Причинный фильтр - Causal filter

В обработке сигналов , A причинная фильтр является линейной и стационарен причинной системой . Слово « причинно-следственная связь» указывает на то, что выход фильтра зависит только от прошлых и настоящих входных данных. Фильтр , выход которого также зависит от будущих входов неказуальный , в то время как фильтр, выход которого зависит только от будущих входов анти-причинный . Реализуемые системы (включая фильтры) (т. Е. Работающие в реальном времени ) должны быть причинными, потому что такие системы не могут действовать на будущие входные данные. Фактически это означает, что выходной образец, который лучше всего представляет входные данные, появляется немного позже. Обычной практикой проектирования цифровых фильтров является создание реализуемого фильтра путем сокращения и / или сдвига по времени беспричинной импульсной характеристики. Если сокращение необходимо, оно часто выполняется как результат импульсной характеристики с оконной функцией . ${\ displaystyle t,}$

Примером антипричинного фильтра является фильтр максимальной фазы , который можно определить как стабильный антипричинный фильтр, обратный фильтр которого также является стабильным и антипричинным.

Каждый компонент выходного сигнала причинного фильтра начинается, когда начинается его стимул. Выходы беспричинного фильтра начинаются до начала действия стимула.

пример

Следующее определение - это скользящее (или «скользящее») среднее входных данных . Постоянный коэффициент 1/2 опущен для простоты: ${\ Displaystyle s (х) \,}$

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {x-1} ^ {x + 1} s (\ tau) \, d \ tau \ = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} s (x + \ тау) \, д \ тау \,}$

где x может представлять пространственную координату, как при обработке изображений. Но если представляет время , то определенная таким образом скользящая средняя не является причинно-следственной (также называемой нереализуемой ), потому что зависит от будущих входных данных, таких как . Возможный выход ${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle (т) \,}$${\ Displaystyle е (т) \,}$${\ Displaystyle s (т + 1) \,}$

${\ Displaystyle е (т-1) = \ int _ {- 2} ^ {0} s (t + \ tau) \, d \ tau = \ int _ {0} ^ {+ 2} s (t- \ tau ) \, d \ tau \,}$

что является отсроченной версией нереализуемого вывода.

Любой линейный фильтр (например, скользящее среднее) можно охарактеризовать функцией h ( t ), называемой его импульсной характеристикой . Его вывод - свертка

${\ Displaystyle е (т) = (час * s) (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} час (\ тау) s (т- \ тау) \, д \ тау. \, }$

Таким образом, причинно-следственная связь требует

${\ Displaystyle е (т) = \ int _ {0} ^ {\ infty} час (\ тау) s (т- \ тау) \, д \ тау}$

и общее равенство этих двух выражений требует h ( t ) = 0 для всех t  <0.

Характеристика причинных фильтров в частотной области

Пусть h ( t ) - причинный фильтр с соответствующим преобразованием Фурье H (ω). Определите функцию

${\ Displaystyle г (т) = {ч (т) + ч ^ {*} (- т) \ более 2}}$

который не является причинным. С другой стороны, g ( t ) эрмитово и, следовательно, его преобразование Фурье G (ω) вещественнозначно. Теперь имеем следующее соотношение

${\ Displaystyle час (т) = 2 \, \ тета (т) \ cdot г (т) \,}$

где Θ ( t ) - единичная ступенчатая функция Хевисайда .

Это означает, что преобразования Фурье h ( t ) и g ( t ) связаны следующим образом

${\ Displaystyle Н (\ омега) = \ влево (\ дельта (\ омега) - {я \ над \ пи \ омега} \ вправо) * G (\ omega) = G (\ omega) -i \ cdot {\ widehat {G}} (\ omega) \,}$

где - преобразование Гильберта, выполненное в частотной области (а не во временной области). Знак может зависеть от определения преобразования Фурье. ${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (\ omega) \,}$${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (\ omega) \,}$

Взяв преобразование Гильберта в приведенное выше уравнение, получаем соотношение между "H" и его преобразованием Гильберта:

${\ Displaystyle {\ widehat {H}} (\ omega) = iH (\ omega)}$

Ссылки

• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (сентябрь 2007 г.), Численные рецепты (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 767, ISBN 9780521880688
• Роуэлл (январь 2009 г.), Определение причинно-следственной связи системы по ее частотной характеристике (PDF) , MIT OpenCourseWare