Теорема Брунна – Минковского - Brunn–Minkowski theorem

В математике , то Брун-Минковского теорема (или неравенства Бруна-Минковского ) является неравенство в отношении объемов (или в более общем смысле Лебега меры ) из компактных подмножеств в евклидовом пространстве . Исходная версия теоремы Брунна – Минковского ( Герман Брун, 1887; Герман Минковский, 1896), примененная к выпуклым множествам; сформулированное здесь обобщение на компактные невыпуклые множества принадлежит Лазару Люстернику (1935).

Заявление

Пусть n ≥ 1 и μ обозначает меру Лебега на R ⁿ . Пусть A и B два непустых компактных подмножества в R ⁿ . Тогда имеет место следующее неравенство :

{\ Displaystyle [\ му (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A)] ^ {1 / n} + [\ mu (B)] ^ {1 / n},}

где A + B обозначает сумму Минковского :

{\ Displaystyle A + B: = \ {\, a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid a \ in A, \ b \ in B \, \}.}

Теорема также верна в ситуации, когда предполагается только измеримость и непустость. ${\ textstyle A, B, A + B}$

Мультипликативная версия

Неравенство Брунна – Минковского влечет мультипликативную версию с использованием неравенства , которое справедливо для . В частности, . Неравенство Prékopa-Leindler является функциональным обобщением этой версии Бруна-Минковского. ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle х, у \ geq 0, \ лямбда \ в [0,1]}$ ${\ textstyle \ му (\ лямбда А + (1- \ лямбда) В) \ GEQ (\ лямбда \ му (А) ^ {1 / n} + (1- \ лямбда) \ му (В) ^ {1 / п }) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$

О гипотезе

Измеримость

Можно быть измеримым по Лебегу и не быть; пример счетчика можно найти в разделе «Измерение нулевых наборов с неизмеримой суммой». С другой стороны, если измеримы по Борелю, то является непрерывным образом множества Бореля , аналитичным и, следовательно, измеримым. См. Обсуждение в обзоре Гарднера, чтобы узнать больше об этом, а также способы избежать гипотезы измеримости. ${\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A + B}$ ${\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A + B}$ ${\ textstyle A \ times B}$

Отметим, что в случае, когда A и B компактны, также A + B , будучи образом компакта при непрерывном отображении сложения:, поэтому условия измеримости легко проверить. ${\ textstyle A \ times B}$ ${\ textstyle +: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

Непустота

Условие, что оба непусты, явно необходимо. Это условие не является частью мультипликативных версий BM, указанных ниже. ${\ textstyle A, B}$

Доказательства

Приведем два хорошо известных доказательства Брунна – Минковского.

Геометрическое доказательство с помощью кубоидов и теории меры

Мы приводим хорошо известный аргумент, который следует общему рецепту аргументов в теории меры; а именно, он устанавливает простой случай прямым анализом, использует индукцию для установления конечного расширения этого частного случая, а затем использует общий механизм для получения общего случая в качестве предела. Обсуждение истории этого доказательства можно найти в теореме 4.1 обзора Гарднера о Брунне – Минковском .

Мы доказываем версию теоремы Брунна – Минковского, которая требует только измеримости и непустоты. ${\ textstyle A, B, A + B}$

Случай, когда A и B являются блоками, выровненными по оси:

По трансляционной инвариантности объемов достаточно взять . Тогда . В этом частном случае это утверждает неравенство Брунна – Минковского . Разделив обе части , это следует из неравенства AM-GM : . ${\ textstyle A = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i}], B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, b_ {i}]}$ ${\ textstyle A + B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i} + b_ {i}]}$ ${\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n} \ geq \ prod a_ {i} ^ {1 / n} + \ prod b_ {i} ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle (\ prod {\ frac {a_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} + (\ prod {\ frac {b_ {i}} {a_ { i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} \ leq \ sum {\ frac {1} {n}} {\ frac {a_ {i} + b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}} = 1}$

Случай, когда A и B являются непересекающимися объединениями конечного числа таких ящиков:

Мы будем использовать индукцию по общему количеству ящиков, где предыдущий расчет устанавливает базовый случай двух ящиков. Во-первых, мы замечаем, что существует выровненная по оси гиперплоскость H , такая, что каждая сторона H содержит весь блок A. Чтобы увидеть это, достаточно свести к случаю, когда A состоит из двух блоков, а затем вычислить, что отрицание этого утверждения означает, что у этих двух ящиков есть общая точка.

Для тела X мы обозначим пересечения X с «правым» и «левым» полупространствами, определенными посредством H. Отметив еще раз, что утверждение Брунна – Минковского инвариантно относительно сдвига, мы затем переводим B так, чтобы ; такой перенос существует по теореме о промежуточном значении, потому что является непрерывной функцией, если v перпендикулярно H, имеет предельные значения 0 и as , поэтому принимает в некоторой точке. ${\ textstyle X ^ {-}, X ^ {+}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ ${\ textstyle т \ к \ му ((В + ТВ) ^ {+})}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu ((B + tv) ^ {+})} {\ mu ((B + tv) ^ {-})}}}$ ${\ textstyle \ infty}$ ${\ Displaystyle т \ к - \ infty, т \ к \ infty}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (A ^ {-})}}}$

Теперь у нас есть все необходимое для завершения шага индукции. Во- первых, заметим , что и непересекающиеся подмножества , и поэтому сейчас, оба имеют один меньше , чем ящик A , в то время как каждый имеет самое как много коробок , как В. Таким образом, мы можем применить предположение индукции: а . ${\ textstyle А ^ {+} + В ^ {+}}$ ${\ displaystyle A ^ {-} + B ^ {-}}$ ${\ textstyle A + B}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A ^ {+} + B ^ {+}) + \ mu (A ^ {-} + B ^ {-}).}$ ${\ textstyle A ^ {+}, A ^ {-}}$ ${\ textstyle B ^ {+}, B ^ {-}}$ ${\ textstyle \ mu (A ^ {+} + B ^ {+}) \ geq (\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / п}) ^ {п}}$ ${\ textstyle \ mu (A ^ {-} + B ^ {-}) \ geq (\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / п}) ^ {п}}$

Элементарная алгебра показывает, что если , то тоже , значит, мы можем вычислить: ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}} = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (B)}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu (A + B) \ geq \ mu (A ^ {+} + B ^ {+}) + \ mu (A ^ {-} + B ^ {-}) \ geq (\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}) ^ {n} + (\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}) ^ {n} \\ = \ mu (B ^ {+}) (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}}}) ^ {n} + \ mu (B ^ {-}) (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}) ^ {n} = (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) ^ {n} (\ mu (B ^ {+}) + \ mu (B ^ {-})) = (\ му (B) ^ {1 / n} + \ му (A) ^ {1 / n}) ^ {n} \ end {выровнено}}}

Случай, когда A и B - ограниченные открытые множества:

В этом случае оба тела могут быть произвольно хорошо аппроксимированы объединением непересекающихся прямоугольников, выровненных по осям, содержащихся в их внутренней части; это следует из общих фактов о мере Лебега открытых множеств. То есть у нас есть последовательность тел , которые представляют собой непересекающиеся соединения конечного числа прямоугольников, выровненных по осям, где , и аналогично . Тогда у нас это есть , так что . Правая часть сходится к as , устанавливая этот частный случай. ${\ textstyle A_ {k} \ substeq A}$ ${\ textstyle \ mu (A \ setminus A_ {k}) \ leq 1 / k}$ ${\ textstyle B_ {k} \ substeq B}$ ${\ textstyle A + B \ supseteq A_ {k} + B_ {k}}$ ${\ textstyle \ му (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle к \ к \ infty}$

Случай, когда A и B - компактные множества:

Для компактного тела X определим как -толщение X. Здесь каждый является открытым шаром радиуса , так что это ограниченное открытое множество. Отметим, что , если X компактно, то . Используя ассоциативность и коммутативность суммы Минковского, наряду с предыдущим случаем, мы можем вычислить это . Отправка на 0 устанавливает результат. ${\ textstyle X _ {\ epsilon} = X + B (0, \ epsilon)}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle B (0, \ epsilon)}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle X _ {\ epsilon}}$ ${\ textstyle \ bigcap _ {\ epsilon> 0} X _ {\ epsilon} = {\ text {cl}} (X)}$ ${\ textstyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ mu (X _ {\ epsilon}) = \ mu (X)}$ ${\ textstyle \ mu ((A + B) _ {2 \ epsilon}) ^ {1 / n} = \ mu (A _ {\ epsilon} + B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} + \ mu (B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ epsilon}$

Случай ограниченных измеримых множеств:

Напомним, что по теореме регулярности меры Лебега для любого ограниченного измеримого множества X и для любого существует компакт с . Таким образом, для всех k, используя случай Брунна – Минковского, показанный для компактов. Отправка устанавливает результат. ${\ textstyle k> \ geq}$ ${\ textstyle X_ {k} \ substeq X}$ ${\ textstyle \ mu (X \ setminus X_ {k}) <1 / k}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k} ) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle к \ к \ infty}$

Случай измеримых множеств:

Мы позволяем и снова утверждаем, используя предыдущий случай, что , следовательно, результат следует путем посылки k на бесконечность. ${\ textstyle A_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap A, B_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap B}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k} ) ^ {1 / n}) ^ {n}}$

Доказательство как следствие неравенства Прекопы – Лейндлера.

Мы приводим доказательство неравенства Брунна – Минковского как следствия неравенства Прекопа – Лейндлера , функциональной версии неравенства BM. Сначала мы докажем PL, а затем покажем, что PL влечет мультипликативную версию BM, а затем покажем, что мультипликативный BM влечет аддитивный BM. Рассуждения здесь проще, чем доказательство с помощью кубоидов, в частности, нам нужно только доказать неравенство BM в одномерном случае. Это происходит потому, что более общая формулировка PL-неравенства, чем BM-неравенство, допускает индукционный аргумент.

Мультипликативная форма неравенства БМ

Прежде всего отметим, что неравенство Брунна – Минковского влечет мультипликативную версию, используя неравенство , которое выполняется для . В частности, . Неравенство Прекопы – Лейндлера является функциональным обобщением этой версии Брунна – Минковского. ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {\ lambda}}$ ${\ textstyle х, у \ geq 0, \ лямбда \ в [0,1]}$ ${\ textstyle \ му (\ лямбда А + (1- \ лямбда) В) \ GEQ (\ лямбда \ му (А) ^ {1 / n} + (1- \ лямбда) \ му (В) ^ {1 / п }) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$

Неравенство Прекопы – Лейндлера

Теорема ( неравенство Прекопы – Лейндлера ) : Fix . Позвольте быть неотрицательными, измеримыми функциями, удовлетворяющими для всех . Тогда . ${\ textstyle \ lambda \ in (0,1)}$ ${\ textstyle f, g, h: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ textstyle час (\ лямбда х + (1- \ лямбда) у) \ GEQ е (х) ^ {\ лямбда} г (у) ^ {1- \ лямбда}}$ ${\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} h (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$

Доказательство (в основном после этой лекции ):

Нам понадобится одномерная версия BM, а именно, что если измеримы, то . Во-первых, предполагая, что они ограничены, мы сдвигаемся так, чтобы . Таким образом ,, откуда в силу почти несвязности мы имеем это . Затем переходим к неограниченному случаю, фильтруя интервалы ${\ textstyle A, B, A + B \ substeq \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle \ му (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A \ cap B = \ {0 \}}$ ${\ textstyle A + B \ supset A \ cup B}$ ${\ textstyle \ му (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle [-k, k].}$

Сначала покажем случай неравенства PL. Позвольте и отметить это . Таким образом, согласно одномерной версии Брунна – Минковского, мы это имеем . Напомним, что если неотрицательно, то из теоремы Фубини следует . Тогда у нас есть это , где на последнем шаге мы используем взвешенное неравенство AM – GM , которое утверждает это для . ${\ textstyle n = 1}$ ${\ textstyle L_ {h} (t) = \ {x: h (x) \ geq t \}}$ ${\ textstyle L_ {h} (t) \ supseteq \ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)}$ ${\ textstyle \ mu (L_ {h} (t)) \ geq \ mu (\ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)) \ geq \ lambda \ mu ( L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ mu (L_ {g} (t))}$ ${\ textstyle f (x)}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt \ geq \ lambda \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {g} (t)) = \ lambda \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx + (1- \ lambda) \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ лямбда \ в (0,1), х, у \ geq 0}$

Теперь докажем случай. Для , мы выбираем и устанавливаем . Для любого c мы определяем , то есть определяем новую функцию для n-1 переменных, устанавливая для последней переменной значение . Применяя гипотезу и ничего не делая, кроме формальных манипуляций с определениями, мы получили это . ${\ textstyle n> 1}$ ${\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n-1}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle \ лямбда \ в [0,1]}$ ${\ textstyle \ гамма = \ лямбда \ альфа + (1- \ лямбда) \ бета}$ ${\ textstyle h_ {c} (x) = h (x, c)}$ ${\ textstyle c}$ ${\ textstyle час _ {\ гамма} (\ лямбда х + (1- \ лямбда) у) = час (\ лямбда х + (1- \ лямбда) у, \ лямбда \ альфа + (1- \ лямбда) \ бета)) = h (\ lambda (x, \ alpha) + (1- \ lambda) (y, \ beta)) \ geq f (x, \ alpha) ^ {\ lambda} g (y, \ beta) ^ {1- \ лямбда} = f _ {\ alpha} (x) ^ {\ lambda} g _ {\ beta} (y) ^ {1- \ lambda}}$

Таким образом, в индуктивном случае, примененном к функциям , получаем . Определяем и аналогично. В этих обозначениях предыдущего вычисления можно переписать в виде: . Поскольку мы доказали это для любого фиксированного , это означает, что функция удовлетворяет гипотезе для одномерной версии теоремы PL. Таким образом, мы имеем это , что подразумевает утверждение теоремы Фубини. QED ${\ textstyle h _ {\ gamma}, f _ {\ alpha}, g _ {\ beta}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} f _ {\ альфа} (z) dz) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} g _ {\ beta} (z) dz) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle H (\ gamma): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz}$ ${\ textstyle F (\ альфа), G (\ бета)}$ ${\ textstyle Н (\ лямбда \ альфа + (1- \ лямбда) \ бета) \ GEQ F (\ альфа) ^ {\ лямбда} G (\ бета) ^ {1- \ лямбда}}$ ${\ textstyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle H, F, G}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} H (\ gamma) d \ gamma \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ alpha) d \ alpha) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ beta) d \ beta) ^ {1- \ lambda}}$

PL подразумевает мультипликативный BM

Мультипликативная версия Брунна – Минковского следует из неравенства PL, взяв . ${\ textstyle h = 1 _ {\ lambda A + (1- \ lambda) B}, f = 1_ {A}, g = 1_ {B}}$

Мультипликативный BM подразумевает аддитивный BM

Теперь объясним, как вывести BM-неравенство из PL-неравенства. Во- первых, с помощью функции индикаторов для неравенства Prékopa-Leindler быстро дает мультипликативный версию Бруна-Минковского: . Теперь покажем, как мультипликативное BM-неравенство влечет обычную аддитивную версию. ${\ textstyle A, B, \ lambda A + (1- \ lambda) B}$ ${\ textstyle \ му (\ лямбда A + (1- \ лямбда) B) \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$

Мы предполагаем, что оба A и B имеют положительный объем, иначе неравенство тривиально, и нормализуем их до объема 1, установив . Мы определяем ; обратите внимание на это . С этими определениями, и используя это , мы вычисляем, используя мультипликативное неравенство Брунна – Минковского, что: ${\ textstyle A '= {\ frac {A} {\ mu (A) ^ {1 / n}}}, B' = {\ frac {B} {\ mu (B) ^ {1 / n}}} }$ ${\ textstyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B ) ^ {1 / n}}}}$ ${\ textstyle 1- \ lambda '= {\ frac {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}}$ ${\ textstyle \ му (А ') = \ му (В') = 1}$

{\ Displaystyle \ му ({\ гидроразрыва {(1- \ лямбда) A + \ лямбда B} {(1- \ лямбда) \ му (A) ^ {1 / n} + \ лямбда \ му (B) ^ {1 / n}}}) = \ mu ((1- \ lambda ') A' + \ lambda 'B) \ geq \ mu (A') ^ {1- \ lambda '} \ mu (B') ^ {\ лямбда '} = 1.}

Аддитивная форма Брунна-Минковского теперь следует путем извлечения масштабирования из вычисления крайнего левого объема и перегруппировки.

Важные следствия

Неравенство Брунна – Минковского позволяет лучше понять геометрию выпуклых тел большой размерности. В этом разделе мы сделаем набросок некоторых из этих идей.

Вогнутость функции радиуса (теорема Брунна)

Рассмотрим выпуклое тело . Позвольте быть вертикальными срезами K. Определите как функцию радиуса; если срезы K являются дисками, то r (x) дает радиус диска K (x) с точностью до константы. Для более общих тел эта функция радиуса , по-видимому, не имеет полностью четкой геометрической интерпретации, кроме радиуса диска, полученного путем упаковки объема среза как можно ближе к началу координат; в случае, когда K (x) не является диском, пример гиперкуба показывает, что среднее расстояние до центра масс может быть намного больше, чем r (x). Отметим, что иногда в контексте выпуклой геометрии функция радиуса имеет другой смысл, здесь мы следуем терминологии данной лекции . ${\ textstyle К \ substeq \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ textstyle K (x) = K \ cap \ {x_ {1} = x \}}$ ${\ textstyle г (х) = \ му (К (х)) ^ {\ гидроразрыва {1} {п-1}}}$

В силу выпуклости K мы имеем это . Применение неравенства Брунна – Минковского дает при условии . Это показывает, что функция радиуса вогнута на своей опоре, что согласуется с интуицией, что выпуклое тело не погружается в себя ни в каком направлении. Этот результат иногда называют теоремой Брунна. ${\ textstyle К (\ лямбда х + (1- \ лямбда) у) \ supseteq \ лямбда К (х) + (1- \ лямбда) К (у)}$ ${\ textstyle г (К (\ лямбда х + (1- \ лямбда) у)) \ GEQ \ лямбда г (К (х)) + (1- \ лямбда) г (К (у))}$ ${\ textstyle К (х) \ not = \ emptyset, K (y) \ not = \ emptyset}$

Симметризация Брунна – Минковского выпуклого тела.

Снова рассмотрим выпуклое тело . Зафиксируем некоторую линию и для каждого LET обозначают аффинная гиперплоскость ортогональна , который проходит через . Определить, ; как обсуждалось в предыдущем разделе, эта функция является вогнутой. Теперь давай . То есть получается путем замены каждого среза диском такого же объема с центром внутри . Вогнутость функции радиуса, определенная в предыдущем разделе, означает, что она выпуклая. Эта конструкция называется симметризацией Брунна – Минковского. ${\ textstyle K}$ ${\ textstyle l}$ ${\ textstyle t \ in l}$ ${\ textstyle H_ {t}}$ ${\ textstyle l}$ ${\ textstyle t}$ ${\ textstyle r (t) = Vol (K \ cap H_ {t})}$ ${\ textstyle K '= \ bigcup _ {t \ in l, K \ cap H_ {t} \ not = \ emptyset} B (t, r (t)) \ cap H_ {t}}$ ${\ textstyle K '}$ ${\ textstyle K}$ ${\ textstyle H_ {t} \ cap K}$ ${\ textstyle (п-1)}$ ${\ textstyle l}$ ${\ textstyle H_ {t}}$ ${\ textstyle K '}$

Теорема Грюнбаума

Теорема ( теорема Грюнбаума): Рассмотрим выпуклое тело . Позвольте быть любое полупространство, содержащее центр масс ; то есть ожидаемое местоположение однородной точки, взятой из Then . ${\ textstyle К \ substeq \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ textstyle H}$ ${\ textstyle K}$ ${\ textstyle K.}$ ${\ textstyle \ mu (H \ cap K) \ geq ({\ frac {n} {n + 1}}) ^ {n} \ mu (K) \ geq {\ frac {1} {e}} \ mu (K)}$

Теорема Грюнбаума может быть доказана с помощью неравенства Брунна – Минковского, в частности выпуклости симметризации Брунна – Минковского. См. Эти конспекты лекций для проверки схемы.

Неравенство Грюнбаума имеет следующую справедливую интерпретацию для разрезания торта. Предположим, два игрока играют в игру по разрезанию выпуклого торта. Игрок 1 выбирает точку в торте, а второй игрок выбирает гиперплоскость, чтобы разрезать торт. Затем игрок 1 получает кусок торта, содержащий его очко. Теорема Грюнбаума подразумевает, что если игрок 1 выбирает центр масс, то худшее, что может сделать противный игрок 2, - это дать ему кусок пирога с объемом, по крайней мере, частью общей. В размерах 2 и 3, наиболее распространенных размерах для тортов, оценки, данные теоремой, являются приблизительно соответственно. Обратите внимание, однако, что в измерениях вычислить центроид сложно, что ограничивает полезность этой стратегии разрезания торта для многомерных, но вычислительно ограниченных существ. ${\ textstyle n}$ ${\ textstyle 1 / e}$ ${\ textstyle .444, .42}$ ${\ textstyle n}$ ${\ textstyle \ #P}$

Приложения теоремы Грюнбаума также появляются в выпуклой оптимизации, в частности, при анализе сходимости метода центра тяжести. См. Теорему 2.1 в этих заметках.

Изопериметрическое неравенство

Обозначим через единичный шар. Для выпуклого тела, K , пусть определить его площадь поверхности. Это согласуется с обычным пониманием площади поверхности по формуле Минковского-Штейнера . Рассмотрим функцию . Изопериметрическое неравенство утверждает, что это максимизируется на евклидовых шарах. ${\ textstyle B = B (0,1) = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: || x || _ {2} \ leq 1 \}}$ ${\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}}}$ ${\ textstyle c (X) = {\ гидроразрыва {\ mu (K) ^ {1 / n}} {S (K) ^ {1 / (n-1)}}}}$

Доказательство изопериметрического неравенства через Брунна – Минковского.

Во-первых, заметим, что из Брунна – Минковского следует, где в последнем неравенстве мы использовали это для . Мы используем этот расчет для оценки снизу площади поверхности переходного отверстия Next, мы используем тот факт , который следует из формулы Минковского-Штейнера , для вычисления. Перекомпоновка этого дает изопериметрическое неравенство: ${\ textstyle \ му (К + \ эпсилон B) \ geq (\ му (K) ^ {1 / n} + \ эпсилон V (B) ^ {1 / n}) ^ {n} = V (K) (1 + \ epsilon ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (K) (1 + n \ epsilon ({\ гидроразрыв {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}),}$ ${\ textstyle (1 + х) ^ {п} \ geq 1 + nx}$ ${\ textstyle х \ geq 0}$ ${\ textstyle K}$ ${\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}} \ geq n \ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}.}$ ${\ textstyle S (B) = п \ му (B)}$ ${\ textstyle {\ гидроразрыва {S (K)} {S (B)}} = {\ гидроразрыва {S (K)} {n \ mu (B)}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ( {\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}} {\ mu (B)}} = \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} { n}} \ mu (B) ^ {\ frac {1-n} {n}}.}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (B) ^ {1 / n}} {S (B) ^ {1 / (n-1)}}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ^ {1 / n}} {S (K) ^ {1 / (n-1)}}}.}$

Приложения к неравенствам между смешанными объемами

Неравенство Брунна – Минковского можно использовать для вывода следующего неравенства , в котором термин представляет собой смешанный объем . Равенство выполняется тогда и только тогда , когда K, L гомотетичны. (См. Теорему 3.4.3 в курсе Хага и Вейля по выпуклой геометрии.) ${\ textstyle V (K, \ ldots, K, L) ^ {n} \ geq V (K) ^ {n-1} V (L)}$ ${\ textstyle V (K, \ ldots, K, L)}$

Доказательство

Напомним следующие факты о смешанных объемах :, так что, в частности, если , то . ${\ textstyle \ mu (\ lambda _ {1} K_ {1} + \ lambda _ {2} K_ {2}) = \ sum _ {j_ {1}, \ ldots, j_ {n} = 1} ^ { r} V (K_ {j_ {1}}, \ ldots, V (K_ {j_ {n}}) \ lambda _ {j_ {1}} \ ldots \ lambda _ {j_ {n}}}$ ${\ textstyle g (t) = \ mu (K + tL) = \ mu (V) + nV (K, \ ldots, K, L) t + \ ldots}$ ${\ textstyle g '(0) = nV (K, \ ldots, K, L)}$

Пусть . Теорема Брунна означает, что это вогнутое для . Таким образом ,, где обозначает правую производную. У нас тоже есть это . Отсюда получаем , где мы применили BM в последнем неравенстве. ${\ textstyle f (t): = \ mu (K + tL) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle т \ в [0,1]}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0) \ geq f (1) -f (0) = \ mu (K + L) ^ {1 / n} -V (K) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0)}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0) = {\ frac {1} {n}} \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} nV (K, \ ldots, K, L )}$ ${\ textstyle \ му (К) ^ {\ гидроразрыва {n-1} {n}} V (K, \ ldots, K, L) \ geq \ mu (K + L) ^ {1 / n} -V ( K) ^ {1 / n} \ geq V (L) ^ {1 / n}}$

Концентрация меры на сфере и других строго выпуклых поверхностях

Мы доказываем следующую теорему о концентрации меры, следуя заметкам Барвинока и Лап Чи Лау . См. Также Концентрация меры # Концентрация на сфере .

Теорема : Позвольте быть единичной сфере в . Пусть . Определите , где d обозначает евклидово расстояние в . Позвольте обозначить площадь поверхности на сфере. Потом, по любому, что у нас есть . ${\ textstyle S}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle X \ substeq S}$ ${\ textstyle X _ {\ epsilon} = \ {z \ in S: d (z, X) \ leq \ epsilon \}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle \ nu}$ ${\ textstyle \ epsilon \ in (0,1]}$ ${\ textstyle {\ frac {\ nu (X _ {\ epsilon})} {\ nu (S)}} \ geq 1 - {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} e ^ { - {\ frac {n \ epsilon ^ {2}} {4}}}}$

Доказательство

Доказательство: пусть и пусть . Затем для одного можно показать, используя и для этого . В частности, . ${\ textstyle \ delta = \ epsilon ^ {2} / 8}$ ${\ textstyle Y = S \ setminus X _ {\ epsilon}}$ ${\ textstyle x \ in X, y \ in Y}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} || x + y || ^ {2} = || x || ^ {2} + || y || ^ {2} - {\ frac {1 } {2}} || ху || ^ {2}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {1-x}} \ leq 1-x / 2}$ ${\ textstyle x \ leq 1}$ ${\ textstyle || {\ frac {x + y} {2}} || \ leq 1- \ delta}$ ${\ textstyle {\ frac {x + y} {2}} \ in (1- \ delta) B (0,1)}$

Мы позволяем и стремимся показать это . Пусть . Приведенное ниже рассуждение будет симметричным по , поэтому мы предполагаем без ограничения общности, что и устанавливаем . Потом, ${\ textstyle {\ overline {X}} = {\ text {Conv}} (X, \ {0 \}), {\ overline {Y}} = {\ text {Conv}} (Y, \ {0 \ })}$ ${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ ${\ textstyle x \ in X, y \ in Y, \ alpha, \ beta \ in [0,1], {\ bar {x}} = \ alpha x, {\ bar {y}} = \ alpha y}$ ${\ textstyle {\ bar {x}}, {\ bar {y}}}$ ${\ textstyle \ alpha \ geq \ beta}$ ${\ textstyle \ гамма = \ бета / \ альфа \ leq 1}$

{\ displaystyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} = {\ frac {\ alpha x + \ beta y} {2}} = \ alpha {\ frac { x + \ gamma y} {2}} = \ alpha (\ gamma {\ frac {x + y} {2}} + (1- \ gamma) {\ frac {x} {2}}) = \ alpha \ gamma {\ frac {x + y} {2}} + \ alpha (1- \ gamma) {\ frac {x} {2}}}

.

Это означает, что . (Используя , что для любого тела К и выпуклой , .) ${\ textstyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} \ in \ alpha \ gamma (1- \ delta) B + \ alpha (1- \ gamma) (1 - \ delta) B = \ alpha (1- \ delta) B \ substeq (1- \ delta) B}$ ${\ textstyle \ gamma \ в [0,1]}$ ${\ textstyle \ гамма К + (1- \ гамма) К = К}$

Итак, мы знаем то , значит . Мы применяем мультипликативную форму неравенства Брунна – Минковского для оценки снизу первого члена с помощью , давая нам . ${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ ${\ textstyle \ mu ({\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}}) \ leq (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B (0, 1))}$ ${\ textstyle {\ sqrt {\ mu ({\ bar {X}}) \ mu ({\ bar {Y}})}}}$ ${\ textstyle (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B) \ geq \ mu ({\ bar {X}}) ^ {1/2} \ mu ({\ bar {Y}}) ^ { 1/2}}$

${\ displaystyle 1 - {\ frac {\ nu (X _ {\ epsilon})} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ nu (Y)} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ mu ({\ bar {Y}})} {\ mu (B)}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ mu (B)} {\ mu ({\ bar {X}})}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} \ leq e ^ {- 2n \ delta} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} = e ^ {- n \ epsilon ^ {2} / 4} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}}}$ . QED

Версия этого результата верна и для так называемых строго выпуклых поверхностей, где результат зависит от модуля выпуклости . Однако понятие площади поверхности требует модификации, см .: упомянутые выше заметки о концентрации меры от Барвинок.

Замечания

Доказательство теоремы Брунна – Минковского устанавливает, что функция

{\ Displaystyle A \ mapsto [\ mu (A)] ^ {1 / n}}

является вогнутым в том смысле, что для любой пары непустых компактных подмножеств A и B в R ⁿ и любого 0 ≤ t ≤ 1,

{\ displaystyle \ left [\ му (tA + (1-t) B) \ right] ^ {1 / n} \ geq t [\ mu (A)] ^ {1 / n} + (1-t) [\ му (B)] ^ {1 / n}.}

Для выпуклых множеств A и B положительной меры неравенство в теореме строгое при 0 < t <1, если A и B не являются положительно гомотетичными , т.е. равны с точностью до сдвига и растяжения на положительный множитель.

Примеры

Округлые кубики

Поучительно рассмотреть случай , когда квадрат в плоскости, а шар радиуса . В данном случае это скругленный квадрат, и его объем можно учесть как четыре закругленных четверти круга радиуса , четыре прямоугольника размеров по сторонам и исходный квадрат. Таким образом, . ${\ textstyle A}$ ${\ textstyle l \ times l}$ ${\ textstyle B}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle A + B}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle l \ times \ epsilon}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) = l ^ {2} +4 \ epsilon l + {\ frac {4} {4}} \ pi \ epsilon ^ {2} = \ mu (A) +4 \ epsilon l + \ mu (B) \ geq \ mu (A) +2 {\ sqrt {\ pi}} \ epsilon l + \ mu (B) = \ mu (A) +2 {\ sqrt {\ mu (A) \ mu ( B)}} + \ mu (B) = (\ mu (A) ^ {1/2} + \ mu (B) ^ {1/2}) ^ {2}}$

Этот пример также намекает на теорию смешанных объемов , поскольку члены, которые появляются в расширении объема, соответствуют различным размерным частям A. В частности, если мы перепишем Брунна – Минковского как , мы увидим, что можем думать перекрестных членов биномиального разложения последнего как учитывающего, некоторым образом, представление смешанного объема . То же самое явление можно наблюдать и для суммы n- мерного ящика и шара радиуса , где перекрестные члены с точностью до констант учитывают смешанные объемы. Это сделано точно для первого смешанного объема в разделе выше о приложениях к смешанным объемам . ${\ textstyle A + B}$ ${\ textstyle \ му (A + B) \ geq (\ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) = V (A, \ ldots, A) + nV (B, A, \ ldots, A) + \ ldots + {n \ select j} V (B, \ ldots, B , A, \ ldots, A) + \ ldots nV (B, \ ldots, B, A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle l \ times l}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle (\ му (А) ^ {1 / п} + \ му (В) ^ {1 / п}) ^ {п}}$

Примеры, когда нижняя граница ненадежна

Левая часть неравенства BM, как правило, может быть намного больше правой. Например, мы можем принять X за ось x, а Y за ось y внутри плоскости; тогда каждый имеет нулевую меру, но сумма бесконечна. Другой пример - множество Кантора. Если обозначает среднюю треть канторовского множества, то это упражнение в анализе, чтобы показать это . ${\ textstyle C}$ ${\ textstyle C + C = [0,2]}$

Связь с другими разделами математики

Неравенство Брунна – Минковского по-прежнему актуально для современной геометрии и алгебры. Например, есть связи с алгебраической геометрией и комбинаторные версии о подсчете наборов точек внутри целочисленной решетки.

Languages

In other projects