Рассеяние носителей - Carrier scattering

Типы дефектов включают атомные вакансии, адатомы , ступеньки и изгибы, которые наиболее часто возникают на поверхностях из-за конечного размера материала, вызывающего разрыв кристалла. Общим для всех типов дефектов, будь то поверхностные или объемные дефекты, является то, что они образуют оборванные связи, которые имеют определенные уровни энергии электронов, отличные от таковых в объеме. Эта разница возникает из-за того, что эти состояния не могут быть описаны периодическими блоховскими волнами из-за изменения потенциальной энергии электронов, вызванного отсутствием ионных остовов сразу за поверхностью. Следовательно, это локализованные состояния, которые требуют отдельных решений уравнения Шредингера, чтобы можно было правильно описать энергии электронов. Нарушение периодичности приводит к снижению проводимости из-за рассеяния на дефектах .

Электронные уровни энергии оборванных связей полупроводников

Рисунок 1: Энергетическая диаграмма Харрисона энергий электронов на разных стадиях формирования кристалла Si. Вертикальная ось - энергия. 3s- и 3p-орбитали гибридизуются на одном атоме Si, что энергетически невыгодно, потому что 2 3s-электроны получают больше энергии, чем теряют 2 3p-электроны. Благоприятное образование димера формирует связывающие (b) и антисвязывающие (b *) состояния, в конечном итоге приводя к чистой потере энергии, а последующее добавление атомов создает кристаллообразующие зоны проводимости (CB) и валентные зоны (VB). Состояния оборванных связей (db) эквивалентны отсутствующей связи sp ³ .

Более простой и качественный способ определения уровней энергии оборванных связей - с помощью диаграмм Харрисона. Металлы имеют ненаправленное соединение и небольшую длину Дебая, что из-за их заряженной природы делает оборванные связи несущественными, даже если их можно считать существующими. Полупроводники - это диэлектрики, поэтому электроны могут чувствовать себя захваченными в дефектных энергетических состояниях. Уровни энергии этих состояний определяются атомами, составляющими твердое тело. На рис. 1 представлена диаграмма Хариссона для элементарного полупроводника Si. Слева направо гибридизация s-орбиталей и p-орбиталей способствует связыванию sp ^3, которое, когда несколько димеров sp ³ Si-Si объединяются в твердое тело, определяет зону проводимости и валентную зону. Если бы вакансия существовала, например, на каждом атоме на границе твердое тело / вакуум, это привело бы по крайней мере к одной разорванной связи sp ^3, которая имеет энергию, равную энергии одиночных самогибридизованных атомов Si, как показано на рисунке 1. Эта энергия соответствует примерно середине запрещенной зоны Si, на ~ 0,55 эВ выше валентной зоны. Безусловно, это наиболее идеальный случай, тогда как ситуация была бы иной, если бы происходили , например, пассивация связи (см. Ниже) и реконструкция поверхности . Экспериментально энергии этих состояний можно определить с помощью спектроскопии поглощения или рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии , например, если чувствительность прибора и / или плотность дефектов достаточно высоки.

Рисунок 2: Энергетическая диаграмма электронов Харрисона для полупроводникового соединения III-IV GaAs. Так же, как и для Si, кристалл построен с добавлением гибридизированных димеров GaAs. Поскольку вакансии вызывают оборванные связи Ga, образующие состояния вблизи CB. Вакансии Ga образуют оборванные связи As, энергия которых близка к VB. VB состоит в основном из «As-подобных» состояний, поскольку ионность помещает электроны на атомы As, и, как следствие, CB-состояния являются «Ga-подобными».

Сложные полупроводники, такие как GaAs, имеют оборванные состояния связи, которые находятся ближе к краям зоны (см. Рисунок 2). Поскольку связь становится все более ионной, эти состояния могут даже действовать как легирующие примеси . Это является причиной хорошо известной трудности легирования GaN p-типа, когда много N вакансий из-за высокого давления пара, что приводит к высокой плотности оборванных связей Ga. Эти состояния близки к краю зоны проводимости и поэтому действуют как доноры. Когда вводятся акцепторные примеси p-типа, они немедленно компенсируются N вакансиями. С этими мелкими состояниями их обработка часто рассматривается как аналог атома водорода следующим образом для случая анионных или катионных вакансий (эффективная масса дырки m * для катиона и электрон m * для анионных вакансий). Энергия связи E _c -E _db - это где U = -q ² / (4πεε _r r) - электростатический потенциал между электроном, занимающим оборванную связь, и его ионным остовом с ε, постоянной диэлектрической проницаемости свободного пространства, ε _r , относительная диэлектрическая проницаемость и r расстояние между электронно-ионным остовом. Упрощение, заключающееся в том, что энергия поступательного движения электрона KE = -U / 2, обусловлено теоремой вириала для центросимметричных потенциалов. Как описано в модели Бора , r подлежит квантованию . Импульс электрона равен p = mv = h / λ, что приводит к и . Эта обработка теряет точность, так как дефекты уходят от края ленты.
${\ Displaystyle E_ {c} -E_ {db} = U + KE = {\ frac {1} {2}} U \; \; (1)}$

${\ Displaystyle п \ лямбда = 2 \ пи г \; \; (2)}$

${\ displaystyle KE = {\ frac {p ^ {2}} {2m ^ {*}}} = {\ frac {h ^ {2} n ^ {2}} {8m ^ {*} \ pi ^ {2 } r ^ {2}}} = - {\ frac {U} {2}} = {\ frac {q ^ {2}} {8 \ pi \ varepsilon \ varepsilon _ {r} r}} \; \; (3)}$

${\ displaystyle r = {\ frac {4 \ pi \ hbar ^ {2} n ^ {2} \ varepsilon \ varepsilon _ {r}} {q ^ {2} m ^ {*}}} \; \; ( 4)}$

${\ displaystyle E_ {c} -E_ {db} = {\ frac {U} {2}} = {\ frac {m ^ {*} q ^ {4}} {8h ^ {2} (\ varepsilon \ varepsilon _ {г}) ^ {2}}} \; \; (5)}$

Рассеяние дефектов

Уровни энергии оборванных связей являются собственными значениями волновых функций, которые описывают электроны в окрестности дефектов. В типичном рассмотрении рассеяния носителей это соответствует конечному состоянию в золотом правиле Ферми частоты рассеяния: где H 'является параметром взаимодействия, а дельта-функция Дирака , δ (E _f -E _i ), указывает на упругое рассеяние . Простое соотношение 1 / τ = Σ _{k ', k} S _k'k делает это уравнение полезным для характеристики свойств переноса материала при использовании вместе с σ = ne ² τ / m * и правилом Маттиссена для включения других процессов рассеяния.
${\ displaystyle S_ {k'k} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | <f | H '| i> | ^ {2} \ delta (E_ {f} -E_ {i}) \; \; (6)}$

Значение S _k'k в первую очередь определяется параметром взаимодействия H '. Этот термин различается в зависимости от того, рассматриваются ли мелкие или глубокие состояния. Для неглубоких состояний H '- это член возмущения переопределенного гамильтониана H = H _o + H', где H _o имеет энергию собственного значения E _i . Матрица для этого случая - это где k '- волновой вектор конечного состояния, у которого есть только одно значение, поскольку плотность дефектов достаточно мала, чтобы не образовывать полосы (~ <10 ¹⁰ / см ² ). Используя уравнение Пуассона для периодических точечных зарядов Фурье , дает коэффициент Фурье потенциала от оборванной связи V _q = e / (q ² εε _r V), где V - объем. Это приводит к тому, что где q _s - коррекция волнового вектора длины Дебая из-за экранирования заряда. Тогда частота рассеяния равна где n - объемная плотность дефектов. Выполнение интегрирования с использованием | k | = | k '| дает . Вышеупомянутая обработка не работает, когда дефекты не являются периодическими, поскольку потенциалы оборванных связей представлены рядом Фурье. Упростить сумму в n раз в уравнении (10) было возможно только из-за низкой плотности дефектов. Если бы у каждого атома (или, возможно, у каждого другого) была бы одна оборванная связь, что вполне разумно для не реконструированной поверхности, интеграл по k 'также должен быть выполнен. Из-за использования теории возмущений при определении матрицы взаимодействия вышесказанное предполагает малые значения H 'или неглубокие дефектные состояния вблизи краев зоны. К счастью, само по себе золотое правило Ферми является довольно общим и может быть использовано для глубинных дефектов, если взаимодействие между электроном проводимости и дефектом изучено достаточно хорошо, чтобы смоделировать их взаимодействие в виде оператора, заменяющего H '.
${\ displaystyle <f | H '| i> \ Equiv M_ {k'k} = {\ frac {1} {V}} \ int d {\ bar {r}} H'e ^ {i {\ bar { r}} ({\ bar {k}} - {\ bar {k}} ')} = {\ frac {1} {V}} \ sum _ {\ bar {q}} \ int d {\ bar { r}} H _ {\ bar {q}} e ^ {i {\ bar {r}} ({\ bar {k}} - {\ bar {k}} '+ {\ bar {q}})} = {\ frac {1} {V}} \ sum _ {\ bar {q}} H _ {\ bar {q}} \ delta _ {{\ bar {k}} - {\ bar {k}} '}, _ {\ bar {q}} = {\ frac {1} {V}} H _ {\ bar {q}} \; \; (7)}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} V ({\ bar {r}}) = {\ frac {-e \ delta ({\ bar {r}})} {\ varepsilon \ varepsilon _ {r}}} = - \ sum _ {\ bar {q}} {\ bar {q}} ^ {2} V _ {\ bar {q}} e ^ {i {\ bar {q}} {\ bar {r}}} = {\ frac {-e} {V \ varepsilon \ varepsilon _ {r}}} \ \ sum _ {\ bar {q}} e ^ {i {\ bar {q}} {\ bar {r}}} \ ; \; (8)}$

${\ displaystyle H _ {\ bar {q}} = - eV _ {\ bar {q}} = {\ frac {-e ^ {2}} {{\ bar {q}} ^ {2} \ varepsilon \ varepsilon _ {r} V}} = {\ frac {-e ^ {2}} {({\ bar {q}} ^ {2} + q_ {s} ^ {2}) \ varepsilon \ varepsilon _ {r} V }} \; \; (9)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} = \ sum _ {{\ bar {k}} ', {\ bar {k}}} S _ {{\ bar {k}}' {\ bar { k}}} = n \ sum _ {\ bar {k}} {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} {\ frac {e ^ {4} \ delta (E _ {\ bar {k}} - E _ {{\ bar {k}} '})} {\ varepsilon \ varepsilon _ {r} V [{\ bar {q}} ^ {2} -q_ {s} ^ {2}] ^ {2}} } = {\ frac {ne ^ {4}} {4 \ pi ^ {2} \ hbar \ varepsilon \ varepsilon _ {r}}} \ int \ int \ int dkd \ theta d \ phi {\ frac {k ^ {2} sin \ theta \; \ delta (E _ {\ bar {k}} - E _ {{\ bar {k}} '})} {[{\ bar {q}} ^ {2} -q_ {s } ^ {2}] ^ {2}}} \; \; (10)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} = {\ frac {ne ^ {4}} {2 \ pi {\ sqrt {2m ^ {*} (E_ {c} -E_ {db})} } \ hbar ^ {2} \ varepsilon \ varepsilon _ {r}}} \ left ({\ frac {1} {q_ {s} ^ {2}}} - {\ frac {1} {q_ {s} ^ {2} + {\ frac {8m ^ {*} (E_ {c} -E_ {db})} {\ hbar ^ {2}}}}} \ right) \; \; (11)}$

Экспериментальные измерения

Рисунок 3: (Вверху) Простая развертка напряжения исток-сток с увеличением плотности дефектов может использоваться для определения скорости рассеяния носителей и энергии оборванных связей (красная кривая с большим количеством дефектов). (Внизу) Температурная зависимость удельного сопротивления. Вблизи абсолютного нуля выявляется вес дефектов по рассеянию носителей.

Определение степени, в которой эти оборванные связи влияют на электрический транспорт, довольно легко экспериментально наблюдать. Путем изменения напряжения на проводнике (рис. 3), сопротивления и определенной геометрии можно определить проводимость образца. Как упоминалось ранее, σ = ne ² τ / m *, где τ можно определить, зная n и m * из положения уровня Ферми и зонной структуры материала. К сожалению, это значение содержит эффекты от других механизмов рассеяния, например, за счет фононов. Это становится более полезным, когда измерение используется вместе с уравнением (11), где наклон графика зависимости 1 / τ от n позволяет вычислить E _c -E _{db, а} точка пересечения определяет 1 / τ от всех процессов рассеяния, кроме дефектов. Это требует предположения, что рассеяние фононов (среди других, возможно, незначительных процессов) не зависит от концентрации дефектов.
В аналогичном эксперименте можно просто понизить температуру проводника (рис. 3) так, чтобы плотность фононов уменьшилась до незначительной, допуская преобладание сопротивления дефекта. В этом случае σ = ne ² τ / m * можно использовать для прямого вычисления τ для рассеяния на дефектах.

Пассивация

Рисунок 4: Пассивация водородом полевого транзистора Si-металл-оксид-полупроводник (MOSFET) для восстановления состояний интерфейса Si / SiO ₂ . Водород связывается с Si, полностью удовлетворяя sp ^3- гибридизацию, обеспечивая заселенность дефектного состояния, предотвращая рассеяние носителей в эти состояния.

Поверхностные дефекты всегда можно «пассивировать» атомами, чтобы целенаправленно занимать соответствующие уровни энергии, чтобы электроны проводимости не могли рассеяться в эти состояния (эффективно уменьшая n в уравнении (10)). Например, пассивирование Si на границе канал / оксид полевого МОП-транзистора водородом (рис. 4) является типичной процедурой, помогающей снизить плотность дефектов ~ 10 ¹⁰ см ^-2 до 12 раз, тем самым улучшая подвижность и, следовательно, скорость переключения. Удаление промежуточных состояний, которые в противном случае уменьшили бы туннельные барьеры, также снижает ток утечки затвора и увеличивает емкость затвора, а также переходную характеристику. Эффект заключается в том, что соединение Si sp ³ полностью удовлетворяется. Очевидным требованием здесь является способность полупроводника окислять пассивирующий атом или, E _c -E _db + χ> E _I , с сродством полупроводника к электрону χ и энергией ионизации E _I атома .

Фононное рассеяние

Теперь рассмотрим рассеяние носителей заряда с деформациями решетки, называемыми фононами . Рассмотрим объемное смещение, которое производит такая распространяющаяся волна , что, следовательно, приводит к зависящей от времени деформации, когда для описания распространения фононов используется простая плоская волна . Смещение атомов далеко от их равновесных положений , как правило , приводит к изменению в электронной зонной структуры (рисунок 5) где для рассеяния, мы имеем дело с электронами в зоне проводимости с энергией Е ~ _СВ , . Эмпирический параметр Z _DP называется деформационным потенциалом и описывает силу электрон-фононной связи. Умножение на фононную населенность ( распределение Бозе – Эйнштейна , N _q ) дает полный потенциал деформации, ${\ displaystyle \ Delta V_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta V_ {0} / V_ {0} = \ bigtriangledown u (r, t)}$ ${\ Displaystyle и (г, т) \ пропто ехр \ пм (iqr-я \ омега т)}$
${\ displaystyle \ Delta E_ {CB} = {\ frac {\ mathrm {d} E_ {CB}} {\ mathrm {d} V_ {0}}} \ Delta V_ {0} = V_ {0} {\ frac {\ mathrm {d} E_ {CB}} {\ mathrm {d} V_ {0}}} {\ frac {\ Delta V_ {0}} {V_ {0}}} = Z_ {DP} \ cdot \ bigtriangledown и (г, t) \; \; (12)}$

${\ displaystyle \ Delta E_ {CB} ^ {Tot} = {\ widehat {H}} _ {int} = Z_ {DP} \ cdot \ bigtriangledown u (r, t) {\ sqrt {N_ {q} + { \ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}}}} = \ pm iqZ_ {DP} u (r, t) {\ sqrt {N_ {q} + {\ frac {1) } {2}} \ pm {\ frac {1} {2}}}} \; \; (13)}$

Рис. 5: Схема изменения краев энергетических зон ( зона проводимости, E _CB и валентная зона E _VB ), когда позиции атомов кристалла смещаются от равновесия, что приводит к объемной деформации.

(причина рута будет видна ниже). Здесь + соответствует излучению фононов, а - поглощению фононов во время рассеяния. Обратите внимание, потому что для поперечных фононов только взаимодействия с продольными фононами не равны нулю. Следовательно, полная матрица взаимодействия - это то место, где дельта Кронекера обеспечивает сохранение импульса и возникает из предположения, что электронные волновые функции (конечное состояние и начальное состояние ) также являются плоскими волнами. ${\ Displaystyle д \ перп и (г, т)}$
${\ displaystyle <k '| {\ widehat {H}} _ {int} | k> = \ pm iqZ_ {DP} u (r, t) {\ sqrt {N_ {q} + {\ frac {1} { 2}} \ pm {\ frac {1} {2}}}} \ delta _ {k ', k \ pm q} \; \; (14)}$
${\ displaystyle <k '|}$ ${\ displaystyle | k>}$

Акустические фононы

Используя золотое правило Ферми, можно приблизительно оценить скорость рассеяния акустических фононов низкой энергии. Матрица взаимодействия для этих фононов имеет радиальную частоту фононов ω _q = cq, объем V, плотность твердого тела ρ и групповую скорость фононов c. Вставляя это в уравнение. 6 дает . При предположении , что Н _д >> 1, ħω << кТ и г (Е ') ~ г (Е) (который обычно имеет место для 3D - кристаллов , поскольку энергия электронов проводимости , как правило , значительно больше , чем ħω и г (Е) отсутствуют какой - либо фургон Сингулярность Хоува ) дает скорость рассеяния: где g (E) - плотность электронных состояний, для которых для получения окончательного ответа использовалось 3-мерное решение с параболической дисперсией.
${\ displaystyle | <k '| {\ widehat {H}} _ {int} | k> | ^ {2} = Z_ {DP} ^ {2} {\ frac {\ hbar \ omega _ {q}} { 2V \ rho c ^ {2}}} (N_ {q} + {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}}) \ delta _ {k ', k \ pm q } \; \; (15)}$

${\ displaystyle S_ {k'k} ^ {Ac} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {\ frac {\ hbar \ omega _ {q}} {2V \ rho c ^ {2}}} (N_ {q} + {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}}) \ delta _ {k ', k \ pm q} \ delta [E (k ') - E (k) \ pm \ hbar \ omega _ {q}] \; \; (16)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} = \ sum _ {k '} S_ {k'k} ^ {Ac} = \ sum _ {k} S_ {k \ pm q, k} ^ { Ac}}$
${\ displaystyle = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {\ frac {\ hbar \ omega _ {q}} {2V \ rho c ^ {2}}} ( {\ frac {kT} {\ hbar \ omega _ {q}}}) \ sum _ {k} \ delta _ {k ', k \ pm q} \ delta [E (k') - E (k) \ pm \ hbar \ omega _ {q}]}$
${\ displaystyle = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {\ frac {kT} {2V \ rho c ^ {2}}} V \ times g (E)}$
${\ displaystyle = {\ frac {\ sqrt {2}} {\ pi}} {\ frac {Z_ {DP} ^ {2} m ^ {* {\ frac {3} {2}}} kT} {\ rho \ hbar ^ {4} c ^ {2}}} {\ sqrt {E-E_ {CB}}} \; \; (17)}$

Оптические фононы

Обычно фононы в оптических ветвях колебательно-дисперсионных соотношений имеют энергии порядка или больше kT, и поэтому приближения ħω << kT и N _q >> 1 не могут быть сделаны. Тем не менее, разумным путем, который по-прежнему позволяет избежать сложных фононных дисперсий, является использование модели Эйнштейна, согласно которой в твердых телах существует только одна фононная мода. Для оптических фононов этого приближения оказывается достаточно из-за очень небольшого изменения наклона ω (q), и, таким образом, мы можем утверждать, что ħω (q) ≅ ħω, постоянная. Следовательно, N _q также является константой (зависит только от T). Последнее приближение, g (E ') = g (E ± ω) ~ g (E), не может быть выполнено, поскольку ħω ~ E и для него нет обходного пути, но добавленная сложность к сумме для τ минимальна. . Сумма превращается в плотность состояний в E ', и распределение Бозе – Эйнштейна может быть вычтено из суммы, поскольку ħω (q) ≅ ħω.
${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} = \ sum _ {k '} S_ {k'k} ^ {Op} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {\ frac {\ hbar \ omega} {2V \ rho c ^ {2}}} (N_ {q} + {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2 }}) \ sum _ {k '} \ delta _ {k', k \ pm q} \ delta [E (k ') - E (k) \ pm \ hbar \ omega]}$
${\ displaystyle = Z_ {DP} ^ {2} {\ frac {\ hbar \ omega} {8 \ pi ^ {2} \ hbar \ rho c ^ {2}}} (N_ {q} + {\ frac { 1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}}) g (E \ pm \ hbar \ omega) \; \; (18)}$

Ноты

^ Харрисон, Уолтер А., Электронная структура и свойства твердых тел: физика химической связи. Сан-Франциско: Фриман, 1980.
^ Рокетт, Ангус, Материаловедение полупроводников. Нью-Йорк: Springer, 2007.
Перейти ↑ Hess, Karl, Advanced Theory of Semiconductor Devices. Нью-Йорк: Wiley Interscience, 2000.
^ Faughnan, B .; Ипри, AC IEEE Trans. Elec. Dev. 36 , 101, 1999.
^ Конвелл, Е.М., «Высокополевой перенос в полупроводниках», в физике твердого тела, под ред. Ф. Зейтц, Д. Тернбулл и Х. Эренрайх, Приложение 9. Нью-Йорк: Academic Press, 1967, с. 108.

[1] Харрисон, Уолтер А., Электронная структура и свойства твердых тел: физика химической связи. Сан-Франциско: Фриман, 1980.

[2] Рокетт, Ангус, Материаловедение полупроводников. Нью-Йорк: Springer, 2007.

[3] Перейти ↑ Hess, Karl, Advanced Theory of Semiconductor Devices. Нью-Йорк: Wiley Interscience, 2000.

[4] Faughnan, B .; Ипри, AC IEEE Trans. Elec. Dev. 36 , 101, 1999.

[5] Конвелл, Е.М., «Высокополевой перенос в полупроводниках», в физике твердого тела, под ред. Ф. Зейтц, Д. Тернбулл и Х. Эренрайх, Приложение 9. Нью-Йорк: Academic Press, 1967, с. 108.

Languages

In other projects