Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена - Wallace–Bolyai–Gerwien theorem

По теореме Уоллеса – Бойя – Гервиена квадрат можно разрезать на части и преобразовать в треугольник равной площади.

В геометрии , то теорема Wallace-Больяй-Гервина , названный в честь Уильяма Уоллеса , Фаркаш Bolyai и Павла Гервина , теорема связана с вскрытий из многоугольников . Он отвечает на вопрос, когда один многоугольник может быть образован из другого, разрезав его на конечное количество частей и перекомпоновав их путем сдвигов и вращений . Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена утверждает, что это может быть сделано тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковую площадь .

Уоллес доказал тот же результат уже в 1807 году.

Согласно другим источникам, Бойяи и Гервин независимо друг от друга доказали теорему в 1833 и 1835 годах соответственно.

Формулировка

Эта теорема может быть сформулирована несколькими способами. Наиболее распространенная версия использует концепцию «равносоставимости» многоугольников: два многоугольника равносоставимы, если их можно разделить на конечное число треугольников, которые отличаются только некоторой изометрией (фактически, только комбинацией сдвига и вращения). В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что два многоугольника равносоставимы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую площадь.

Другая формулировка - в терминах конгруэнтности ножниц : два многоугольника конгруэнтны ножницам, если их можно разложить на конечное число многоугольников, попарно конгруэнтных . Ножницы-конгруэнтность - это отношение эквивалентности . В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что классы эквивалентности этого отношения содержат в точности те многоугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Доказательство эскиза

Теорема может быть понята в несколько шагов. Во-первых, каждый многоугольник можно разрезать на треугольники. Для этого есть несколько способов. Для выпуклых многоугольников можно по очереди обрезать каждую вершину , а для вогнутых многоугольников это требует большей осторожности. Общий подход, который работает и для непростых многоугольников, - это выбрать линию, не параллельную какой-либо из сторон многоугольника, и провести линию, параллельную этой, через каждую из вершин многоугольника. Это разделит многоугольник на треугольники и трапеции , которые, в свою очередь, можно будет преобразовать в треугольники.

Во-вторых, каждый из этих треугольников может быть преобразован в прямоугольный треугольник, а затем в прямоугольник с одной стороной длины 1. В качестве альтернативы, треугольник можно преобразовать в один такой прямоугольник, сначала превратив его в параллелограмм, а затем превратив его в такой прямоугольник. Сделав это для каждого треугольника, многоугольник можно разложить на прямоугольник, ширина и высота которого равны его площади.

Так как это можно сделать для любых двух многоугольников, «общее разбиение» прямоугольника между ними доказывает теорему. То есть разрезание общего прямоугольника (размером 1 по его площади) по обоим многоугольникам будет промежуточным звеном между обоими многоугольниками.

Примечания к доказательству

Прежде всего, это доказательство требует промежуточного многоугольника. В формулировке теоремы с использованием ножниц-конгруэнций использование этого промежуточного звена можно переформулировать, используя тот факт, что ножницы-конгруэнции транзитивны. Поскольку и первый многоугольник, и второй многоугольник конгруэнтны промежуточному звену ножницами, они конгруэнтны друг другу как ножницы.

Доказательство этой теоремы является конструктивным и не требует аксиомы выбора , хотя некоторые другие проблемы сечения (например , проблема квадрата круга Тарского ) действительно нуждаются в этом. В этом случае разложение и повторная сборка могут быть фактически выполнены «физически»: теоретически части можно вырезать ножницами из бумаги и собрать вручную.

Тем не менее, количество частей, необходимых для составления одного многоугольника из другого с помощью этой процедуры, обычно намного превышает минимальное количество необходимых многоугольников.

Степень разложимости

Рассмотрим два равносоставленными многоугольники P и Q . Минимальное количество n частей, необходимое для составления одного многоугольника Q из другого многоугольника P , обозначается σ ( P , Q ).

В зависимости от многоугольников можно оценить верхнюю и нижнюю границы для σ ( P , Q ). Так , например, Тарский доказал , что если Р является выпуклой , а диаметры от P и Q , соответственно , дается й ( P ) и D ( Q ), то

${\ displaystyle \ sigma (P, Q) \ geq {\ frac {d (P)} {d (Q)}}.}$

Если P _x - это прямоугольник со сторонами a  · x и a · (1 / x ), а Q - прямоугольник размера a , то P _x и Q равноразложимы для любого x > 0. Верхняя граница для σ ( P _x , Q ) задается формулой    

${\ displaystyle \ sigma (P_ {x}, Q) \ leq 2+ \ left \ lceil {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right \ rceil, \ quad {\ text {for}} x \ geq 1.}$

Поскольку σ ( P _x , Q ) = σ ( P _{(1 / x )} , Q ), мы также имеем, что

${\ displaystyle \ sigma \ left (P _ {\ frac {1} {x}}, Q \ right) \ leq 2+ \ left \ lceil {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x }} \ right \ rceil, \ quad {\ text {for}} x \ leq 1.}$

Обобщения

Аналогичное утверждение о многогранниках в трех измерениях, известное как третья проблема Гильберта , неверно, как было доказано Максом Деном в 1900 году. Проблема также рассматривалась в некоторых неевклидовых геометриях . В двумерной гиперболической и сферической геометрии теорема верна. Однако проблема для этих геометрических фигур в трех измерениях остается открытой.

использованная литература

внешние ссылки

• Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена.
• Конгруэнтность ножниц - интерактивная демонстрация теоремы Уоллеса – Больяи – Гервиена.
• Видео с наброском доказательства
• Пример теоремы Бойяи – Гервиена Шандора Кабая, Ференца Холло Сабо и Лайоша Силасси, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Презентация о третьей проблеме Гильберта в колледже Статен-Айленда CUNY - Абхиджит Чампанеркар.
• Оптимальное рассечение единичного квадрата прямоугольником