Цепной комплекс - Chain complex

В математике , А цепной комплекс представляет собой алгебраическая структура , которая состоит из последовательности абелевых групп (или модулей ) и последовательность гомоморфизмов между последовательными группами таким образом, что изображение каждого гомоморфизма входят в ядре следующего. С цепным комплексом связана его гомология , которая описывает, как изображения включаются в ядра.

Коцепной комплекс подобен цепной комплекс, за исключением того, что ее гомоморфизмы по другому соглашению. Гомологии коцепного комплекса называются его когомологиями.

В алгебраической топологии , сингулярный цепной комплекс из топологического пространства X строится с помощью непрерывных отображений из симплекса в X, и гомоморфизмы комплекса захвата цепи , как эти карты ограничивают до границы симплекса. Гомологии этого цепного комплекса называются сингулярными гомологиями X и являются обычно используемым инвариантом топологического пространства.

Цепные комплексы изучаются в гомологической алгебре , но используются в нескольких областях математики, включая абстрактную алгебру , теорию Галуа , дифференциальную геометрию и алгебраическую геометрию . В более общем смысле они могут быть определены в абелевых категориях .

Определения

Цепной комплекс представляет собой последовательность абелевых групп или модулей , ..., 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... соединены гомоморфизмам ( так называемые граничные операторы или дифференциалы ) д п  : пn −1 , такое что композиция любых двух последовательных отображений является нулевой. Явно дифференциалы удовлетворяют условию d nd n +1 = 0 или с подавленными индексами d 2 = 0 . Комплекс можно записать следующим образом.

Коцепной комплекс является двойным понятием для цепного комплекса. Он состоит из последовательности абелевых групп или модулей ..., A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ..., связанных гомоморфизмами d n  : A nA n +1, удовлетворяющими d n +1d n знак равно 0 . Комплекс коцепи может быть записан аналогично цепному комплексу.

Индекс n в A n или A n называется степенью (или измерением ). Разница между цепными и коцепными комплексами состоит в том, что в цепных комплексах дифференциалы уменьшают размерность, тогда как в коцепных комплексах они увеличивают размерность. Все концепции и определения цепных комплексов применимы к коцепным комплексам, за исключением того, что они будут следовать этому другому соглашению для измерения, и часто термины будут иметь префикс co- . В этой статье будут даны определения для цепных комплексов, когда различение не требуется.

Цепной комплекс ограниченный является тот , в котором почти все п равны 0; то есть конечный комплекс, расширенный влево и вправо на 0. Примером может служить цепной комплекс, определяющий симплициальные гомологии конечного симплициального комплекса . Цепной комплекс ограничен сверху, если все модули выше некоторой фиксированной степени N равны 0, и ограничен снизу, если все модули ниже некоторой фиксированной степени равны 0. Ясно, что комплекс ограничен как сверху, так и снизу тогда и только тогда, когда комплекс ограничен.

Элементы отдельных групп (ко) цепного комплекса называются (ко) цепями . Элементы в ядре d называются (со) циклами (или замкнутыми элементами), а элементы в образе d называются (со) границами (или точными элементами). Согласно определению дифференциала, все границы являются циклами. П -го (ко) гомологии группы Н п ( Н п ) является группой (со) циклов по модулю (со) в границах степени п , то есть,

Точные последовательности

Точная последовательность (или точное комплекс) представляет собой цепной комплекс , чьи группы гомологии равны нулю. Это означает, что все замкнутые элементы в комплексе точны. Короткая точная последовательность является ограниченной точной последовательностью , в которой только группы к , к + 1 , к +2 , могут быть отличными от нуля. Например, следующий цепной комплекс представляет собой короткую точную последовательность.

В средней группе замкнутыми элементами являются элементы p Z ; это явно точные элементы в этой группе.

Цепные карты

Цепное отображение F между двумя цепными комплексами и представляет собой последовательность гомоморфизмов для каждого п , что коммутирует с граничными операторами на два цепных комплексах, поэтому . Это записано на следующей коммутативной диаграмме .

Цепочка map.svg

Цепная карта отправляет циклы в циклы и границы в границы и, таким образом, индуцирует отображение на гомологии .

Непрерывное отображение F топологических пространств X и Y индуцирует отображение цепи между сингулярными цепными комплексами X и Y , и , следовательно , индуцирует отображение ф * между сингулярной гомологией X и Y , а также. Когда X и Y оба равны n- сфере , отображение, индуцированное на гомологии, определяет степень отображения f .

Понятие цепной карты сводится к концепции границы через построение конуса цепной карты.

Цепная гомотопия

Цепная гомотопия предлагает способ связать два цепных отображения, которые индуцируют одно и то же отображение на группах гомологии, даже если отображения могут быть разными. Принимая во внимание два цепных комплексов A и B , и две цепи , отображает п , г  : → B , A цепь Гомотопический представляет собой последовательность гомоморфизмов ч н  : пВ п + 1 таким образом, что HD + д Б ч = е - г . Карты могут быть записаны на диаграмме следующим образом, но эта диаграмма не коммутативна.

Цепная гомотопия между цепными комплексами.svg

Отображение hd A + d B h, как легко проверить, индуцирует нулевое отображение на гомологиях для любого h . Отсюда сразу следует, что f и g индуцируют одно и то же отображение на гомологиях. Один говорит , е и г являются цепь гомотопными (или просто гомотопные ), и это свойство определяет отношение эквивалентности между картами цепи.

Пусть X и Y - топологические пространства. В случае особых гомологий гомотопия между непрерывными отображениями f , g  : XY индуцирует цепную гомотопию между цепными отображениями, соответствующими f и g . Это показывает, что два гомотопических отображения индуцируют одно и то же отображение на особых гомологиях. Название «цепная гомотопия» мотивировано этим примером.

Примеры

Особые гомологии

Пусть X - топологическое пространство. Определим C n ( X ) для натурального n как свободную абелеву группу, формально порожденную сингулярными n-симплексами в X , и определим граничное отображение как

где шляпа означает пропуск вершины . То есть граница особого симплекса - это знакопеременная сумма ограничений на его грани. Можно показать, что ∂ 2 = 0, значит - цепной комплекс; сингулярные гомологии является гомологии этого комплекса.

Сингулярные гомологии - полезный инвариант топологических пространств с точностью до гомотопической эквивалентности . Группа гомологии степени нуля является свободной абелевой группой на пути-компонентах из X .

когомологии де Рама

Дифференциала к -формы на любом гладком многообразии M образуют реальное векторное пространство называется Ω к ( М ) при добавлении. Внешняя производная d отображает Ом K ( M ) , чтобы Ом к +1 ( М ), и г 2 = 0 следует в основном из симметрии вторых производных , так что векторные пространства K -форм вместе с внешней производной являются коцепным комплексом.

Когомологии этого комплекса называются когомологиями де Рама из X . Группа гомологии в размерности нуль изоморфно векторного пространства локально постоянных функций от М до R . Таким образом , для компактного многообразия, это вещественное векторное пространство, размерность которого число компонент связности М .

Гладкие отображения между многообразиями индуцируют цепные отображения, а гладкие гомотопии между отображениями индуцируют цепные гомотопии.

Категория сетевых комплексов

Цепные комплексы K -модулей с цепными отображениями образуют категорию Ch K , где K - коммутативное кольцо.

Если V = V и W = W - цепные комплексы, их тензорное произведение представляет собой цепной комплекс с элементами степени n, заданными формулой

и дифференциал определяется как

где a и b - любые два однородных вектора в V и W соответственно, и обозначает степень a .

Это тензорное произведение превращает категорию Ch K в симметричную моноидальную категорию . Тождественным объектом по отношению к этому моноидальному произведению является базовое кольцо K, рассматриваемое как цепной комплекс степени 0. Сплетение задается на простых тензорах однородных элементов формулой

Знак необходим для того, чтобы плетение было цепной картой.

Более того, категория цепных комплексов K -модулей также имеет внутренний Hom : для данных цепных комплексов V и W внутренний Hom модулей V и W , обозначаемый Hom ( V , W ), является цепным комплексом с элементами степени n, заданными как и дифференциал определяется

.

У нас есть естественный изоморфизм

Дальнейшие примеры

Смотрите также

Ссылки

  • Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
  • Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.