Квадратурная формула Кавальери - Cavalieri's quadrature formula

Квадратурная формула Кавальери вычисляет площадь под кубической кривой вместе с другими более высокими степенями.

В исчислении , квадратурная формула Кавальери , названный в честь 17-го века итальянский математик Бонавентура Кавальери , является неотъемлемой

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x ^ {n} \, dx = {\ tfrac {1} {n + 1}} \, a ^ {n + 1} \ qquad n \ geq 0, }$

и их обобщения. Это определенная интегральная форма; неопределенный интеграл форма:

${\ displaystyle \ int x ^ {n} \, dx = {\ tfrac {1} {n + 1}} \, x ^ {n + 1} + C \ qquad n \ neq -1.}$

Существуют дополнительные формы , перечисленные ниже. Вместе с линейностью интеграла эта формула позволяет вычислить интегралы от всех многочленов.

Термин « квадратура » - традиционный термин для обозначения площади ; интеграл геометрически интерпретируется как площадь под кривой y  =  x ⁿ . Традиционно важными случаями являются y  =  x ² , квадратура параболы , известная в древности, и y  = 1 / x , квадратура гиперболы, значение которой является логарифмом .

Формы

Отрицательный n

Для отрицательных значений n (отрицательные степени x ) существует особенность в x  = 0, и, таким образом, определенный интеграл основан на 1, а не на 0, что дает:

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {a} x ^ {n} \, dx = {\ frac {1} {n + 1}} (a ^ {n + 1} -1) \ qquad n \ neq -1.}$

Кроме того, для отрицательных дробных (нецелых) значений n степень x ⁿ не определена четко , поэтому неопределенный интеграл определяется только для положительного x. Однако для отрицательного целого n степень x ⁿ определена для всех ненулевых x, а также определены неопределенные интегралы и определенные интегралы, которые могут быть вычислены с помощью аргумента симметрии, заменяя x на - x и основываясь на отрицательно определенном интеграл при −1.

По комплексным числам определенный интеграл (для отрицательных значений n и x ) может быть определен с помощью контурного интегрирования , но тогда он зависит от выбора пути, в частности числа витков - геометрическая проблема заключается в том, что функция определяет покрывающее пространство с особенностью в точке 0.

п = -1

Также существует исключительный случай n  = −1, дающий логарифм вместо степени  x:

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ ln a,}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x}} \, dx = \ ln x + C, \ qquad x> 0}$

(где «ln» означает натуральный логарифм , то есть логарифм по основанию e  = 2,71828 ...).

Несобственный интеграл часто расширяется до отрицательных значений x с помощью обычного выбора:

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x}} \, dx = \ ln | x | + C, \ qquad x \ neq 0.}$

Обратите внимание на использование абсолютного значения в неопределенном интеграле; это должно обеспечить унифицированную форму для интеграла и означает, что интеграл этой нечетной функции является четной функцией, хотя логарифм определен только для положительных входов, и фактически, различные постоянные значения C могут быть выбраны с любой стороны 0, поскольку они не изменяют производную. Таким образом, более общая форма:

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x}} \, dx = {\ begin {cases} \ ln | x | + C ^ {-} & x <0 \\\ ln | x | + C ^ { +} & x> 0 \ end {case}}}$

По комплексным числам не существует глобальной первообразной для 1 / x , поскольку эта функция определяет нетривиальное накрывающее пространство ; эта форма предназначена для действительных чисел.

Обратите внимание, что определенный интеграл, начинающийся с 1, не определен для отрицательных значений a, поскольку он проходит через особенность, хотя, поскольку 1 / x является нечетной функцией , можно основывать определенный интеграл для отрицательных степеней на −1. Если кто-то желает использовать несобственные интегралы и вычислить главное значение Коши , он получает то, что также можно утверждать с помощью симметрии (поскольку логарифм нечетный), поэтому не имеет значения, основан ли определенный интеграл на 1 или -1. Как и в случае с неопределенным интегралом, это относится к действительным числам и не распространяется на комплексные числа. ${\ displaystyle \ int _ {- c} ^ {c} {\ frac {1} {x}} \, dx = 0,}$${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {1} {x}} \, dx = 0,}$

Альтернативные формы

Интеграл также может быть записан со смещенными индексами, что упрощает результат и делает более ясной связь с n- мерным дифференцированием и n- кубом:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x ^ {n-1} \, dx = {\ tfrac {1} {n}} a ^ {n} \ qquad n \ geq 1.}$

${\ displaystyle \ int x ^ {n-1} \, dx = {\ tfrac {1} {n}} x ^ {n} + C \ qquad n \ neq 0.}$

В более общем виде эти формулы могут быть представлены как:

${\ displaystyle \ int (ax + b) ^ {n} dx = {\ frac {(ax + b) ^ {n + 1}} {a (n + 1)}} + C \ qquad {\ mbox {( for}} n \ neq -1 {\ mbox {)}} \, \!}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {ax + b}} dx = {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | ax + b \ right | + C}$

В более общем смысле:

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {ax + b}} \, dx = {\ begin {cases} {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | ax + b \ right | + C ^ {-} & x <-b / a \\ {\ frac {1} {a}} \ ln \ left | ax + b \ right | + C ^ {+} & x> -b / a \ end {cases} }}$

Доказательство

Современное доказательство состоит в использовании первообразной: показано, что производная x ⁿ равна nx ^{n −1} - для целых неотрицательных чисел. Это показано с биномиальной формулы и определения производной - и , таким образом , по основной теореме исчисления первообразного является интеграл. Этот метод не работает, поскольку кандидат первообразной , которая не определена из-за деления на ноль. Функция логарифма , которая фактически является первообразной 1 / x , должна быть введена и исследована отдельно. ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x}} \, dx,}$${\ displaystyle {\ frac {1} {0}} \ cdot x ^ {0}}$

Производная может быть геометризована как бесконечно малое изменение объема n -куба, который представляет собой площадь n граней, каждая из которых имеет размер n  - 1. Интегрирование этой картины - складывание граней - геометризует основную теорему исчисления, давая разложение из п -куба п пирамиды, которая является геометрическим доказательством квадратурной формулы Кавальери. ${\ Displaystyle (х ^ {п}) '= пх ^ {п-1}}$

Для положительных целых чисел это доказательство можно геометризировать: если рассматривать величину x ⁿ как объем n -куба ( гиперкуба в n измерениях), то производная - это изменение объема при изменении длины стороны - это равно x ^{n −1} , что можно интерпретировать как площадь n граней, каждая из которых имеет размер n  - 1 (фиксируя одну вершину в начале координат, это n граней, не соприкасающихся с вершиной), что соответствует кубу, размер которого увеличивается на рост в направлении этих граней - в трехмерном случае добавление 3 бесконечно тонких квадратов, по одному на каждую из этих граней. И наоборот, геометризация фундаментальной теоремы исчисления, сложение этих бесконечно малых ( n  - 1) кубов дает (гипер) -пирамиду, а n из этих пирамид образуют n -куб, который дает формулу. Кроме того, существует n- кратная циклическая симметрия n -куба вокруг диагонали, циклически проходящей по этим пирамидам (для которых пирамида является фундаментальной областью ). В случае с кубом (3-кубом) объем пирамиды изначально был строго установлен так: куб имеет 3-кратную симметрию, с фундаментальной областью пирамиды, разделяющей куб на 3 пирамиды, что соответствует факту что объем пирамиды равен одной трети основания, умноженной на высоту. Это геометрически иллюстрирует эквивалентность квадратуры параболы и объема пирамиды, которые классически вычислялись разными способами.

Существуют альтернативные доказательства - например, Ферма вычислил площадь с помощью алгебраического трюка, разделившего область на определенные интервалы неравной длины; в качестве альтернативы, можно доказать это, распознав симметрию графика y  =  x ⁿ при неоднородном расширении (на d в направлении x и d ⁿ в направлении y , алгебраизируя n измерений направления y ) или выведя формулу для все целочисленные значения путем раскрытия результата для n  = -1 и сравнения коэффициентов.

История

Архимед вычислил площадь параболических сегментов в своей «Квадратуре параболы» .

Подробное обсуждение истории с первоисточниками дано в ( Laubenbacher & Pengelley 1998 , глава 3, Анализ: расчет площадей и объемов) ; см. также историю исчисления и историю интеграции . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLaubenbacherPengelley1998 ( справка )

Случай с параболой был доказан в древности древнегреческим математиком Архимедом в его «Квадратуре параболы» (III век до н.э.) методом исчерпания . Следует отметить, что Архимед вычислил площадь внутри параболы - так называемый «параболический сегмент» - а не площадь под графиком y  =  x ² , что является перспективой декартовой геометрии . Это эквивалентные вычисления, но они отражают различие в перспективе. Древние греки, среди прочих, также вычисляли объем пирамиды или конуса , который математически эквивалентен.

В XI веке исламский математик Ибн аль-Хайтам (известный в Европе как Альхазен ) вычислил интегралы кубик и квартик (третьей и четвертой степени) с помощью математической индукции в своей « Книге оптики» .

Случай более высоких целых чисел был вычислен Кавальери для n до 9, используя свой метод неделимых ( принцип Кавальери ). Он интерпретировал их как высшие интегралы как вычисление многомерных объемов, хотя и неофициально, поскольку многомерные объекты были еще незнакомы. Затем этот метод квадратуры был распространен итальянским математиком Евангелистой Торричелли на другие кривые, такие как циклоида , затем формула была обобщена до дробных и отрицательных степеней английским математиком Джоном Уоллисом в его Arithmetica Infinitorum (1656), который также стандартизировал понятие и обозначение рациональных степеней - хотя Уоллис неверно истолковал исключительный случай n  = −1 (квадратура гиперболы) - прежде чем, наконец, было положено на строгое обоснование с развитием интегрального исчисления .

До формализации Уоллисом дробных и отрицательных степеней, которая допускала явные функции, эти кривые обрабатывались неявно через уравнения и ( p и q всегда положительные целые числа) и назывались соответственно высшими параболами и высшими гиперболами (или «высшими параболами» и « высшие гиперболы »). Пьер де Ферма также вычислил эти площади (за исключением исключительного случая −1) с помощью алгебраического трюка - он вычислил квадратуру высших гипербол, разделив прямую на равные интервалы, а затем вычислил квадратуру высших парабол, используя деление на неравные интервалы, по-видимому, путем инвертирования делений, которые он использовал для гипербол. Однако, как и в остальной части его работы, техники Ферма были скорее специальными приемами, чем систематическими методами лечения, и он, как полагают, не сыграл значительной роли в последующем развитии исчисления. ${\ Displaystyle у = х ^ {р / д},}$${\ displaystyle x ^ {p} = ky ^ {q}}$${\ displaystyle x ^ {p} y ^ {q} = k}$

Следует отметить, что Кавальери сравнивал площади только с площадями, а объемы с объемами - они всегда имеют размеры, в то время как идея рассмотрения площади как состоящей из единиц площади (относительно стандартной единицы), следовательно, без единицы измерения, по-видимому, возникла с Уоллис; Уоллис изучал дробные и отрицательные степени, и альтернативой трактовке вычисленных значений как безразмерных чисел была интерпретация дробных и отрицательных измерений.

Исключительный случай −1 (стандартная гипербола) был впервые успешно обработан Грегуаром де Сен-Винсентом в его Opus Gemetricum quadrature Cycle et sectionum coni (1647), хотя формальное рассмотрение должно было подождать появления натурального логарифма , который было выполнено Николасом Меркатором в его « Логарифмотехнии» (1668 г.).

Рекомендации

История

Доказательства

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратурная формула Кавальери" . MathWorld .
• Cavalieri интеграции
• DJ Struik, Справочник по математике, 1200-1800 , стр. 214