Цепь (алгебраическая топология) - Chain (algebraic topology)

В алгебраической топологии , А к - цепь является формальной линейной комбинацией из к -клетка в клеточном комплексе . В симплициальных комплексах (соответственно кубических комплексах ) k -цепи представляют собой комбинации k -симплексов (соответственно k -кубов), но не обязательно связаны. Цепи используются в гомологии ; элементы группы гомологий являются классами эквивалентности цепей.

Определение

Для симплициального комплекса , группа из -цепей в определяется по формуле: ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle C_ {п} (Х)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle C_ {n} (X) = \ {\ sum \ limits _ {i} m_ {i} \ sigma _ {i} | m_ {i} \ in \ mathbb {Z} \}}$

где находятся симплексов из . Обратите внимание, что любой элемент не обязательно должен быть связным симплициальным комплексом. ${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle C_ {п} (Х)}$

Интеграция в цепочки

Интегрирование определяется на цепочках путем взятия линейной комбинации интегралов по симплексам в цепочке с коэффициентами (которые обычно являются целыми числами). Набор всех k -цепей образует группу, и последовательность этих групп называется цепным комплексом .

Граничный оператор на цепях

Граница многоугольной кривой - это линейная комбинация ее узлов; в данном случае - некоторая линейная комбинация от A ₁ до A ₆ . Предполагая, что все сегменты ориентированы слева направо (в порядке возрастания от A _k до A _{k +1} ), граница будет A ₆ - A ₁ .

Замкнутая многоугольная кривая, предполагающая последовательную ориентацию, имеет нулевую границу.

Граница цепи - это линейная комбинация границ симплексов в цепи. Граница k -цепи - это ( k −1) -цепь. Обратите внимание, что граница симплекса - это не симплекс, а цепь с коэффициентами 1 или −1 - таким образом, цепи являются замыканием симплексов под действием граничного оператора.

Пример 1: Граница пути - это формальная разница между его конечными точками: это телескопическая сумма . В качестве иллюстрации, если 1-цепь представляет собой путь от точки до точки , где , и являются его составляющие 1-симплекс, то ${\ displaystyle c = t_ {1} + t_ {2} + t_ {3} \,}$${\ displaystyle v_ {1} \,}$${\ displaystyle v_ {4} \,}$${\ Displaystyle т_ {1} = [v_ {1}, v_ {2}] \,}$${\ Displaystyle t_ {2} = [v_ {2}, v_ {3}] \,}$${\ displaystyle t_ {3} = [v_ {3}, v_ {4}] \,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {1} c & = \ partial _ {1} (t_ {1} + t_ {2} + t_ {3}) \\ & = \ partial _ {1} ( t_ {1}) + \ partial _ {1} (t_ {2}) + \ partial _ {1} (t_ {3}) \\ & = \ partial _ {1} ([v_ {1}, v_ { 2}]) + \ partial _ {1} ([v_ {2}, v_ {3}]) + \ partial _ {1} ([v_ {3}, v_ {4}]) \\ & = ([ v_ {2}] - [v_ {1}]) + ([v_ {3}] - [v_ {2}]) + ([v_ {4}] - [v_ {3}]) \\ & = [ v_ {4}] - [v_ {1}]. \ end {выравнивается}}}$

Пример 2: Граница треугольника представляет собой формальную сумму его ребер со знаками, расположенными так, чтобы пересечь границу против часовой стрелки.

Цепь называется циклом, если ее граница равна нулю. Цепь, которая является границей другой цепи, называется границей . Границы - это циклы, поэтому цепи образуют цепной комплекс , группы гомологий которого (циклы по модулю границ) называются симплициальными группами гомологий .

Пример 3: 0-цикл - это линейная комбинация точек, сумма всех коэффициентов которой равна 0. Таким образом, группа 0-гомологий измеряет количество компонент линейной связности пространства.

Пример 4: Плоскость, проколотая в начале координат, имеет нетривиальную группу 1-гомологий, поскольку единичная окружность является циклом, но не границей.

В дифференциальной геометрии двойственность между граничным оператором на цепях и внешней производной выражается общей теоремой Стокса .

использованная литература