Конический маятник - Conical pendulum

Монументальные конические маятниковые часы Фарко, 1878 г.

Конический маятник состоит из массы (или боб ) , закрепленной на конце струны или стержня , подвешенного на оси поворота. Его конструкция похожа на обычный маятник ; однако, вместо того, чтобы раскачиваться вперед и назад, стержень конического маятника движется с постоянной скоростью по кругу, а струна (или стержень) движется по конусу . Конический маятник впервые был изучен на английский ученый Роберт Гук около 1660 в качестве модели для орбитального движения от планет . В 1673 году голландский ученый Христиан Гюйгенс рассчитал ее период, используя новую концепцию центробежной силы в своей книге « Horologium Oscillatorium» . Позже он использовался в качестве элемента хронометража в нескольких механических часах и других часовых механизмах.

Использует

В течение 1800-х годов конические маятники использовались в качестве элемента хронометража в нескольких часовых механизмах, где требовалось плавное движение, в отличие от неизбежно резкого движения, обеспечиваемого обычными маятниками. Двумя примерами были механизмы, позволяющие поворачивать линзы маяков, чтобы направлять их лучи через море, и приводы определения местоположения телескопов экваториальной установки , позволяющие телескопу плавно следовать за звездой по небу при вращении Земли.

Одно из наиболее важных применений конического маятника было в регуляторе флайбола ( центробежном регуляторе ), изобретенном Джеймсом Ваттом в 1788 году, который регулировал скорость паровых двигателей в эпоху пара в 1800-х годах. В тезерболе для игр на игровой площадке используется мяч, прикрепленный к шесту шнуром, который функционирует как конический маятник, хотя маятник становится короче, когда шнур наматывается на шест. Некоторые аттракционы действуют как конические маятники.

Анализ

Рассмотрим конический маятник, состоящий из боба массы m, вращающегося без трения по окружности с постоянной скоростью v на струне длиной L под углом θ к вертикали.

На боб действуют две силы:

• натяжение Т в струне, которое прикладывается вдоль линии струны и действует в направлении точки подвешивания.
• вес нисходящего боба mg , где m - масса боба, а g - местное ускорение свободного падения .

Сила, оказываемая струной, может быть разделена на горизонтальную составляющую T  sin ( θ ) по направлению к центру круга и вертикальную составляющую T  cos ( θ ) в направлении вверх. Из второго закона Ньютона , горизонтальная составляющая натяжения в строке дает Бобу центростремительное ускорение по направлению к центру круга:

${\ Displaystyle Т \ грех \ тета = {\ гидроразрыва {mv ^ {2}} {r}} \,}$

Конический маятник, опора которого движется по горизонтальной окружности радиуса r . Боб имеет массу м и подвешен строкой длина L . Сила натяжения струны, действующая на боб, есть вектор T , а вес боба - вектор mg .

Поскольку в вертикальном направлении ускорение отсутствует, вертикальная составляющая натяжения струны равна и противоположна весу боба:

${\ Displaystyle Т \ соз \ тета = мг \,}$

Эти два уравнения можно решить для T / m и приравнять, тем самым исключив T и m :

${\ displaystyle {\ frac {g} {\ cos \ theta}} = {\ frac {v ^ {2}} {r \ sin \ theta}}}$

Поскольку скорость маятникового боба постоянна, ее можно выразить как длину окружности 2 πr, деленную на время t, необходимое для одного оборота боба:

${\ displaystyle v = {\ frac {2 \ pi r} {t}}}$

Подставляя правую часть этого уравнения для v в предыдущее уравнение, мы находим:

${\ displaystyle {\ frac {g} {\ cos \ theta}} = {\ frac {({\ frac {2 \ pi r} {t}}) ^ {2}} {r \ sin \ theta}} = {\ frac {(2 \ pi) ^ {2} r} {t ^ {2} \ sin \ theta}}}$

Используя тригонометрическое тождество tan ( θ ) = sin ( θ ) / cos ( θ ) и решая для t , время, необходимое для того, чтобы боб совершил один оборот, равно

${\ displaystyle t = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {r} {g \ tan \ theta}}}}$

В практическом эксперименте, т изменяется и не так легко измерить в качестве постоянной длины строки L . r можно исключить из уравнения, отметив, что r , h и L образуют прямоугольный треугольник, где θ - это угол между катетом h и гипотенузой L (см. диаграмму). Следовательно,

${\ Displaystyle г = L \ грех \ тета \,}$

Подстановка этого значения на r дает формулу, единственным изменяющимся параметром которой является угол подвеса  θ :

Для малых углов θ cos ( θ ) ≈ 1; в таком случае

${\ Displaystyle т \ приблизительно 2 \ пи {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}}$

так что для малых углов период t конического маятника равен периоду обычного маятника такой же длины. Кроме того, период для малых углов приблизительно не зависит от изменения угла θ . Это означает, что период вращения примерно не зависит от силы, приложенной для его вращения. Это свойство, называемое изохронизмом , присуще обычным маятникам и делает оба типа маятников полезными для хронометража.

Смотрите также

• Три закона движения Ньютона
• Маятник
• Маятник (математика)

использованная литература

внешние ссылки

• Интерактивное моделирование конического маятника на Java