Функциональное исчисление Бореля - Borel functional calculus

В функциональном анализе , ветвь математики , то функциональное исчисление Борель является функциональным исчислением (то есть, присвоение операторов из коммутативных алгебр с функциями , определенных на их спектрах ), который имеет особенно широкую сферу. Так, например, если T - оператор, применение функции возведения в квадрат s → s ² к T дает оператор T ² . Используя функциональное исчисление для более крупных классов функций, мы можем, например, строго определить «квадратный корень» из (отрицательного) лапласовского оператора $-∆$ или экспоненциального ${\ displaystyle e ^ {it \ Delta}.}$

«Область действия» здесь означает вид разрешенной функции оператора . Функциональное исчисление Бореля является более общим, чем непрерывное функциональное исчисление , и его направленность отличается от голоморфного функционального исчисления .

Точнее, функциональное исчисление Бореля позволяет нам применять произвольную функцию Бореля к самосопряженному оператору таким образом, чтобы обобщить применение полиномиальной функции .

Мотивация

Если Т является самосопряженный оператор на конечномерном скалярное произведение пространства Н , то Н имеет ортогональный базис ${е 1, ..., е л}$ , состоящий из собственных векторов из Т , то есть

{\ displaystyle Te_ {k} = \ lambda _ {k} e_ {k}, \ qquad 1 \ leq k \ leq \ ell.}

Таким образом, для любого натурального п ,

{\ displaystyle T ^ {n} e_ {k} = \ lambda _ {k} ^ {n} e_ {k}.}

Если рассматривать только многочлены от T , то получается голоморфное функциональное исчисление . Можно ли получить более общие функции от T ? Да, это так. Для функции Бореля h можно определить оператор h ( T ), указав его поведение на основе:

{\ displaystyle h (T) e_ {k} = h (\ lambda _ {k}) e_ {k}.}

Как правило, любой самосопряженный оператор Т является унитарно эквивалентен оператору умножения; это означает, что для многих целей T можно рассматривать как оператор

{\ Displaystyle [Т \ фунт / кв. дюйм] (х) = е (х) \ фунт / кв. дюйм (х)}

действующий на L ² некоторого пространства с мерой . Область Т состоит из тех функций, приведенное выше выражение в L ² . В таком случае аналогично можно определить

{\ Displaystyle [час (T) \ psi] (x) = [h \ circ f] (x) \ psi (x).}

Для многих технических целей предыдущая формулировка достаточно хороша. Однако желательно сформулировать функциональное исчисление таким образом, чтобы не зависеть от конкретного представления T как оператора умножения. Это то, что мы делаем в следующем разделе.

Ограниченное функциональное исчисление

Формально ограниченное борелевское функциональное исчисление самосопряженного оператора T в гильбертовом пространстве H - это отображение, определенное на пространстве ограниченных комплекснозначных борелевских функций f на вещественной прямой,

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ pi _ {T}: L ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C}) \ to {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H }}) \\ f \ mapsto f (T) \ end {case}}}

такие, что выполняются следующие условия

$π Т$ представляет собой инволюцию -preserving и единицу сохраняющего гомоморфизм из кольца комплексных значений ограниченных измеримых функций на R .
Если ξ - элемент H , то

{\ displaystyle \ nu _ {\ xi}: E \ mapsto \ langle \ pi _ {T} (\ mathbf {1} _ {E}) \ xi, \ xi \ rangle}

является счетно - аддитивной мерой на борелевские множества из R . В приведенной выше формуле 1 _Е обозначает функцию индикатора из Е . Эти меры v , _ξ называются спектральные меры по Т .

Если $η$ обозначает отображение z → z на C , то:

{\ displaystyle \ pi _ {T} \ left ([\ eta + i] ^ {- 1} \ right) = [T + i] ^ {- 1}.}

Теорема . Любой самосопряженный оператор T имеет единственное функциональное исчисление Бореля.

Это определяет функциональное исчисление для ограниченных функций, применяемых к возможно неограниченным самосопряженным операторам. Используя ограниченное функциональное исчисление, можно доказать часть теоремы Стоуна об однопараметрических унитарных группах :

Теорема . Если A - самосопряженный оператор, то

{\ displaystyle U_ {t} = e ^ {itA}, \ qquad t \ in \ mathbb {R}}

является однопараметрической сильно непрерывной унитарной группой, инфинитезимальный генератор которой равен iA .

В качестве приложения мы рассматриваем уравнение Шредингера или, что то же самое, динамику квантово-механической системы. В нерелятивистской квантовой механике , то гамильтонова оператор H моделирует общую энергия , наблюдаемая в квантово - механической системе S . Унитарная группа , порожденная Ih соответствует временной эволюции S .

Мы также можем использовать функциональное исчисление Бореля для абстрактного решения некоторых линейных задач с начальным значением, таких как уравнение теплопроводности или уравнения Максвелла.

Существование функционального исчисления

Существование отображения со свойствами функционального исчисления требует доказательства. Для случая ограниченного самосопряженного оператора T существование борелевского функционального исчисления элементарно можно показать следующим образом:

Сначала перейдите от полиномиального к непрерывному функциональному исчислению с помощью теоремы Стоуна – Вейерштрасса . Решающим фактом здесь является то, что для ограниченного самосопряженного оператора Т и полином р ,

{\ Displaystyle \ | п (T) \ | = \ sup _ {\ lambda \ in \ sigma (T)} | p (\ lambda) |.}

Следовательно, отображение

{\ displaystyle p \ mapsto p (T)}

является изометрией и плотно определенным гомоморфизмом на кольце полиномиальных функций. Продление по непрерывности Определяет F ( T ) для непрерывной функции F на спектр Т . Теорема Рисса-Маркова позволяет нам перейти от интегрирования непрерывных функций к спектральным мерам , и это функциональное исчисление Бореля.

В качестве альтернативы непрерывное исчисление может быть получено с помощью преобразования Гельфанда в контексте коммутативных банаховых алгебр. Расширение до измеримых функций достигается применением Рисса-Маркова, как указано выше. В этой формулировке T может быть нормальным оператором .

Учитывая , оператор Т , спектр непрерывного функциональное исчисление ч → ч ( Т ) является (абелевой) С * -алгебра С ( Т ) , порожденный Т . Функциональное исчисление Бореля имеет более широкий диапазон, то есть замыкание C ( T ) в слабой операторной топологии (все еще абелевой) алгебры фон Неймана .

Общее функциональное исчисление

Мы также можем определить функциональное исчисление для необязательно ограниченных борелевских функций h ; результатом является оператор, который в общем случае не может быть ограничен. Используя умножение на функцию f модели самосопряженного оператора, заданную спектральной теоремой, это умножение на композицию h с f .

Теорема . Пусть Т быть самосопряженный оператор на Н , ч вещественная борелевская функция на R . Существует единственный оператор S такой, что

{\ displaystyle \ operatorname {dom} S = \ left \ {\ xi \ in H: h \ in L _ {\ nu _ {\ xi}} ^ {2} (\ mathbb {R}) \ right \}}

{\ Displaystyle \ langle S \ xi, \ xi \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} h (t) \ d \ nu _ {\ xi} (t), \ quad {\ mbox {for}} \ quad \ xi \ in \ operatorname {dom} S}

Оператор S предыдущей теоремы обозначается h ( T ).

В более общем смысле, функциональное исчисление Бореля существует также для (ограниченных) нормальных операторов.

Разрешение личности

Пусть T - самосопряженный оператор. Если Е является борелевским подмножеством R , и 1 _Е является функцией индикатора из Е , то 1 _Х ( Т ) является самосопряженной проекцией на H . Тогда отображение

{\ displaystyle \ Omega: E \ mapsto \ mathbf {1} _ {E} (T)}

является проекция-значной мера называется разложением единицы для самосопряжённого оператора Т . Мера R по отношению к Q , тождественный оператор на H . Другими словами, единичный оператор можно выразить как спектральный интеграл . Иногда термин «разрешение тождества» также используется для описания этого представления тождественного оператора как спектрального интеграла. ${\ displaystyle \ textstyle {I = \ int 1 \, d \ Omega}}$

В случае дискретной меры (в частности, когда H конечномерно) можно записать как ${\ displaystyle \ textstyle {I = \ int 1 \, d \ Omega}}$

{\ displaystyle I = \ sum _ {i} \ left | i \ right \ rangle \ left \ langle i \ right |}

в обозначениях Дирака, где каждый представляет собой нормированный собственный вектор из T . Множество представляет собой ортонормированный базис H . ${\ displaystyle | я \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ {| я \ rangle \}}$

В физической литературе, используя вышеизложенное как эвристику, переходят к случаю, когда спектральная мера больше не дискретна, и записывают разрешение тождества как

{\ Displaystyle I = \ int d | я \ rangle \ langle i |}

и говорить о «непрерывном базисе» или «континууме базисных состояний». С математической точки зрения , если не дано строгое обоснование, это выражение является чисто формальным. ${\ Displaystyle \ {| я \ rangle \}}$

Languages

In other projects