Теорема Бляшке – Лебега - Blaschke–Lebesgue theorem

Треугольник рёло , A кривая постоянной ширины , площадь которой минимальна среди всех выпуклых множеств с той же шириной

В плоской геометрии Бляшке-Лебега теорема утверждает , что треугольник Рело имеет наименьшую площадь всех кривых заданной постоянной ширины . В том виде, в котором каждая кривая заданной ширины имеет площадь, по крайней мере равную площади треугольника Рело, это также известно как неравенство Бляшке – Лебега . Он назван в честь Вильгельма Блашке и Анри Лебега , опубликовавших его отдельно в начале 20 века.

утверждение

Ширина выпуклого множества в евклидовой плоскости определяется как минимальное расстояние между любыми двумя параллельными линиями, которые его окружают. Два минимального расстояния линии являются обязательно касательные к , на противоположных сторонах. Кривая постоянной ширины является границей множества выпуклой с тем свойством , что для каждого направления параллельных линий, две касательные линии с этом направлении , которые являются касательной к противоположным сторонам кривой находятся на расстоянии , равном ширине. Эти кривые включают в себя как круг, так и треугольник Рело , изогнутый треугольник, образованный дугами трех окружностей равного радиуса, каждая из которых центрирована в точке пересечения двух других окружностей. Площадь, заключенная в треугольник Рело шириной, равна ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ pi - {\ sqrt {3}}) w ^ {2} \ приблизительно 0,70477w ^ {2}.}$

Теорема Бляшке – Лебега утверждает, что это единственная минимально возможная площадь кривой постоянной ширины, а неравенство Бляшке – Лебега утверждает, что каждое выпуклое множество шириной имеет площадь, по крайней мере, этой большой, с равенством только тогда, когда множество ограничено треугольник Рело. ${\ displaystyle w}$

История

Теорема Бляшке – Лебега была независимо опубликована в 1914 году Анри Лебегом и в 1915 году Вильгельмом Бляшке . Со времени их работы было опубликовано еще несколько доказательств.

В других самолетах

Та же теорема верна и в гиперболической плоскости . Для любой выпуклой функции расстояния на плоскости (расстояние, определяемое как норма векторной разности точек для любой нормы), справедлива аналогичная теорема, согласно которой кривая минимальной площади постоянной ширины является пересечением трех метрических диски, каждый центрирован на граничной точке двух других.

заявка

Теорема Бляшке – Лебега использовалась для обеспечения эффективной стратегии для обобщений игры « Морской бой» , в которой у одного игрока есть корабль, образованный пересечением целочисленной сетки с выпуклым множеством, а у другого игрока после нахождения одной точки на этом корабль, стремится определить свое местоположение, используя как можно меньше пропущенных выстрелов. Для корабля с точками сетки можно ограничить количество пропущенных выстрелов . ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle О (\ журнал \ журнал п)}$

Связанные проблемы

По изопериметрическому неравенству кривая постоянной ширины в евклидовой плоскости с наибольшей площадью представляет собой круг . Периметра кривой постоянной ширины является , независимо от ее формы; это теорема Барбье . ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ pi w}$

Неизвестно, какие поверхности постоянной ширины в трехмерном пространстве имеют минимальный объем. Боннесен и Фенчель в 1934 году предположили, что минимизаторы - это два тела Мейснера, полученные путем округления некоторых ребер тетраэдра Рело , но это остается недоказанным.

Ссылки