Смена колец - Change of rings

В алгебре, учитывая гомоморфизм колец , есть три способа изменить кольцо коэффициентов модуля ; а именно, для левого R - модуля M и левого S - модуля N ,

  • , индуцированный модуль.
  • , коиндуцированный модуль.
  • , ограничение скаляров.

Они связаны как присоединенные функторы :

а также

Это связано с леммой Шапиро .

Операции

Ограничение скаляров

В этом разделе пусть и будет два кольца (они могут быть или не быть коммутативными или содержать тождество ), и пусть будет гомоморфизмом. Ограничение скаляров превращает S -модули в R -модули. В алгебраической геометрии термин «ограничение скаляров» часто используется как синоним ограничения Вейля .

Определение

Предположим, что это модуль над . Тогда его можно рассматривать как модуль, над которым действие задается через

где обозначает действие, определяемое структурой -модуля на .

Интерпретация как функтор

Ограничение скаляров можно рассматривать как функтор от -modules к -modules. -Гомоморфизм автоматически становится -гомоморфизмом между ограничениями и . Действительно, если и , то

.

Как функтор, ограничение скаляров является правым сопряженным к расширению функтора скаляров.

Если - кольцо целых чисел, то это просто забывчивый функтор от модулей к абелевым группам.

Расширение скаляров

Расширение скаляров превращает R -модули в S -модули.

Определение

Позвольте быть гомоморфизм между двумя кольцами, и пусть будет модулем над . Рассмотрим тензорное произведение , где рассматривается как левый -модуль через . Поскольку также правый модуль над собой, и два действиями коммутируют, то есть для , (в более формальном языке, это - бимодуль ), наследует правильное действие . Она задается для , . Этот модуль называется быть получен из через расширение скаляров .

Неформально расширение скаляров - это «тензорное произведение кольца и модуля»; более формально, это частный случай тензорного произведения бимодуля и модуля - тензорное произведение R -модуля с -бимодулем является S -модулем.

Примеры

Один из простейших примеров - комплексификация , то есть расширение скаляров от действительных чисел до комплексных чисел . В более общем смысле, учитывая любое расширение поля K  <  L, можно расширить скаляры с K до L. На языке полей модуль над полем называется векторным пространством , и, таким образом, расширение скаляров преобразует векторное пространство над K в векторное пространство над L. Это также можно сделать для алгебр с делением , как это делается в кватернификации (расширение от вещественных чисел до кватернионов ).

В более общем смысле, учитывая гомоморфизм поля или коммутативного кольца R в кольцо S, кольцо S можно рассматривать как ассоциативную алгебру над R, и, таким образом, когда один расширяет скаляры на R -модуль, полученный модуль можно считать альтернативно , как S - модуль, или как R - модуль с алгеброй представлением из S ( в качестве R - алгебры). Например, результат комплексирования вещественного векторного пространства ( R = R , S = C ) может быть интерпретирован либо как комплексное векторное пространство ( S- модуль), либо как вещественное векторное пространство с линейной комплексной структурой (алгебраическое представление S как R -модуль).

Приложения

Это обобщение полезно даже для изучения полей - в частности, многие алгебраические объекты, связанные с полем, сами не являются полями, а представляют собой кольца, такие как алгебры над полем, как в теории представлений . Так же, как можно расширить скаляры на векторные пространства, можно также расширить скаляры на групповые алгебры, а также на модули над групповыми алгебрами, т. Е. Представления групп . Особенно полезно рассказать, как неприводимые представления меняются при расширении скаляров - например, представление циклической группы порядка 4, заданное поворотом плоскости на 90 °, является неприводимым двумерным вещественным представлением, но при расширении скаляров к комплексным числам, он разбивается на 2 комплексных представления размерности 1. Это соответствует тому факту, что характеристический многочлен этого оператора неприводим степени 2 по действительным числам, но делится на 2 множителя степени 1 по комплексным числам - у него нет реальных собственных значений, но есть 2 комплексных собственных значения.

Интерпретация как функтор

Расширение скаляров можно интерпретировать как функтор от -модулей к -модулям. Он посылает к , как указан выше, и -гомоморфизму к -гомоморфизму определенного .

Совместное расширение скаляров (коиндуцированный модуль)

Связь между расширением скаляров и ограничением скаляров

Рассмотрим -модуль и -модуль . Учитывая гомоморфизм , определить , является композиция

,

где последняя карта . Это является -гомоморфизмом, и , следовательно , хорошо определена, и есть гомоморфизм (из абелевых групп ).

В случае, если оба и имеют тождество, существует обратный гомоморфизм , который определяется следующим образом. Пусть . Тогда композиция

,

где первое отображение - канонический изоморфизм .

Эта конструкция показывает, что группы и изоморфны. На самом деле этот изоморфизм зависит только от гомоморфизма , поэтому он функториален . На языке теории категорий расширение функтора скаляров сопряжено слева с ограничением функтора скаляров.

Смотрите также

использованная литература

  • Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра . Фут, Ричард М. (3 - е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. С.  359 –377. ISBN 0471452343. OCLC  248917264 .
  • JP May, Примечания к Tor и Ext
  • НИКОЛАС БУРБАКИ . Алгебра I, Глава II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА §5. Расширение кольца скаляров; § 7. Векторные пространства. 1974, автор Германн.

дальнейшее чтение

  1. ^ Dummit 2004 , стр. 359.