализа, и экспериментальное измерение необходимых рентгеновских функций взаимной корреляции являются областями активных исследований.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Сетна, Джеймс П. (2006). «Глава 10: Корреляции, отклик и диссипация». Статистическая механика: энтропия, параметры порядка и сложность . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198566779.
• Функция радиального распределения
• Йоманс, JM (1992). Статистическая механика фазовых переходов . Оксфордские научные публикации. ISBN 978-0-19-851730-6.
• Фишер, ME (1974). «Ренормализационная группа в теории критического поведения». Обзоры современной физики . 46 (4): 597–616. Полномочный код : 1974RvMP ... 46..597F . DOI : 10.1103 / RevModPhys.46.597 .
• К. Домб , М.С. Грин , редакторы Дж. Л. Лебовица , Фазовые переходы и критические явления , т. 1-20 (1972–2001), Academic Press.