Теорема Борсука – Улама - Borsuk–Ulam theorem

В математике , то Борсук-Улама теорема утверждает , что всякая непрерывная функция от п -сферы в евклидовой п -пространством отображает некоторую пару диаметрально противоположных точек на одной и той же точке. Здесь две точки на сфере называются антиподами, если они находятся в совершенно противоположных направлениях от центра сферы.

Формально: если непрерывно , то существует такое , что . ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

Дело можно проиллюстрировать тем, что всегда существует пару противоположных точек на земной экваторе «s с той же температурой. То же верно и для любого круга. Это предполагает, что температура в космосе постоянно меняется. ${\displaystyle n=1}$

Этот случай часто иллюстрируют, говоря, что в любой момент всегда есть пара противоположных точек на поверхности Земли с равными температурами и равными барометрическими давлениями, предполагая, что оба параметра непрерывно изменяются в космосе. ${\displaystyle n=2}$

Теорема Борсука – Улама имеет несколько эквивалентных утверждений в терминах нечетных функций . Напомним , что это п -сферы и является п -шар : ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B^{n}}$

• Если есть непрерывная нечетная функция, то существует таким образом, что: .${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle g(x)=0}$
• Если есть непрерывная функция , которая является нечетной на (границе ), то существует таким образом, что: .${\displaystyle g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle x\in B^{n}}$${\displaystyle g(x)=0}$

История

Согласно Иржи Матушеку (2003 , с. 25) , первое историческое упоминание утверждения теоремы Борсука – Улама появляется в Люстерник и Шнирельман (1930) . Первое доказательство было дано Каролем Борсуком  ( 1933 ), где постановка проблемы была приписана Станиславу Уламу . С тех пор разными авторами было найдено множество альтернативных доказательств, собранных Стейнлейном (1985) . harvtxt error: no target: CITEREFJiří_Matoušek2003 (help)

Эквивалентные заявления

Следующие утверждения эквивалентны теореме Борсука – Улама.

С нечетными функциями

Функция называется нечетной ( так называемым антиподальной или антиподом сохраняющий ) , если для каждого : . ${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(-x)=-g(x)}$

Теорема Борсука – Улама эквивалентна следующему утверждению: непрерывная нечетная функция из n -сферы в n- евклидово пространство имеет нуль. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

• Если теорема верна, то она верна для нечетных функций, а для нечетной функции, если и только тогда . Следовательно, любая нечетная непрерывная функция имеет нуль.${\displaystyle g(-x)=g(x)}$${\displaystyle g(x)=0}$
• Для каждой непрерывной функции , следующая функция непрерывна и нечетная: . Если каждая нечетная непрерывная функция имеет нуль, то имеет нуль, и , следовательно, . Следовательно, теорема верна.${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

С отзывами

Определите ретракцию как функцию Теорема Борсука – Улама эквивалентна следующему утверждению: не существует непрерывной нечетной ретракции. ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}.}$

Доказательство: если теорема верна, то каждая непрерывная нечетная функция из должна включать 0 в свой диапазон. Однако не может быть непрерывной нечетной функции, диапазон которой равен . ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle 0\notin S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

И наоборот, если он неверен, то существует непрерывная нечетная функция без нулей. Затем мы можем построить еще одну нечетную функцию : ${\displaystyle g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}}$${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}}$

поскольку не имеет нулей, корректно определен и непрерывен. Таким образом, у нас есть непрерывная ретракция нечетных чисел. ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

Доказательства

1-мерный корпус

Одномерный случай легко доказать с помощью теоремы о промежуточном значении (IVT).

Пусть - нечетная вещественнозначная непрерывная функция на окружности. Выбирайте произвольно . Если тогда мы закончили. В противном случае, без потери общности, Но, следовательно, согласно IVT, есть точка между и в которой . ${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)=0}$${\displaystyle g(x)>0.}$${\displaystyle g(-x)<0.}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle g(y)=0}$

Общий случай

Алгебраическое топологическое доказательство

Предположим, что это нечетная непрерывная функция с (случай рассмотрен выше, случай может быть обработан, используя основную теорию покрытий ). Переходя к орбитам под действием антипода, мы получаем индуцированную непрерывную функцию между действительными проективными пространствами , которая индуцирует изоморфизм на фундаментальных группах . По теореме Гуревича индуцированный гомоморфизм колец на когомологиях с коэффициентами [где обозначает поле с двумя элементами ], ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},}$

отправляет в . Но тогда мы получаем, что отправлено , противоречие. ${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b^{n}=0}$${\displaystyle a^{n}\neq 0}$

Можно также показать более сильное утверждение, что любое нечетное отображение имеет нечетную степень, а затем вывести теорему из этого результата. ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$

Комбинаторное доказательство

Теорема Борсука – Улама доказывается с помощью леммы Такера .

Позвольте быть непрерывной нечетной функцией. Поскольку g непрерывна на компактной области, она равномерно непрерывна . Следовательно, для каждого существует такое, что для каждых двух точек, которые находятся внутри друг друга, их изображения под g находятся внутри друг друга. ${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \epsilon }$

Определите триангуляцию с ребрами максимальной длины . Обозначьте каждую вершину триангуляции меткой следующим образом: ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle v}$${\displaystyle l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}}$

• Абсолютное значение метки является индексом координаты с наибольшим абсолютным значением г : .${\displaystyle |l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)}$
• Знак этикетки является признаком г , так что: .${\displaystyle l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|}$

Поскольку г нечетно, маркировка также нечетно: . Следовательно, по лемме Такера есть две соседние вершины с противоположными метками. Предположим, что в журнале есть метки . По определению l это означает, что в обоих и координата # 1 является самой большой координатой: в этой координате положительна, а в ней отрицательна. По построению триангуляции расстояние между и не больше , в частности (так как и имеют противоположные знаки) и так . Но поскольку самая большая координата - координата №1, это означает, что для каждого . Итак , где - некоторая константа, зависящая от выбранной вами нормы . ${\displaystyle l(-v)=-l(v)}$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle l(u)=1,l(v)=-1}$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle g(v)}$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle g(v)}$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle g(v)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle |g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon }$${\displaystyle g(u)_{1}}$${\displaystyle g(v)_{1}}$${\displaystyle |g(u)_{1}|\leq \epsilon }$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle |g(u)_{k}|\leq \epsilon }$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle |g(u)|\leq c_{n}\epsilon }$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |\cdot |}$

Вышесказанное верно для всех ; так как компактно, значит, должна существовать точка u, в которой . ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle |g(u)|=0}$

Следствия

• Нет подмножество не гомеоморфно в${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$
• Теорема о бутерброде : Для любых компактных множеств ₁ , ..., А _п в всегда можно найти гиперплоскость , разделяющую каждую из них на два подмножества равной меры.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Эквивалентные результаты

Выше мы показали, как доказать теорему Борсука – Улама из леммы Такера. Верно и обратное: лемму Такера можно доказать с помощью теоремы Борсука – Улама. Следовательно, эти две теоремы эквивалентны. Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: вариант алгебраической топологии , комбинаторный вариант и вариант покрытия множества. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант также можно свести к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат в верхней строке можно вывести из результата, находящегося под ним в том же столбце.

Алгебраическая топология	Комбинаторика	Установить покрытие
Теорема Брауэра о неподвижной точке	Лемма Спернера	Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича.
Теорема Борсука – Улама.	Лемма Такера	Теорема Люстерника – Шнирельмана.

Обобщения

• В исходной теореме областью определения функции f является единичная n- сфера (граница единичного n -шара). В общем, это верно также, когда область определения f является границей любого открытого ограниченного симметричного подмножества, содержащего начало координат (здесь симметричный означает, что если x находится в подмножестве, то - x также находится в подмножестве).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Рассмотрим функцию A, которая отображает точку в ее противоположную точку: обратите внимание, что исходная теорема утверждает, что существует точка x, в которой в общем случае это верно также для любой функции A, для которой, однако, в целом это неверно для других функции .${\displaystyle A(x)=-x.}$${\displaystyle A(A(x))=x.}$${\displaystyle f(A(x))=f(x).}$${\displaystyle A(A(x))=x.}$

Смотрите также

• Топологическая комбинаторика
• Проблема раскалывания ожерелья
• Теорема Какутани (геометрия)
• Имре Барань

Примечания

использованная литература

• Борсук, Кароль (1933). "Drei Sätze über die n -dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на немецком языке). 20 : 177–190. DOI : 10,4064 / фм-20-1-177-190 .
• Люстерник, Лазарь ; Шнирельман, Лев (1930). «Топологические методы в вариационных задачах». Issledowatelskii Институт математики I Mechaniki Pri OMG U . Москва.
• Матушек, Иржи (2003). Использование теоремы Борсука – Улама . Берлин: Springer Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-540-76649-0 . ISBN 978-3-540-00362-5.
• Стейнлейн, Х. (1985). "Антиподальная теорема Борсука, ее обобщения и приложения: обзор. Топологические методы и нелинейный анализ". Sém. Математика. Супер. Монреаль, Сем. Sci. ОТАН (Институт адв. Исследований НАТО) . 95 : 166–235.
• Су, Фрэнсис Эдвард (ноябрь 1997 г.). "Борсук-Улам подразумевает Брауэр: прямая конструкция" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 104 (9): 855–859. CiteSeerX  10.1.1.142.4935 . DOI : 10.2307 / 2975293 . JSTOR  2975293 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 октября 2008 года . Проверено 21 апреля 2006 .

внешние ссылки

• Кого (еще) волнует топология? Украденные ожерелья и Борсук-Улам на YouTube