Девятки изгонять - Casting out nines

Выброс девяток - это любая из трех арифметических процедур:

  • Добавление десятичных цифр положительного целого числа , при необязательном игнорировании любых девяток или цифр, сумма которых кратна 9. Результатом этой процедуры является число, которое меньше оригинала, если оригинал содержит более одной цифры, оставляет тот же остаток, что и оригинал после деления на девять, и может быть получен из оригинала путем вычитания из него числа, кратного 9. Название процедуры происходит от этого последнего свойства.
  • Повторное применение этой процедуры к результатам, полученным из предыдущих заявок, до получения однозначного числа. Это однозначное число называется « цифровым корнем » оригинала. Если число делится на 9, его цифровой корень равен 9. В противном случае его цифровой корень - это остаток, который он оставляет после деления на 9.
  • Тест на работоспособность, в котором вышеупомянутые процедуры используются для проверки ошибок в арифметических вычислениях. Проверка выполняется путем применения той же последовательности арифметических операций к цифровым корням операндов, что и к самим операндам. Если в расчетах не было ошибок, цифровые корни двух результирующих должны быть одинаковыми. Если они разные, значит, в расчетах должна быть сделана одна или несколько ошибок.

Разрядные суммы

Чтобы «отбросить девятки» из одного числа, его десятичные цифры можно просто сложить вместе, чтобы получить его так называемую цифровую сумму . Сумма цифр 2946, например, равна 2 + 9 + 4 + 6 = 21. Так как 21 = 2946 - 325 × 9, результат взятия суммы цифр 2946 состоит в том, чтобы «выбросить» из нее 325 лотов по 9. Если цифра 9 игнорируется при суммировании цифр, результат будет "отбрасывать" еще одну 9, чтобы получить результат 12.

В более общем смысле, при отбрасывании девяток путем суммирования цифр любой набор цифр, который в сумме дает 9 или кратный 9, может быть проигнорирован. В числе 3264, например, сумма цифр 3 и 6 равна 9. Таким образом, игнорируя эти две цифры и суммируя две другие, мы получаем 2 + 4 = 6. Поскольку 6 = 3264 - 362 × 9, это вычисление имеет В результате было выброшено 362 лота по 9 из 3264.

Для произвольного числа, обычно представленного последовательностью десятичных цифр , сумма цифр равна . Разница между исходным числом и его цифрой составляет

Поскольку числа в форме всегда делятся на 9 (поскольку ), замена исходного числа его цифрой приводит к исключению

партии 9.

Цифровые корни

Если процедура, описанная в предыдущем абзаце, многократно применяется к результату каждого предыдущего приложения, конечным результатом будет однозначное число, из которого все девятки, за возможным исключением одной, были «выброшены». Полученное однозначное число называется цифровым корнем оригинала. Исключение возникает, когда исходное число имеет цифровой корень из 9, сумма цифр которого равна самой себе, и, следовательно, не будет выбрано путем взятия дополнительных сумм цифр.

Число 12565, например, имеет сумму цифр 1 + 2 + 5 + 6 + 5 = 19, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1 + 9 = 10, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1 + 0 = 1, однозначное число. Таким образом, цифровой корень 12565 равен 1, и его вычисление приводит к вытеснению (12565 - 1) / 9 = 1396 лотов из 9 из 12565.

Проверка расчетов выбрасыванием девяток

Чтобы проверить результат арифметического вычисления путем отбрасывания девяток, каждое число в вычислении заменяется его цифровым корнем, и те же вычисления применяются к этим цифровым корням. Цифровой корень результата этого вычисления затем сравнивается с результатом первоначального вычисления. Если в расчетах не было ошибок, эти два цифровых корня должны быть одинаковыми. Примеры, в которых выбрасывание девяток использовалось для проверки сложения , вычитания , умножения и деления , приведены ниже.

Примеры

Добавление

В каждом дополнении вычеркните все 9 и пары цифр, которые в сумме составляют 9, затем сложите оставшееся . Эти новые ценности называются излишествами . Сложите оставшиеся цифры для каждого слагаемого, пока не будет достигнута одна цифра. Теперь обработайте сумму, а также излишки, чтобы получить окончательное превышение.

2 и 4 в сумме дают 6.
8 + 1 = 9 и 4 + 5 = 9; цифр не осталось.
2, 4 и 6 составляют 12; 1 и 2 составляют 3.
2 и 0 равны 2.
6, 0, 3 и 2 составляют 11; 1 и 1 в сумме дают 2.
Превышение суммы должно равняться окончательному превышению сумм.

Вычитание

Сначала вычеркните все 9 и цифры, которые в сумме составляют 9, как для уменьшения, так и для вычитания (выделены курсивом).
Сложите оставшиеся цифры для каждого значения, пока не будет достигнута одна цифра.
Теперь выполните ту же процедуру с разницей, приведя к одной цифре.
Поскольку вычитание 2 из нуля дает отрицательное число, позаимствуйте 9 из уменьшаемого.
Разница между уменьшаемым и вычитаемым превышениями должна равняться превышению разницы.

Умножение

Сначала вычеркните все 9 и цифры, которые в сумме дают 9 в каждом множителе (выделены курсивом).
Сложите оставшиеся цифры для каждого множимого, пока не будет достигнута одна цифра.
Умножьте два превышения, а затем складывайте, пока не будет достигнута одна цифра.
Проделайте то же самое с произведением , вычеркнув девятки и получив одну цифру.
* Превышение продукта должно равняться окончательному превышению факторов.

* 8 умножить на 8 будет 64; 6 и 4 равны 10; 1 и 0 равны 1.

Разделение

Вычеркните все 9 и цифры, составляющие 9 в делителе , частном и остатке .
Сложите все неперечеркнутые цифры каждого значения, пока для каждого значения не будет достигнута одна цифра.
Превышение дивиденда должно равняться окончательному превышению других значений.

Другими словами, вы выполняете ту же процедуру, что и при умножении, только в обратном порядке. 8x4 = 32, что равно 5, 5 + 3 = 8. И 8 = 8.

Как это работает

Этот метод работает, потому что исходные числа являются «десятичными» (основание 10), модуль выбирается таким, чтобы он отличался на 1, а исключение эквивалентно взятию цифровой суммы . Как правило, любые два «больших» целых числа, x и y , выраженные в любом меньшем модуле как x ' и y' (например, по модулю 7), всегда будут иметь ту же сумму, разницу или произведение, что и их оригиналы. Это свойство также сохраняется для «суммы цифр», где основание и модуль отличаются на 1.

Если расчет был правильным до заброса, заброс с обеих сторон сохранит правильность. Однако возможно, что два ранее неравных целых числа будут идентичны по модулю 9 (в среднем в девятой части времени).

Операция не работает с дробями, поскольку данное дробное число не имеет уникального представления.

Вариант объяснения

Хороший трюк для самых маленьких детей, чтобы научиться складывать девять, - это прибавить десять к цифре и отсчитать единицу. Поскольку мы добавляем 1 к разряду десятков и вычитаем единицу из цифры единицы, сумма цифр должна оставаться неизменной. Например, 9 + 2 = 11 с 1 + 1 = 2. При добавлении 9 к самому себе, мы ожидаем, что сумма цифр будет равна 9 следующим образом: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) и 9 + 9 + 9 = 27, (2 + 7 = 9). Давайте посмотрим на простое умножение: 5 × 7 = 35, (3 + 5 = 8). Теперь рассмотрим (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) или 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17, (1 + 7 = 8).

Любое неотрицательное целое число можно записать как 9 × n + a, где «a» - это одна цифра от 0 до 8, а «n» - некоторое неотрицательное целое число. Таким образом, используя правило распределения, (9 × n + a) × (9 × m + b) = 9 × 9 × n × m + 9 (am + bn) + ab. Поскольку первые два множителя умножаются на 9, их сумма будет равна 9 или 0, в результате чего мы получим «ab». В нашем примере «a» было 7, а «b» было 5. Мы ожидаем, что в любой базовой системе число перед этой базой будет вести себя так же, как девять.

Ограничение на выброс девяток

Хотя исключение девяток чрезвычайно полезно, оно не позволяет выявить все ошибки, допущенные при выполнении вычислений. Например, метод исключения девяток не распознал бы ошибку в вычислении 5 × 7, которое дало любой из ошибочных результатов 8, 17, 26 и т. Д. (То есть любой результат, конгруэнтный 8 по модулю 9). В частности, исключение девяток не обнаруживает ошибок транспонирования , таких как 1324 вместо 1234. Другими словами, метод обнаруживает только ошибочные результаты, цифровой корень которых является одной из 8 цифр, отличных от правильного результата.

История

Форма изгнания девяток, известная древнегреческим математикам, была описана римским епископом Ипполитом (170–235 гг.) В «Опровержении всех ересей» и более кратко сирийским философом-неоплатоником Ямвлихом (около 245–325 гг.) В его книге. комментарий к Введению в арифметику из Никомаха Герасских . Однако описания Ипполита и Ямвлиха ограничивались объяснением того, как повторяющиеся цифровые суммы греческих чисел использовались для вычисления уникального «корня» между 1 и 9. Ни один из них не проявил никакого понимания того, как можно использовать эту процедуру для проверки. результаты арифметических вычислений.

Самая ранняя из сохранившихся работ, описывающих, как выброс девяток может использоваться для проверки результатов арифметических вычислений, - это Махасиддханта , написанная около 950 года индийским математиком и астрономом Арьябхатой II (около 920–1000 гг.). Примерно в 1020 году персидский эрудит Ибн Сина ( Авиценна ) (ок. 980–1037) также подробно описал то, что он называл «индуистским методом» проверки арифметических вычислений путем отбрасывания девяток.

В синергетики , Фуллер утверждает, что использовал литейные-аут девятки «до Первой мировой войны» Фуллер объясняет, как отбрасывать девятки, и делает другие заявления о результирующих «индигах», но не отмечает, что выбрасывание девяток может привести к ложным срабатываниям.

Этот метод имеет поразительное сходство со стандартной обработкой сигналов и методами обнаружения вычислительных ошибок и исправления ошибок , обычно использующих аналогичную модульную арифметику для контрольных сумм и более простых контрольных цифр .

Обобщение

Этот метод можно обобщить для определения остатков от деления на некоторые простые числа.

Поскольку 3 · 3 = 9,

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девяток, чтобы получить остаток от деления на три.

Исключение девяноста девяток выполняется путем добавления групп из двух цифр вместо одной цифры.

Поскольку 11,9 = 99,

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девяноста девяток, чтобы получить остаток от деления на одиннадцать. Это называется изгнанием одиннадцати .

Вычисление девятисот девяноста девяток производится путем сложения групп из трех цифр.

Поскольку 37 · 27 = 999,

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девятисот девяноста девяти, чтобы получить остаток от деления на тридцать семь.

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки