Конфлюэнтная гипергеометрическая функция - Confluent hypergeometric function

В математике , А вырожденная гипергеометрическая функция является решением из вырожденного гипергеометрического уравнения , которая является вырожденной формой гипергеометрического дифференциального уравнения , где два из трех регулярных особенностей сливаются в нерегулярную особенность . Термин конфлюэнтный относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere в переводе с латыни означает «течь вместе». Существует несколько распространенных стандартных форм конфлюэнтных гипергеометрических функций:

  • Функция Куммера (конфлюэнтная гипергеометрическая) M ( a , b , z ) , введенная Куммером  ( 1837 ), является решением дифференциального уравнения Куммера . Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая и не связанная с этим функция Куммера, носящая то же имя.
  • Функция Трикоми (конфлюэнтная гипергеометрическая) U ( a , b , z ), введенная Франческо Трикоми  ( 1947 ), иногда обозначаемая как Ψ ( a ; b ; z ) , является еще одним решением уравнения Куммера. Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция второго рода.
  • Функции Уиттекера (для Эдмунда Тейлора Уиттекера ) являются решениями уравнения Уиттекера .
  • Кулоновские волновые функции являются решениями кулоновского волнового уравнения .

Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.

Уравнение Куммера

Уравнение Куммера можно записать как:

с регулярной особой точкой в ​​точке z = 0 и нерегулярной особой точкой в ​​точке z = ∞ . Он имеет два (обычно) линейно независимых решения M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) .

Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в ( Kummer 1837 ) и определяемый следующим образом:

куда:

- растущий факториал . Другое общее обозначение этого решения - Φ ( a , b , z ) . Рассматриваемый как функция от a , b или z с двумя другими постоянными, это определяет целую функцию от a или z , за исключением случаев, когда b = 0, −1, −2, ... Как функция от b это аналитический, за исключением полюсов в неположительных целых числах.

Некоторые значения a и b дают решения, которые могут быть выражены через другие известные функции. См. # Особые случаи . Когда a - неположительное целое число, функция Куммера (если она определена) является обобщенным многочленом Лагерра .

Подобно тому, как конфлюэнтное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения, когда особая точка в 1 перемещается к особой точке в ∞, конфлюэнтная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции

и многие свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Поскольку уравнение Куммера имеет второй порядок, должно быть другое, независимое решение. Определяющие уравнение метода Фробениуса говорит нам , что самая низкая мощность степенного ряда решения уравнения Куммера является либо 0 , либо 1 - б . Если мы позволим w ( z ) быть

то дифференциальное уравнение дает

которое после деления z 1− b и упрощения принимает вид

Это означает, что z 1− b M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) является решением, если b не является целым числом больше 1, точно так же, как M ( a , b , z ) является решением, поэтому пока b не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми U ( a , b , z ), введенную Франческо Трикоми  ( 1947 ) и иногда обозначаемую Ψ ( a ; b ; z ) . Это комбинация двух вышеупомянутых решений, определяемых

Хотя это выражение не определено для целого числа b , его преимущество состоит в том, что его можно расширить до любого целого числа b по непрерывности. В отличие от функции Куммера, которая является целой функцией от z , U ( z ) обычно имеет особенность в нуле. Например, если b = 0 и a ≠ 0, то Γ ( a +1) U ( a , b , z ) - 1 асимптотически относительно az ln z, когда z стремится к нулю. Но см. # Особые случаи для некоторых примеров, когда это целая функция (многочлен).

Обратите внимание, что решение z 1− b U ( a + 1 - b , 2 - b , z ) уравнения Куммера совпадает с решением U ( a , b , z ) , см. # Преобразование Куммера .

Для большинства комбинаций действительных или комплексных a и b функции M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) независимы, и если b - неположительное целое число, то M ( a , b , z ) не существует, то мы можем использовать z 1− b M ( a + 1− b , 2− b , z ) в качестве второго решения. Но если a - целое неположительное число, а b - неположительное целое число, то U ( z ) делится на M ( z ) . В этом случае также z 1− b M ( a + 1− b , 2− b , z ) можно использовать в качестве второго решения, если оно существует и отличается. Но когда б представляет собой целое число больше 1, это решение не существует, и если б = 1 , то она существует , но является кратным U ( , б , г ) и из М ( , б , г ) в тех случаях существует второе решение следующей формы и действительное для любого действительного или комплексного a и любого положительного целого числа b, кроме случаев, когда a является положительным целым числом меньше b :

Когда a = 0, мы можем альтернативно использовать:

Когда b = 1, это экспоненциальный интеграл E 1 ( −z ) .

Аналогичная проблема возникает, когда a - b - отрицательное целое число, а b - целое число меньше 1. В этом случае M ( a , b , z ) не существует, а U ( a , b , z ) кратно z 1− b M ( a + 1− b , 2− b , z ). Второе решение имеет следующий вид:

Другие уравнения

Конфлюэнтные гипергеометрические функции могут использоваться для решения расширенного конфлюэнтного гипергеометрического уравнения, общая форма которого имеет следующий вид:

Обратите внимание, что для M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному конфлюэнтному гипергеометрическому уравнению.

Таким образом, сливающиеся гипергеометрические функции могут использоваться для решения «большинства» обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, все переменные коэффициенты которых являются линейными функциями от z , поскольку они могут быть преобразованы в расширенное сливающееся гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:

Сначала мы переместим регулярную особую точку в 0 , используя замену A + Bzz , которая преобразует уравнение в:

с новыми значениями C, D, E и F . Далее используем замену:

и умножим уравнение на тот же коэффициент, получив:

чье решение

где w ( z ) - решение уравнения Куммера с

Обратите внимание, что квадратный корень может давать мнимое или комплексное число. Если он равен нулю, необходимо использовать другое решение, а именно

где w ( z ) - вырожденная гипергеометрическая предельная функция, удовлетворяющая

Как отмечено ниже, даже уравнение Бесселя можно решить с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций.

Интегральные представления

Если Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) можно представить в виде интеграла

Таким образом , М ( , + б , она ) является характеристической функцией от бета - распределения . Для a с положительной действительной частью U можно получить с помощью интеграла Лапласа

Интеграл определяет решение в правой полуплоскости 0 <Re z < π / 2 .

Их также можно представить в виде интегралов Барнса

где контур проходит по одну сторону от полюсов Γ (- s ) и по другую сторону от полюсов Γ ( a + s ) .

Асимптотическое поведение

Если решение уравнения Куммера является асимптотическим по степени z при z → ∞ , то степень должна быть - a . Фактически, это так для решения Трикоми U ( a , b , z ) . Его асимптотика при z → ∞ может быть получена из интегральных представлений. Если z = xR , то замена переменных в интеграле с последующим расширением биномиального ряда и его формальным интегрированием по членам приводит к расширению асимптотического ряда , справедливому при x → ∞ :

где представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд с 1 в качестве ведущего термина, который обычно не сходится нигде, но существует как формальный степенной ряд в 1 / х . Это асимптотическое разложение также справедливо для комплексного z вместо действительного x , с | arg z | <3 π / 2.

Асимптотика решения Куммера при больших | z | является:

Степени z взяты с использованием −3 π / 2 <arg zπ / 2 . Первый член не нужен, когда Γ ( b - a ) конечно, то есть когда b - a не является целым неположительным числом и действительная часть z стремится к отрицательной бесконечности, тогда как второй член не нужен, когда Γ ( a ) конечно, то есть когда a не является целым неположительным числом, а действительная часть z стремится к положительной бесконечности.

Всегда существует какое-то решение уравнения Куммера, асимптотическое к e z z a - b при z → −∞ . Обычно это будет комбинация M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ), но также может быть выражена как e z (−1) a - b U ( b - a , b , - z ) .

связи

Существует множество соотношений между функциями Куммера для различных аргументов и их производных. В этом разделе приводится несколько типичных примеров.

Смежные отношения

Для данного M ( a , b , z ) четыре функции M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) называются смежными с M ( a , b , z ) . Функцию M ( a , b , z ) можно записать как линейную комбинацию любых двух ее смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a, b и z . Это дает (4
2
) = 6
отношений, задаваемых путем определения любых двух строк в правой части

В обозначениях выше M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) и т. Д.

Повторное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями вида M ( a + m , b + n , z ) (и их высшими производными), где m , n - целые числа.

Есть аналогичные соотношения для U .

Преобразование Куммера

Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:

.

Теорема умножения

Верны следующие теоремы умножения :

Связь с многочленами Лагерра и аналогичными представлениями

В терминах полиномов Лагерра функции Куммера имеют несколько разложений, например

( Erdélyi et al. 1953 , 6.12)

Особые случаи

Функции, которые могут быть выражены как частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции, включают:

  • Некоторые элементарные функции, левая часть которых не определена, если b - целое неположительное число, но правая часть по-прежнему является решением соответствующего уравнения Куммера:
(многочлен, если a - целое неположительное число)
для целого неположительного n - обобщенный многочлен Лагерра .
для целого неположительного числа n является кратным обобщенному многочлену Лагерра, равному, когда последний существует.
когда n является положительным целым числом, это замкнутая форма со степенями z , равными, когда последняя существует.
для целого неотрицательного числа n является полиномом Бесселя (см. ниже).
и т.п.
Используя отношение смежности, получаем, например,
Эту идентичность иногда также называют второй трансформацией Куммера . сходным образом
Когда a - целое неположительное число, это равно 2 - a θ - a ( x / 2), где θ - многочлен Бесселя .
  • Функция ошибки может быть выражена как
  • Общий p -й необработанный момент ( p не обязательно целое число) может быть выражен как
Во второй формуле сечение второй ветви функции может быть выбрано умножением на (−1) p .

Применение к непрерывным дробям

Применяя ограничивающий аргумент к непрерывной дроби Гаусса, можно показать, что

и что эта цепная дробь равномерно сходится к мероморфной функции от z в любой ограниченной области, не содержащей полюса.

Примечания

  1. ^ Campos, LMBC (2001). «О некоторых решениях расширенного конфлюэнтного гипергеометрического дифференциального уравнения» . Журнал вычислительной и прикладной математики . Эльзевир. 137 : 177–200. DOI : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00706-8 .
  2. ^ Эндрюс, GE; Askey, R .; Рой, Р. (2001). Специальные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521789882..
  3. ^ Это получено из Абрамовица и Стегуна (см. Ссылку ниже), стр. 508 , где дан полный асимптотический ряд. Они меняют знак экспоненты в exp ( iπa ) в правой полуплоскости, но это несущественно, так как там можно пренебречь членом, иначе a является целым числом и знак не имеет значения.
  4. ^ "Аспекты многомерной статистической теории | Wiley" . Wiley.com . Проверено 23 января 2021 .

использованная литература

внешние ссылки