Теорема о клеточной аппроксимации - Cellular approximation theorem

В алгебраической топологии , в теореме о клеточной аппроксимации , отображение между CW-комплексами всегда можно принять за определенный тип. В частности, если X и Y являются CW-комплексы, и F : X → Y непрерывное отображение, то F назовем сотовой , если F принимает п остов из X в п - остова из Y для всех п , т.е. если для всех n . Содержание клеточной аппроксимации теоремы тогда , что любое непрерывное отображение F : X → Y между CW-комплексы X и Y является гомотопным к сотовой карте, и если е уже сотовая связь на подкомплекс А из X , то мы можем , кроме того , выбрать гомотопическое стационарным на А . Таким образом, с алгебраической топологической точки зрения любое отображение между CW-комплексами можно считать клеточным. ${\ displaystyle f (X ^ {n}) \ substeq Y ^ {n}}$

Идея доказательства

Доказательство может быть дано индукцией после n с утверждением, что f клеточна на скелете X ⁿ . Для базового случая п = 0, обратите внимание , что каждый путь-компонент из Y должен содержать 0-клетку. Таким образом, образ 0-клетки X под f может быть соединен с 0-клеткой Y посредством пути, но это дает гомотопию от f к карте, которая является клеточной на 0-скелете X.

Предположим , что индуктивно е клеточно на ( п - 1) -остов X , и пусть е ^н быть п -клетки из X . Замыкание по электронной ^п является компактным в X , как образ характеристической карты ячейки, и , следовательно, изображение закрытия е ^п при е также компактно в Y . Тогда общий результат CW-комплексов состоит в том, что любое компактное подпространство CW-комплекса встречает (т.е. пересекает нетривиально ) только конечное число клеток комплекса. Таким образом, f ( e ⁿ ) встречается не более чем с конечным числом ячеек Y , так что мы можем принять за ячейку высшей размерности, удовлетворяющую f ( e ⁿ ). Если , отображение f уже является клеточным на e ⁿ , поскольку в этом случае только клетки n -скелета Y пересекаются с f ( e ⁿ ), поэтому мы можем считать, что k > n . Именно тогда технический, нетривиальный результат (см Hatcher) , что ограничение на F , чтобы можно homotoped по отношению к X ^п-1 к карте недостающей точки р ∈ е ^К . Поскольку деформация Y ^k - { p } втягивается на подпространство Y ^k - e ^k , мы можем дополнительно гомотопировать ограничение f на отображение, скажем, g , со свойством, что g ( e ⁿ ) пропускает клетку e ^k пространства Y по- прежнему относительно X ^n-1 . Так как f ( e ⁿ ) с самого начала встретила только конечное число ячеек Y , мы можем повторить этот процесс конечное число раз, чтобы пропустить все ячейки Y размерности больше n . ${\ displaystyle e ^ {k} \ substeq Y}$ ${\ Displaystyle к \ Leq п}$ ${\ displaystyle X ^ {n-1} \ чашка e ^ {n}}$ ${\ displaystyle X ^ {n-1} \ чашка e ^ {n}}$ ${\ displaystyle f (e ^ {n})}$

Мы повторяем этот процесс для каждой n -клетки X , фиксируя клетки подкомплекса A, на которых f уже является клеточным, и таким образом получаем гомотопию (относительно ( n - 1) -скелета X и n -клеток A ) ограничения f на X ⁿ до ячейки карты на все ячейки X размерности не больше n . Затем, используя свойство расширения гомотопии, чтобы распространить это на гомотопию на всем X , и склеить эти гомотопии вместе, завершим доказательство. За подробностями обращайтесь в Хэтчер.

Приложения

Некоторые гомотопические группы

Клеточную аппроксимационную теорему можно использовать для непосредственного вычисления некоторых гомотопических групп . В частности, если тогда Give и их каноническая CW-структура, каждая с одной 0-ячейкой, с одной $n$ -ячейкой для и одной $k-$ ячейкой для любого отображения, сохраняющего базовую точку , то гомотопны карте, образ которой лежит в $n$ -скелет, состоящий только из базовой точки. То есть любое такое отображение нуль-гомотопно. ${\ Displaystyle п <к,}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n} (S ^ {k}) = 0.}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ displaystyle S ^ {k}}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ displaystyle S ^ {k}.}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие S ^ {n} \ to S ^ {k}}$ ${\ displaystyle S ^ {k},}$

Клеточное приближение для пар

Пусть F : (X, А) → (Y, B) является карта CW-пар , то есть F является отображение из X в Y , и изображение под F сидит внутри B . Тогда f гомотопно клеточному отображению (X, A) → (Y, B) . Чтобы убедиться в этом, ограничить п к А и использовать сотовое приближение для получения мотопии е к сотовой карте на A . Используйте гомотопию расширения распространить эту гомотопию всех X , и применить клеточное приближение снова , чтобы получить карту на сотовую X , но не нарушая клеточную собственность на A . ${\ Displaystyle А \ Subteq X \,}$

Как следствие, мы имеем , что клеточные пары (X, А) является н-соединены , если все клетки имеют размерность строго больше п : Если , то любое отображение → (X, А) гомотопно к сотовой карте пары, и поскольку n -скелет X находится внутри A , любое такое отображение гомотопно отображению, образ которого находится в A , и, следовательно, он равен 0 в относительной гомотопической группе . У нас, в частности, есть n -связность, поэтому из длинной точной последовательности гомотопических групп для пары следует, что у нас есть изоморфизмы → для всех и сюръекция → . ${\ displaystyle XA}$ ${\ Displaystyle я \ Leq п \,}$ ${\ displaystyle (D ^ {i}, \ partial D ^ {i}) \,}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {я} (Х, А) \,}$
${\ Displaystyle (Х, Х ^ {п}) \,}$ ${\ Displaystyle (Х, Х ^ {п}) \,}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {я} (Х ^ {п}) \,}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {я} (Х) \,}$ ${\ Displaystyle я <п \,}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Х ^ {п}) \,}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Х) \,}$

CW приближение

Для каждого пространства X можно построить сложный CW Z и слабой гомотопической эквивалентности , что называется приближение CW к X . CW приближение, будучи слабой гомотопической эквивалентности, индуцирует изоморфизм на гомологии и когомологий групп X . Таким образом, часто можно использовать приближение CW, чтобы свести общее утверждение к более простой версии, которая касается только комплексов CW. ${\ displaystyle f \ двоеточие от Z \ до X}$

CW приближение строится с индуцируя на остовы из , так что карты изоморфны для и на для (для любой базисной). Затем строится из приклеивания (я + 1) -клетки , что (для всех базисных точек) ${\ displaystyle Z_ {i}}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle (f_ {i}) _ {*} \ двоеточие \ pi _ {k} (Z_ {i}) \ to \ pi _ {k} (X)}$ ${\ Displaystyle к <я}$ ${\ Displaystyle к = я}$ ${\ Displaystyle Z_ {я + 1}}$ ${\ displaystyle Z_ {i}}$

прикреплены отображениями, которые порождают ядро (и отображаются в X сжатием соответствующих сфероидов) ${\ displaystyle S ^ {i} \ к Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {я} (Z_ {я}) \ к \ пи _ {я} (Х)}$
прикреплены с помощью постоянных отображений и отображаются в X для генерации (или ). ${\ Displaystyle \ pi _ {я + 1} (Х)}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {я + 1} (Х) / (е_ {я}) _ {*} (\ пи _ {я + 1} (Z_ {я}))}$

Таким образом, клеточное приближение гарантирует, что добавление (i + 1) -клеток не влияет на , а учитывается классами отображений прикрепления этих ячеек . Сюръективность очевидна из второго шага построения. ${\ displaystyle \ pi _ {k} (Z_ {i}) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} \ pi _ {k} (X)}$ ${\ Displaystyle к <я}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {я} (Z_ {я})}$ ${\ displaystyle S ^ {i} \ к Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {я} (Z_ {я + 1}) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} \ pi _ {я} (X)}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {я + 1} (Z_ {я + 1}) \ к \ пи _ {я + 1} (Х)}$