Идемпотент (теория колец) - Idempotent (ring theory)

В теории колец (часть абстрактной алгебры ) в идемпотентном элементе , или просто идемпотент , в виде кольца является элемент таким образом, что ² = . То есть элемент идемпотентен относительно умножения кольца. Тогда индуктивно можно также заключить, что a = a ² = a ³ = a ⁴ = ... = a ⁿ для любого положительного целого числа n . Например, идемпотентный элемент кольца матриц - это в точности идемпотентная матрица .

Для общих колец элементы, идемпотентные относительно умножения, участвуют в разложениях модулей и связаны с гомологическими свойствами кольца. В булевой алгебре основными объектами изучения являются кольца, в которых все элементы идемпотентны как при сложении, так и при умножении.

Примеры

Коэффициенты Z

Можно считать , что кольцо целых чисел по модулю п , где п является бесквадратным . По китайской теореме об остатках это кольцо разлагается на прямое произведение колец целых чисел по модулю  p . Теперь каждый из этих факторов является полем, поэтому ясно, что единственными идемпотентами фактора будут 0 и 1. То есть каждый фактор имеет два идемпотента. Таким образом, если есть m факторов, будет 2 ^m идемпотентов.

Мы можем проверить это для целых чисел мод 6, R = Z / 6 Z . Поскольку 6 имеет два множителя (2 и 3), у него должно быть 2 ² идемпотента.

0 ² ≡ 0 ≡ 0 (мод 6)

1 ² ≡ 1 ≡ 1 (мод. 6)

2 ² ≡ 4 ≡ 4 (мод. 6)

3 ² ≡ 9 ≡ 3 (мод. 6)

4 ² ≡ 16 ≡ 4 (мод 6)

5 ² ≡ 25 ≡ 1 (мод. 6)

Из этих вычислений 0, 1, 3 и 4 являются идемпотентами этого кольца, а 2 и 5 - нет. Это также демонстрирует свойства разложения описаны ниже: потому , что 3 + 4 = 1 ( по модулю 6) , существует разложение кольца 3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Z . В 3 - Z / 6 Z тождество 3 + 6 Z и 4 Z / 6 Z тождество 4 + 6 Z .

Фактор кольца многочленов

Для кольца и такого элемента , что фактор-кольцо ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f \ in R}$${\ displaystyle f ^ {2} \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ frac {R} {(f ^ {2} -f)}}}$

имеет идемпотент . Например, это может быть применено к или любому многочлену . ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {Z} [х]}$${\ Displaystyle е \ ин к [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

Идемпотенты в кольцах расщепленных кватернионов

В кольце расщепленных кватернионов есть катеноид идемпотентов .

Типы кольцевых идемпотентов

Неполный список важных типов идемпотентов включает:

• Два идемпотента a и b называются ортогональными, если ab = ba = 0 . Если a идемпотентно в кольце R (с единицей), то также b = 1 - a ; более того, a и b ортогональны.
• Идемпотентная в R называется центральный идемпотент , если ах = ха для всех х в R .
• Тривиальные идемпотентный относится к любому из элементов 0 и 1, которые всегда идемпотентные.
• Примитивные идемпотентные кольцевая R является ненулевым идемпотентом таким образом, что аЯ является неразложима как правый R - модуль; то есть такой, что aR не является прямой суммой двух ненулевых подмодулей. Эквивалентно, примитивная идемпотентный , если она не может быть записана в виде а = E + F , где е и е отличны от нуля ортогональных идемпотентов в R .
• Локальные идемпотентный является идемпотентным таким образом, что ARA является локальным кольцом . Это означает, что aR неразложима напрямую, поэтому локальные идемпотенты также примитивны.
• Право неприводимым идемпотентная идемпотент , для которого аЯ простой модуль. По лемме Шура , End _R ( Ar ) = ARA является телом, и , следовательно , является локальным кольцом, так хорошо (и слева) неприводимые идемпотенты являются локальными.
• Центрально примитивные идемпотентный является центральным идемпотентным , который не может быть записан в виде суммы два ортогональных центральных ненулевые идемпотентов.
• Идемпотентная + я в фактор - кольца R / I называется подъемной силы по модулю I , если есть идемпотентный б в R такое , что б + я = а + I .
• Идемпотент из R называется полным идемпотентным если RaR = R .
• Сепарабельность идемпотентная ; см. сепарабельную алгебру .

Любой нетривиальный идемпотент a является делителем нуля (потому что ab = 0, где ни a, ни b не равны нулю, где b = 1 - a ). Это показывает, что области целостности и тела не имеют таких идемпотентов. В локальных кольцах таких идемпотентов тоже нет, но по другой причине. Единственный идемпотент, содержащийся в радикале Джекобсона кольца, равен 0.

Кольца, характеризующиеся идемпотентами

• Кольцо, в котором все элементы идемпотентны, называется булевым кольцом . Некоторые авторы используют термин «идемпотентное кольцо» для этого типа кольца. В таком кольце умножение коммутативно, и каждый элемент является собственным аддитивным обратным .
• Кольцо полупросто тогда и только тогда, когда каждый правый (или каждый левый) идеал порожден идемпотентом.
• Кольцо является регулярным по фон Нейману тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный правый (или каждый конечно порожденный левый) идеал порожден идемпотентом.
• Кольцо для которого аннуляторного г .ann ( S ) каждое подмножество S из R порождается идемпотентом называется Бэр кольцом . Если условие выполняется только для всех одноэлементных подмножеств R , то кольцо является правым кольцом Рикарта . Оба этих типа колец интересны, даже если у них отсутствует мультипликативная идентичность.
• Кольцо, в котором все идемпотенты центральны , называется абелевым кольцом . Такие кольца не обязательно должны быть коммутативными.
• Кольцо непосредственно неприводимо тогда и только тогда, когда 0 и 1 - единственные центральные идемпотенты.
• Кольцо R можно записать как e ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... ⊕ e _n R, где каждый e _i является локальным идемпотентом тогда и только тогда, когда R - полусовершенное кольцо .
• Кольцо называется SBI-кольцом или кольцом Lift / rad, если все идемпотенты кольца R поднимаются по модулю радикала Джекобсона .
• Кольцо удовлетворяет условию возрастающей цепочки для правых прямых слагаемых тогда и только тогда, когда кольцо удовлетворяет условию убывающей цепочки для левых прямых слагаемых тогда и только тогда, когда каждое множество попарно ортогональных идемпотентов конечно.
• Если a идемпотентно в кольце R , то aRa снова является кольцом с мультипликативной единицей a . Кольцо Ara часто называют угловым кольцом из R . Угловое кольцо возникает естественным образом, поскольку кольцо эндоморфизмов End _R ( aR ) ≅ aRa .

Роль в разложениях

Идемпотенты R имеют важную связь с декомпозицией R модулей . Если M - R- модуль и E = End _R ( M ) - его кольцо эндоморфизмов , то A ⊕ B = M тогда и только тогда, когда существует единственный идемпотент e в E такой, что A = e ( M ) и B = ( 1 - д ) ( М ) . Ясно тогда, М непосредственно неразложимы тогда и только тогда , когда 0 и 1 являются единственными идемпотентами в Е .

В случае, когда M = R, кольцо эндоморфизмов End _R ( R ) = R , где каждый эндоморфизм возникает как левое умножение на фиксированный элемент кольца. С этой модификации обозначений, A ⊕ B = R в качестве правых модулей тогда и только тогда , когда существует единственный идемпотент е такой , что Е.Р. = и (1 - е ) R = B . Таким образом, каждое прямое слагаемое в R порождается идемпотентом.

Если a - центральный идемпотент, то угловое кольцо aRa = Ra - кольцо с мультипликативной единицей a . Подобно тому, как идемпотенты определяют прямые разложения R как модуля, центральные идемпотенты R определяют разложения R как прямую сумму колец. Если R - прямая сумма колец R ₁ , ..., R _n , то единичные элементы колец R _i являются центральными идемпотентами в R , попарно ортогональными, и их сумма равна 1. Наоборот, для заданных центральных идемпотентов a ₁ , ..., a _n в R , которые попарно ортогональны и имеют сумму 1, то R - прямая сумма колец Ra ₁ ,…, Ra _n . Так, в частности, каждый центральный идемпотент a в R порождает разложение R как прямую сумму угловых колец aRa и (1 - a ) R (1 - a ) . В результате кольцо R напрямую неразложимо как кольцо тогда и только тогда, когда тождество 1 является центрально примитивным.

Работая индуктивно, можно попытаться разложить 1 на сумму центральных примитивных элементов. Если 1 является центрально примитивным, все готово. Если нет, то это сумма центральных ортогональных идемпотентов, которые, в свою очередь, являются примитивными или суммами более центральных идемпотентов и т. Д. Проблема, которая может возникнуть, заключается в том, что это может продолжаться бесконечно, создавая бесконечное семейство центральных ортогональных идемпотентов. Условие « R не содержит бесконечных множеств центральных ортогональных идемпотентов » является разновидностью условия конечности кольца. Этого можно добиться разными способами, например, потребовать, чтобы кольцо было правильным нётерским . Если существует разложение R = c ₁ R ⊕ c ₂ R ⊕ ... ⊕ c _n R с каждым c _i центрально примитивным идемпотентом, то R является прямой суммой угловых колец c _i Rc _i , каждое из которых является кольцевым неприводимый.

Для ассоциативных алгебр или йордановых алгебр над полем разложение Пирса является разложением алгебры как суммы собственных подпространств коммутирующих идемпотентных элементов.

Связь с инволюциями

Если идемпотент кольца эндоморфизмов Конец _R ( М ), то эндоморфизм е = 1 - 2 представляет собой R модуль инволюция из М . То есть, е представляет собой R гомоморфизм такой , что F ² тождественный эндоморфизм М .  

Идемпотентный элемент a из R и связанная с ним инволюция f порождают две инволюции модуля R , в зависимости от того, рассматривают ли R как левый или правый модуль. Если r представляет собой произвольный элемент из R , f можно рассматривать как правый R -гомоморфизм r ↦ fr, так что ffr = r , или f также можно рассматривать как гомоморфизм левого R- модуля r ↦ rf , где rff = r .

Этот процесс может быть обратным , если 2 представляет собой обратимый элемент из R : если б является инволюция, то 2 ^-1 (1 - б) и 2 ^-1 (1 + Ь) ортогональные идемпотенты, соответствующий и 1 - . Таким образом, для кольца, в котором 2 обратимо, идемпотентные элементы взаимно однозначно соответствуют инволюциям.

Категория модулей R

Подъем идемпотентов также имеет серьезные последствия для категории R модулей . Все идемпотентами поднимать по модулю I тогда и только тогда , когда каждый R прямое слагаемое R / I имеет проективное покрытие в качестве R модуля. Идемпотенты всегда поднимать по модулю нильидеалов и кольцо , для которых R является I-адический полным .

Подъем является наиболее важным , когда я = J ( R ) , то Jacobson радикал из R . Еще одна характеристика полусовершенных колец состоит в том, что они являются полулокальными кольцами , идемпотенты которых поднимаются по модулю J ( R ).

Решетка идемпотентов

Можно определить частичный порядок на идемпотентах кольца следующим образом: если a и b - идемпотенты, мы пишем a ≤ b тогда и только тогда, когда ab = ba = a . Что касается этого порядка, 0 - наименьший, а 1 - наибольший идемпотент. Для ортогональных идемпотентов a и b , a + b также идемпотент, и мы имеем a ≤ a + b и b ≤ a + b . В атомах этого частичного порядка в точности примитивных идемпотенты. ( Лам 2001 , стр. 323)ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLam2001 ( справка )

Когда вышеупомянутый частичный порядок ограничен центральными идемпотентами R , может быть задана структура решетки или даже структура булевой алгебры. Для двух центральных идемпотентов е и е в дополнение ¬ е = 1 - е и присоединиться и встретиться определяются

е ∨ е = е + е - еф

а также

e ∧ f = ef .

Порядок теперь становится просто e ≤ f тогда и только тогда, когда eR ⊆ fR , а соединение и встреча удовлетворяют ( e ∨ f ) R = eR + fR и ( e ∧ f ) R = eR ∩ fR = ( eR ) ( fR ) . Как показано в ( Goodearl тысяча девятьсот девяносто один , стр. 99) , что , если R является фон Неймана регулярно и правый самоинъективно , то решетка является полной решеткой . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFGoodearl1991 ( справка )

Примечания

использованная литература