Теорема Коэна о структуре - Cohen structure theorem

В математике структурная теорема Коэна , введенная Коэном  ( 1946 ), описывает структуру полных нётеровых локальных колец .

Некоторые следствия структурной теоремы Коэна включают три гипотезы Крулля :

  • Любое полное регулярное нётерово локальное кольцо с равной характеристикой является кольцом формальных степенных рядов над полем. (Эквихарактерность означает, что локальное кольцо и его поле вычетов имеют одну и ту же характеристику и эквивалентны локальному кольцу, содержащему поле.)
  • Любое полное регулярное нётерово локальное кольцо, которое не равнохарактерно, но неразветвлено, однозначно определяется своим полем вычетов и своей размерностью.
  • Любое полное нётерово локальное кольцо является образом полного регулярного нётерового локального кольца.

утверждение

Наиболее часто используемый случай теоремы Коэна - это когда полное нетерово локальное кольцо содержит некоторое поле. В этом случае структурная теорема Коэна утверждает, что кольцо имеет вид k [[ x 1 , ..., x n ]] / ( I ) для некоторого идеала I , где k - его поле классов вычетов.

В неравном характеристическом случае, когда полное нетерово локальное кольцо не содержит поля, структурная теорема Коэна утверждает, что локальное кольцо является частным кольца формальных степенных рядов от конечного числа переменных над кольцом Коэна с тем же полем вычетов, что и местное кольцо. Кольцо Коэна - это поле или полное характеристическое кольцо с дискретным нормированием нуля , максимальный идеал которого порождается простым числом p (равным характеристике поля вычетов).

В обоих случаях самая сложная часть доказательства Коэна - показать, что полное нетерово локальное кольцо содержит кольцо коэффициентов (или поле коэффициентов ), то есть полное кольцо (или поле) дискретной оценки с тем же полем вычетов, что и локальное кольцо.

Весь этот материал тщательно разработан в Stacks Project "Stacks Project - Tag 0323" . stacks.math.columbia.edu . Проверено 13 августа 2018 ..

Ссылки