Центратор и нормализатор - Centralizer and normalizer

В математике , особенно в теории групп , централизатор (также называемый коммутантом ) подмножества S в группе G - это набор элементов группы G, такой, что каждый член коммутирует с каждым элементом S , или, что эквивалентно, такое, что сопряжение с помощью оставляет каждый элемент из S фиксированной. Нормализатор из S в G представляет собой множество элементов из G , удовлетворяющих условию слабее оставляя множество неподвижного относительно сопряжения. Центратор и нормализатор S являются подгруппы из G . Многие методы в теории групп основаны на изучении центраторов и нормализаторы подходящего подмножества S .

Сформулированные соответствующим образом, определения также применимы к моноидам и полугруппам .

В теории колец , то централизатор подмножества кольца определяются по отношению к операции полугруппы (умножение) кольца. Централизатор подмножества кольца R является Подкольцо из R . В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли .

Идеализаторная в полугруппе или кольце другой конструкция , которая находится в том же ключе , как центратор и нормализатор.

Определения

Группа и полугруппа

Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как

где только первое определение применяется к полугруппам. Если в отношении рассматриваемой группы нет двусмысленности, G можно исключить из обозначений. Когда S  = { a } - одноэлементный набор, мы пишем C G ( a ) вместо C G ({ a }). Другое менее распространенное обозначение централизатора - Z ( a ), которое соответствует обозначению центра . С этой последней записи, нужно соблюдать осторожность , чтобы избежать путаницы между центром группы G , Z ( G ), и центратор из качестве элемента г в G , Z ( г ).

Нормализатор из S в группе (или полугруппы) G определяется как

где опять же только первое определение применимо к полугруппам. Определения похожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S, а s находится в S , тогда должно быть, что gs = sg , но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t в S , причем t, возможно, отличается от s . То есть элементы централизатора S должны коммутировать поточечно с S , но элементы нормализатора S должны коммутировать только с S как с множеством . Те же обозначения, упомянутые выше для централизаторов, применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с обычным закрытием .

Ясно, что оба являются подгруппами .

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли

Если R представляет собой кольцо или алгебра над полем , и S представляет собой подмножество R , то централизатор S точно , как определено для групп с R в месте G .

Если это алгебра Ли (или Ли кольцо ) с продуктом Ли [ х , у ], то централизатором подмножества S из определяется как

Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если R - ассоциативное кольцо, то R можно задать скобочное произведение [ x , y ] = xy - yx . Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0 . Если мы обозначим множество R с кронштейном продуктом в виде L R , то очевидно , что кольцо центратор из S в R равно кольцах Ли центратор из S в L R .

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) задается формулой

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, эта конструкция на самом деле является идеализатором множества S in . Если S аддитивная подгруппа в , то это наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от случая), в котором S является идеалом Ли .

Характеристики

Полугруппы

Обозначим через централизатор в полугруппе , т.е. тогда образует подполугруппу и , т.е. коммутант является собственным бикоммутантом .

Группы

Источник:

  • Центратор и нормализатор S являются подгруппы G .
  • Ясно, что . Фактически, всегда является нормальной подгруппой в , являясь ядром гомоморфизма, и группа действует сопряжением как группа биекций на . Например, группа Вейля компактной группы Ли с тором определяется как , и особенно, если тор является максимальным (т. Е. ), Является центральным инструментом в теории групп Ли.
  • С С ( С G ( S )) содержит S , но С G ( S ) потребность не содержит S . Сдерживание происходит именно тогда, когда S абелева.
  • Если Н является подгруппой группы G , то N G ( H ) содержит Н .
  • Если H - подгруппа G , то наибольшая подгруппа G, в которой H нормальна, - это подгруппа N G (H).
  • Если S - подмножество G такое, что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа G , центр которой содержит S, является подгруппой C G (S).
  • Подгруппа H группы G называется самонормализуем подгруппа изGеслиН О (Н) =H.
  • Центр G точно С G (G) , и G является абелевой группой тогда и только тогда , когда C G (G) = Z ( G ) = G .
  • Для одноэлементных наборов C G ( a ) = N G ( a ).
  • По симметрии, если S и T - два подмножества в G , T  ⊆  C G ( S ) тогда и только тогда, когда S  ⊆  C G ( T ).
  • Для подгруппы H группы G , то N / C теорема утверждает , что фактор - группа N G ( H ) / C G ( H ) является изоморфна подгруппе Aut ( H ), группа автоморфизмов из Н . Поскольку N G ( G ) = G и C G ( G ) = Z ( G ), из теоремы N / C также следует, что G / Z ( G ) изоморфна Inn ( G ), подгруппа Aut ( G ), состоящая из всех внутренних автоморфизмов из G .
  • Если мы определим групповой гомоморфизм T  : G → Inn ( G ) формулой T ( x ) ( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , то мы можем описать N G ( S ) и C G ( S ) в терминах из группы действий в Inn ( G ) на G : стабилизатор S в Inn ( G ) является Т ( Н G ( S )), а подгруппа Inn ( G ) крепления S точечно является Т ( с G ( S ) ).
  • Подгруппа Н группы G называется С-замкнутый или сам-бикоммутанте , если Н = С G ( S ) для некоторого подмножества S  ⊆  G . Если так, то на самом деле H = C G ( C G ( H )).

Кольца и алгебры над полем

Источник:

  • Централизаторы в кольцах и алгебрах над полем - это подкольца и подалгебры над полем соответственно; централизаторы в кольцах и алгебрах Ли - это подкольца и подалгебры Ли соответственно.
  • Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S .
  • C R ( C R ( S )) содержит S, но не обязательно равен. Теорема о двойном централизаторе касается ситуаций, когда имеет место равенство.
  • Если S - аддитивная подгруппа кольца Ли A , то N A ( S ) - наибольшее подкольцо Ли в A, в котором S - идеал Ли.
  • Если S - подкольцо Ли кольца Ли A , то S  ⊆  N A ( S ).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра . Издательство Оксфордского университета . п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
  2. ^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп . Европейское математическое общество . п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
  3. ^ Якобсон (2009), стр. 41 год
  4. ^ a b c Якобсон 1979 , стр.28.
  5. ^ Jacobson 1979 , с.57.
  6. Перейти ↑ Isaacs 2009 , главы 1-3.

использованная литература