Проводимость вблизи порога перколяции - Conductivity near the percolation threshold

В смеси диэлектрика и металлического компонента проводимость и диэлектрическая постоянная этой смеси показывают критическое поведение, если доля металлического компонента достигает порога перколяции . Поведение проводимости вблизи этого порога перколяции будет демонстрировать плавный переход от проводимости диэлектрического компонента к проводимости металлического компонента и может быть описано с помощью двух критических показателей s и t, тогда как диэлектрическая проницаемость будет расходиться, если порог приближается с обеих сторон. Для того, чтобы включать в себя частоты зависимого поведения, а резистор - конденсатор модель (модель RC) используется. ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Геометрическая перколяция

Для описания такой смеси диэлектрика и металлического компонента воспользуемся моделью перколяции связей. В регулярной решетке связь между двумя ближайшими соседями может быть либо занята с вероятностью, либо не занята с вероятностью . Есть критическое значение . Для вероятностей заполнения образуется бесконечный кластер занятых связей. Это значение называется порогом перколяции . Область вблизи этого порога протекания может быть описана двумя критическими показателями и (см. Критические показатели протекания ). ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 1-p}$${\ displaystyle p_ {c}}$${\ displaystyle p> p_ {c}}$${\ displaystyle p_ {c}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ beta}$

С этими критическими показателями мы имеем длину корреляции ,${\ displaystyle \ xi}$

${\ Displaystyle \ xi (p) \ propto (p_ {c} -p) ^ {- \ nu}}$

и вероятность перколяции P:

${\ Displaystyle P (p) \ propto (p-p_ {c}) ^ {\ beta}}$

Электрическая просачивание

Для описания электрической перколяции мы отождествляем занятые связи модели перколяции связей с металлическим компонентом, имеющим проводимость . А диэлектрическая составляющая с проводимостью соответствует незанятым связям. Рассмотрим два следующих известных случаев в проводник-диэлектрик смеси и сверхпроводник-проводника смеси . ${\ displaystyle \ sigma _ {m}}$${\ displaystyle \ sigma _ {d}}$

Смесь проводник-изолятор

В случае смеси проводник-изолятор имеем . Этот случай описывает поведение при приближении к порогу перколяции сверху: ${\ displaystyle \ sigma _ {d} = 0}$

${\ displaystyle \ sigma _ {DC} (p) \ propto \ sigma _ {m} (p-p_ {c}) ^ {t}}$

для ${\ displaystyle p> p_ {c}}$

Ниже порога перколяции мы не имеем проводимости из-за идеального изолятора и конечных металлических кластеров. Показатель t является одним из двух критических показателей электрической перколяции.

Смесь сверхпроводник-проводник

В другом хорошо известном случае смеси сверхпроводник- проводник мы имеем . Этот случай полезен для описания ниже порога перколяции: ${\ displaystyle \ sigma _ {m} = \ infty}$

${\ displaystyle \ sigma _ {DC} (p) \ propto \ sigma _ {d} (p_ {c} -p) ^ {- s}}$

для ${\ displaystyle p <p_ {c}}$

Теперь, выше порога перколяции, проводимость становится бесконечной из-за бесконечных сверхпроводящих кластеров. А также мы получаем второй критический показатель s для электрической перколяции.

Проводимость вблизи порога перколяции

В области порога перколяции проводимость принимает масштабный вид:

${\ displaystyle \ sigma (p) \ propto \ sigma _ {m} | \ Delta p | ^ {t} \ Phi _ {\ pm} \ left (h | \ Delta p | ^ {- st} \ right)}$

с и${\ Displaystyle \ Delta p \ Equiv p-p_ {c}}$${\ Displaystyle ч \ экв {\ гидроразрыва {\ sigma _ {d}} {\ sigma _ {m}}}}$

На пороге перколяции проводимость достигает значения:

${\ displaystyle \ sigma _ {DC} (p_ {c}) \ propto \ sigma _ {m} \ left ({\ frac {\ sigma _ {d}} {\ sigma _ {m}}} \ right) ^ {u}}$

с участием ${\ Displaystyle и = {\ гидроразрыва {т} {т + с}}}$

Значения критических показателей

В разных источниках существуют разные значения критических показателей s, t и u в 3-х измерениях:

Значения критических показателей в 3-х измерениях

	Эфрос и др.	Clerc et al.	Бергман и др.
т	1,60	1,90	2,00
s	1,00	0,73	0,76
ты	0,62	0,72	0,72

Диэлектрическая постоянная

Диэлектрическая проницаемость также демонстрирует критическое поведение вблизи порога перколяции. Для действительной части диэлектрической проницаемости имеем:

${\ displaystyle \ epsilon _ {1} (\ omega = 0, p) = {\ frac {\ epsilon _ {d}} {| p-p_ {c} | ^ {s}}}}$

Модель RC

В модели RC связи в модели перколяции представлены чистыми резисторами с проводимостью для занятых связей и идеальными конденсаторами с проводимостью (где представляет угловую частоту ) для незанятых связей. Теперь закон масштабирования принимает вид: ${\ displaystyle \ sigma _ {m} = 1 / R}$${\ displaystyle \ sigma _ {d} = iC \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ sigma (p, \ omega) \ propto {\ frac {1} {R}} | \ Delta p | ^ {t} \ Phi _ {\ pm} \ left ({\ frac {i \ omega} {\ omega _ {0}}} | \ Delta p | ^ {- (s + t)} \ right)}$

Этот закон масштабирования содержит чисто мнимую переменную масштабирования и критическую шкалу времени.

${\ displaystyle \ tau ^ {*} = {\ frac {1} {\ omega _ {0}}} | \ Delta p | ^ {- (s + t)}}$

которое расходится при приближении к порогу перколяции как сверху, так и снизу.

Электропроводность для плотных сетей

Для плотной сети концепции перколяции не применимы напрямую, и эффективное сопротивление рассчитывается с точки зрения геометрических свойств сети. Предполагая, что длина кромки << расстояние между электродами и кромки распределены равномерно, можно считать, что потенциал равномерно падает от одного электрода к другому. Сопротивление листов такой случайной сети ( ) можно записать в терминах плотности кромок (проводов) ( ), удельного сопротивления ( ), ширины ( ) и толщины ( ) кромок (проводов) как: ${\ displaystyle R_ {sn}}$${\ displaystyle N_ {E}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle R_ {sn} \, = \, {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ rho} {w \, t \, {\ sqrt {N_ {E}}}}} \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,}$

Рекомендации

Смотрите также

• Теория перколяции