Содержание (теория меры) - Content (measure theory)

В математике , А содержание представляет собой набор функция, как меры , но содержание должно быть конечно - аддитивное только, в то время как мера должна быть счетно - аддитивной. Контент - это реальная функция, определенная на наборе подмножеств, такая что ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

1. ${\ displaystyle \ mu (A) \ in \ [0, \ infty] {\ text {when}} A \ in {\ mathcal {A}}.}$
2. ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$
3. ${\ displaystyle \ mu (A_ {1} \ чашка A_ {2}) = \ mu (A_ {1}) + \ mu (A_ {2}) {\ text {when}} A_ {1}, A_ {2 }, A_ {1} \ cup A_ {2} \ \ in {\ mathcal {A}} {\ text {и}} A_ {1} \ cap A_ {2} = \ varnothing.}$

Во многих важных приложениях выбирается кольцо множеств или, по крайней мере, полукольцо множеств, и в этом случае можно вывести некоторые дополнительные свойства, которые описаны ниже. По этой причине некоторые авторы предпочитают определять содержание только в случае полуколец или даже колец. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Если контент дополнительно является σ- аддитивным, он называется предварительной мерой, а если, кроме того, является σ -алгеброй , контент называется мерой . Следовательно, каждая (действительная) мера является содержанием, но не наоборот. Содержание дает хорошее представление об интегрировании ограниченных функций в пространстве, но может вести себя плохо при интегрировании неограниченных функций, в то время как меры дают хорошее представление об интегрировании неограниченных функций. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Примеры

Классическим примером является определение содержания всех наполовину открытых интервалов , устанавливая их содержание в длину интервалов т . Далее можно показать, что это содержимое на самом деле является σ- аддитивным и, таким образом, определяет предварительную меру на полукольце всех полуоткрытых интервалов. Это можно использовать для построения меры Лебега для вещественной числовой прямой, используя теорему Каратеодори о продолжении . Подробнее об общей конструкции см. Статью о мере Лебега . ${\ Displaystyle [а, б) \ substeq \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ му ([а, Ь)) = ба}$

Примером содержимого, которое не является мерой на σ- алгебре, является содержимое на всех подмножествах натуральных чисел, которое имеет значение 1/2 ⁿ для любого целого n и бесконечное на любом бесконечном подмножестве.

Пример содержания положительных целых чисел, которое всегда является конечным, но не является мерой, может быть дан следующим образом. Возьмем положительный линейный функционал на ограниченных последовательностях, равный 0, если последовательность имеет только конечное число ненулевых элементов и принимает значение 1 на последовательности 1, 1, 1, ...., поэтому функционал в некотором смысле дает " среднее значение »любой ограниченной последовательности. (Такой функционал не может быть построен явно, но существует по теореме Хана – Банаха .) Тогда содержимым набора натуральных чисел является среднее значение последовательности, равное 1 на этом наборе и 0 в другом месте. Неформально можно думать о содержании подмножества целых чисел как о «шансе» того, что случайно выбранное целое число находится в этом подмножестве (хотя это несовместимо с обычными определениями вероятности в теории вероятностей, которые предполагают счетную аддитивность).

Свойства

Часто содержимое определяется в наборах наборов, которые удовлетворяют дополнительным ограничениям. В этом случае могут быть выведены дополнительные свойства, которые в целом не соблюдаются для содержимого, определенного в любых коллекциях наборов.

На полукольцах

Если образует полукольцо множеств, можно вывести следующие утверждения: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

• Каждое содержание является монотонной т.е.${\ displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle A \ Substeq B \ Rightarrow \ mu (A) \ leq \ mu (B)}$для .${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}$

• Каждый контент является субаддитивным, т.е.${\ displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle \ му (A \ чашка B) \ leq \ mu (A) + \ mu (B)}$для в таких , что .${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A \ cup B \ in {\ mathcal {A}}}$

На кольцах

Если к тому же кольцо наборов, то дополнительно получают: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

• Субтрактивность : для удовлетворения этого следует .${\ Displaystyle B \ substeq A}$${\ Displaystyle \ му (В) <\ infty}$${\ Displaystyle \ му (A \ setminus B) = \ mu (A) - \ mu (B)}$
• ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ mu (A \ cup B) + \ mu (A \ cap B) = \ mu (A) + \ mu (B)}$.
• Субаддитивность : .${\ displaystyle A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \; (i = 1,2, \ dotsc, n) \ Rightarrow \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu (A_ {i})}$
• ${\ displaystyle \ sigma}$-Супераддитивность : для любого попарно непересекающегося удовлетворения мы имеем .${\ Displaystyle A_ {я} \ in {\ mathcal {A}} \; (я = 1,2, \ dotsc) \}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} A_ {я} \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {i} )}$
• Если конечное содержание, то есть , то принцип включения-исключения применяется:${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ mu (A) <\ infty}$

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k + 1} \! \! \ sum _ {I \ substeq \ {1, \ dotsc, n \}, \ atop | I | = k} \! \! \! \! \ mu \ left (\ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ right)}$

где для всех .${\ displaystyle A_ {i} \ in {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle я \ в \ {1, \ dotsc, п \}}$

Интегрирование ограниченных функций

В целом интеграция функций по отношению к контенту ведет себя не очень хорошо. Однако существует хорошее понятие интегрирования при условии, что функция ограничена, а общее содержимое пространства конечно, как показано ниже.

Предположим, что общее содержимое пространства конечно. Если f - ограниченная функция в пространстве, такая, что прообраз любого открытого подмножества вещественных чисел имеет содержание, то мы можем определить интеграл f по отношению к содержанию как

${\ Displaystyle \ int е \, д \ лямбда = \ лим \ сумма _ {я = 1} ^ {п} е (\ альфа _ {я}) \ лямбда (е ^ {- 1} (A_ {я}) )}$

где A _i образуют конечный набор непересекающихся полуоткрытых множеств, объединение которых охватывает область значений f , а α _i - любой элемент A _i , и где предел берется, поскольку диаметры множеств A _i стремятся к 0.

Двойники пространств ограниченных функций

Предположим , что μ является мерой на некотором пространстве X . Ограниченные измеримые функции на X образуют банахово пространство относительно нормы супремума. Положительные элементы двойственного к этому пространству соответствуют ограниченному содержанию λ Χ , причем значение λ на f задается интегралом . Точно так же можно сформировать пространство существенно ограниченных функций с нормой, задаваемой существенной супремумом, а положительные элементы двойственного к этому пространству задаются ограниченным содержанием, которое обращается в нуль на множествах меры 0. ${\ displaystyle \ int f \, d \ lambda}$

Построение меры из контента

Есть несколько способов построить меру μ из содержимого λ топологического пространства. В этом разделе дается один из таких методов для локально компактных хаусдорфовых пространств, содержание которых определено на всех компактных подмножествах. В общем, мера не является расширением содержания, поскольку содержание может не быть счетно аддитивным, и мера может даже быть идентично нулю, даже если содержание не является.

Сначала ограничьте содержимое компактными наборами. Это дает функцию λ компактов C со следующими свойствами:

1. ${\ Displaystyle \ лямбда (С) \ в \ [0, \ infty]}$для всех компактов C
2. ${\ displaystyle \ lambda (\ varnothing) = 0.}$
3. ${\ displaystyle \ lambda (C_ {1}) \ leq \ lambda (C_ {2}) {\ text {when}} C_ {1} \ subset C_ {2}}$
4. ${\ displaystyle \ lambda (C_ {1} \ чашка C_ {2}) \ leq \ lambda (C_ {1}) + \ lambda (C_ {2})}$ для всех пар компактов
5. ${\ displaystyle \ lambda (C_ {1} \ cup C_ {2}) = \ lambda (C_ {1}) + \ lambda (C_ {2})}$ для всех пар непересекающихся компактов.

Существуют также примеры функций λ, как указано выше, не построенных по содержанию. Пример дается построением меры Хаара на локально компактной группе. Один из способов построения такой меры Хаара состоит в том, чтобы создать левоинвариантную функцию λ, как указано выше, на компактных подмножествах группы, которая затем может быть расширена до левоинвариантной меры.

Определение на открытых множествах

Для данного λ, как указано выше, мы определяем функцию μ на всех открытых множествах следующим образом:

${\ Displaystyle \ му (U) = \ sup _ {C \ subset U} \ lambda (C)}$.

Он имеет следующие свойства:

1. ${\ Displaystyle \ му (U) \ в \ [0, \ infty]}$
2. ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$
3. ${\ displaystyle \ mu (U_ {1}) \ leq \ mu (U_ {2}) {\ text {when}} U_ {1} \ subset U_ {2}}$
4. ${\ displaystyle \ mu (\ bigcup _ {n} U_ {n}) \ leq \ sum _ {n} \ lambda (U_ {n})}$ для любой коллекции открытых наборов.
5. ${\ displaystyle \ mu (\ bigcup _ {n} U_ {n}) = \ sum _ {n} \ lambda (U_ {n})}$ для любого набора непересекающихся открытых множеств

Определение на всех множествах

Для μ, как указано выше, мы расширяем функцию μ на все подмножества топологического пространства с помощью

${\ displaystyle \ mu (A) = \ inf _ {A \ subset U} \ mu (U).}$

Это внешняя мера , другими словами, она имеет следующие свойства:

1. ${\ Displaystyle \ му (А) \ в \ [0, \ infty]}$
2. ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$
3. ${\ displaystyle \ mu (A_ {1}) \ leq \ mu (A_ {2}) {\ text {when}} A_ {1} \ subset A_ {2}}$
4. ${\ displaystyle \ mu (\ bigcup _ {n} A_ {n}) \ leq \ sum _ {n} \ lambda (A_ {n})}$ для любого счетного набора множеств.

Строительство меры

Указанная выше функция μ является внешней мерой на семействе всех подмножеств. Поэтому становится мерой при ограничении на измеримые подмножества для внешней меры, которые являются подмножества Е такими , что μ ( X ) = μ ( X ∩ E ) + μ ( Х \ Е ) для всех подмножества Х . Если пространство локально компактно, то каждое открытое множество измеримо по этой мере.

Мера μ не обязательно совпадает с содержанием λ на компактах. Однако она совпадает, если λ регулярно в том смысле, что для любого компакта C λ ( C ) является inf для λ ( D ) для компактов D, содержащих C в их интерьеры.

Смотрите также

• Минковский контент

Ссылки

• Халмос, Пол (1950), Теория меры , Van Nostrand and Co.
• Mayrhofer, Карл (1952), Inhalt und Mass (Содержание и мера) , Springer-Verlag, MR  0053185
• Эльстродт, Юрген (2018), Maß- und Integrationstheorie , Springer-Verlag