Двулучепреломление -Birefringence

Кристалл кальцита на миллиметровой бумаге с синими линиями, показывающими двойное лучепреломление.
Входящий свет с перпендикулярной (s) поляризацией имеет другой эффективный показатель преломления, чем свет с (p) поляризацией, и, таким образом, преломляется под другим углом.
Входящий свет с s - поляризацией (в данном примере необыкновенный луч) имеет больший показатель преломления, чем свет с p - поляризацией (обычный луч), преломляясь при входе и выходе из кристалла.

Двулучепреломление — это оптическое свойство материала, показатель преломления которого зависит от поляризации и направления распространения света . Эти оптически анизотропные материалы называются двулучепреломляющими (или двулучепреломляющими ). Двойное лучепреломление часто количественно определяется как максимальная разница между показателями преломления материала. Кристаллы с некубической кристаллической структурой часто имеют двойное лучепреломление, как и пластмассы при механическом воздействии .

Двойное лучепреломление отвечает за явление двойного лучепреломления , при котором луч света, падающий на двулучепреломляющий материал, расщепляется за счет поляризации на два луча, идущих немного разными путями. Этот эффект впервые описал датский ученый Расмус Бартолин в 1669 году, который наблюдал его в кальците , кристалле, обладающем одним из самых сильных двулучепреломлений. Однако только в 19 веке Огюстен-Жан Френель описал это явление с точки зрения поляризации, понимая свет как волну с компонентами поля в поперечной поляризации (перпендикулярно направлению волнового вектора).

Объяснение

Изображение с двойным преломлением, видимое через кристалл кальцита, видимое через вращающийся поляризационный фильтр, иллюстрирующее противоположные состояния поляризации двух изображений.

Ниже представлено математическое описание распространения волн в двулучепреломляющей среде . Ниже приводится качественное объяснение явления.

Одноосные материалы

Простейший тип двойного лучепреломления описывается как одноосный , что означает, что существует одно направление, определяющее оптическую анизотропию, тогда как все направления, перпендикулярные ему (или под заданным углом к ​​нему), оптически эквивалентны. Таким образом, вращение материала вокруг этой оси не меняет его оптических свойств. Это особое направление известно как оптическая ось материала. Свет, распространяющийся параллельно оптической оси (чья поляризация всегда перпендикулярна оптической оси), определяется показателем преломления n o (для «обычного») независимо от его конкретной поляризации. Для лучей с любым другим направлением распространения существует одна линейная поляризация, которая будет перпендикулярна оптической оси, и луч с такой поляризацией называется обычным лучом и определяется тем же значением показателя преломления n o . Однако для луча, распространяющегося в том же направлении, но с поляризацией, перпендикулярной поляризации обыкновенного луча, направление поляризации будет частично совпадать с направлением оптической оси, и этот необыкновенный луч будет подчиняться другому, зависящему от направления показатель преломления. Поскольку показатель преломления зависит от поляризации, когда неполяризованный свет попадает в одноосный двулучепреломляющий материал, он разделяется на два луча, движущихся в разных направлениях, один из которых имеет поляризацию обычного луча, а другой — поляризацию необыкновенного луча. Обыкновенный луч всегда будет иметь показатель преломления n o , тогда как показатель преломления необыкновенного луча будет находиться между n o и ne e , в зависимости от направления луча, описываемого эллипсоидом показателя преломления . Величина разницы количественно определяется двойным лучепреломлением:

Распространение (а также коэффициент отражения ) обычного луча просто описывается как n o , как если бы не было двойного лучепреломления. Однако необыкновенный луч, как следует из его названия, распространяется в отличие от любой другой волны в изотропном оптическом материале. Его преломление (и отражение) на поверхности можно понять, используя эффективный показатель преломления (значение между n o и n e ). Однако его поток мощности (задаваемый вектором Пойнтинга ) не точно соответствует направлению волнового вектора . Это вызывает дополнительное смещение этого луча даже при нормальном падении, что обычно наблюдается с использованием кристалла кальцита , как показано на фотографии выше. Вращение кристалла кальцита заставит одно из двух изображений, изображение необыкновенного луча, слегка повернуться вокруг изображения обычного луча, которое останется неподвижным.

Когда свет распространяется либо вдоль, либо ортогонально оптической оси, такого бокового смещения не происходит. В первом случае обе поляризации перпендикулярны оптической оси и видят один и тот же эффективный показатель преломления, поэтому необыкновенного луча нет. Во втором случае необыкновенный луч распространяется с другой фазовой скоростью (соответствующей n e ), но по-прежнему имеет поток мощности в направлении волнового вектора . Кристалл с оптической осью в этой ориентации, параллельной оптической поверхности, может быть использован для создания волновой пластины , в которой не происходит искажения изображения, а преднамеренно изменяется состояние поляризации падающей волны. Например, четвертьволновая пластинка обычно используется для создания круговой поляризации от линейно поляризованного источника.

Двухосные материалы

Случай так называемых двухосных кристаллов существенно сложнее. Они характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем главным осям кристалла. Для большинства направлений луча обе поляризации будут классифицироваться как необыкновенные лучи, но с разными эффективными показателями преломления. Однако, будучи необыкновенными волнами, направление потока мощности не идентично направлению волнового вектора в любом случае.

Два показателя преломления можно определить с помощью эллипсоидов показателя преломления для заданных направлений поляризации. Обратите внимание, что для двухосных кристаллов эллипсоид показателя преломления не будет эллипсоидом вращения (« сфероидом »), а описывается тремя неравными принципами показателей преломления n α , n β и n γ . Таким образом, нет оси, вращение вокруг которой оставляет оптические свойства неизменными (как это происходит с одноосными кристаллами, эллипсоид индекса которых представляет собой сфероид).

Хотя оси симметрии нет, есть две оптические оси или бинормали , которые определяются как направления, вдоль которых свет может распространяться без двойного лучепреломления, т. е. направления, вдоль которых длина волны не зависит от поляризации. По этой причине двулучепреломляющие материалы с тремя различными показателями преломления называются биаксиальными . Кроме того, существуют две различные оси, известные как оси оптических лучей или бирадиалы , вдоль которых групповая скорость света не зависит от поляризации.

Двойное преломление

Когда произвольный пучок света падает на поверхность двулучепреломляющего материала при ненормальном падении, компонент поляризации, нормальный к оптической оси (обыкновенный луч), и другая линейная поляризация (необыкновенный луч) будут преломляться по несколько разным путям. Естественный свет, так называемый неполяризованный свет , состоит из равного количества энергии в любых двух ортогональных поляризациях. Даже линейно поляризованный свет имеет некоторую энергию в обеих поляризациях, если только он не выровнен по одной из двух осей двойного лучепреломления. Согласно закону преломления Снелла , два угла преломления определяются эффективным показателем преломления каждой из этих двух поляризаций. Это хорошо видно, например, в призме Волластона , которая разделяет падающий свет на две линейные поляризации с помощью призм, состоящих из двулучепреломляющего материала, такого как кальцит .

Различные углы преломления для двух компонентов поляризации показаны на рисунке вверху страницы с оптической осью вдоль поверхности (и перпендикулярно плоскости падения ), так что угол преломления различен для p поляризация (в данном случае «обыкновенный луч», имеющий электрический вектор, перпендикулярный оптической оси) и s - поляризация (в данном случае «необыкновенный луч», поляризация электрического поля которого включает компонент в направлении оптической оси) . Кроме того, даже при нормальном падении возникает отчетливая форма двойного лучепреломления в случаях, когда оптическая ось не проходит вдоль преломляющей поверхности (и не точно перпендикулярна ей); в этом случае диэлектрическая поляризация двулучепреломляющего материала не точно совпадает с направлением электрического поля волны для необыкновенного луча. Направление потока мощности (заданное вектором Пойнтинга ) для этой неоднородной волны находится под конечным углом от направления волнового вектора , что приводит к дополнительному разделению этих лучей. Таким образом, даже в случае нормального падения, когда можно вычислить угол преломления как нулевой (согласно закону Снеллиуса, независимо от эффективного показателя преломления), энергия необыкновенного луча распространяется под углом. При выходе из кристалла через грань, параллельную входящей грани, направление обоих лучей будет восстановлено, но останется сдвиг между двумя лучами. Это обычно наблюдается при использовании куска кальцита, вырезанного вдоль его естественной спайности, и помещенного над бумагой с письменами, как на приведенных выше фотографиях. Напротив, волновые пластины специально имеют свою оптическую ось вдоль поверхности пластины, так что при (приблизительно) нормальном падении не будет смещения изображения от света любой поляризации, а будет просто относительный фазовый сдвиг между двумя световыми волнами.

Терминология

Сравнение положительного и отрицательного двулучепреломления. При отрицательном двулучепреломлении (1) поляризация, параллельная (p) оптической оси A, является быстрым лучом (F), а перпендикулярная поляризация (s) — медленным лучом (S). При положительном двулучепреломлении (2) все наоборот.

Большая часть работ, связанных с поляризацией, предшествовала пониманию света как поперечной электромагнитной волны , и это повлияло на используемую терминологию. Изотропные материалы имеют симметрию во всех направлениях, а показатель преломления одинаков для любого направления поляризации. Анизотропный материал называется «двойным лучепреломлением», потому что он обычно преломляет один падающий луч в двух направлениях, которые, как мы теперь понимаем, соответствуют двум различным поляризациям. Это верно как для одноосного, так и для двухосного материала.

В одноосном материале один луч ведет себя согласно нормальному закону преломления (соответствующему обычному показателю преломления), поэтому падающий луч при нормальном падении остается нормальным к преломляющей поверхности. Однако, как объяснялось выше, другая поляризация может отклоняться от нормального падения, что не может быть описано с помощью закона преломления. Таким образом, он стал известен как необычный луч . Термины «обычный» и «необычный» по-прежнему применяются к компонентам поляризации, перпендикулярным и неперпендикулярным оптической оси соответственно, даже в тех случаях, когда нет двойного лучепреломления.

Материал называется одноосным , когда он имеет одно направление симметрии в своем оптическом поведении, которое мы называем оптической осью. Это также оказывается осью симметрии индексного эллипсоида (в данном случае сфероида). Эллипсоид показателя преломления все еще может быть описан в соответствии с показателями преломления n α , n β и n γ вдоль трех координатных осей, однако в этом случае два равны. Таким образом, если n α = n β соответствует осям x и y , то экстраординарный индекс равен n γ , соответствующему оси z , которая в данном случае также называется оптической осью .

Однако материалы, в которых все три показателя преломления различны, называются двухосными , и происхождение этого термина более сложное и часто неправильно понимается. В одноосном кристалле разные компоненты поляризации луча будут двигаться с разными фазовыми скоростями, за исключением лучей в направлении того, что мы называем оптической осью. Таким образом, оптическая ось обладает тем особым свойством, что лучи в этом направлении не проявляют двойного лучепреломления, при этом все поляризации в таком луче имеют один и тот же показатель преломления. Совсем другое дело, когда все три основных показателя преломления различны; тогда падающий луч в любом из этих основных направлений по-прежнему будет сталкиваться с двумя разными показателями преломления. Но оказывается, что есть два особых направления (под углом ко всем трем осям), где показатели преломления для разных поляризаций снова равны. По этой причине эти кристаллы были обозначены как двуосные , причем две «оси» в данном случае относятся к направлениям лучей, в которых распространение не испытывает двойного лучепреломления.

Быстрые и медленные лучи

В двулучепреломляющем материале волна состоит из двух компонентов поляризации, которые обычно определяются разными эффективными показателями преломления. Так называемый медленный луч — это компонент, для которого материал имеет более высокий эффективный показатель преломления (меньшую фазовую скорость), а быстрый луч — это компонент с более низким эффективным показателем преломления. Когда на такой материал падает луч из воздуха (или любого материала с более низким показателем преломления), медленный луч, таким образом, преломляется больше к нормали, чем быстрый луч. На рисунке вверху страницы видно, что преломленный луч с s - поляризацией (с его электрическим колебанием в направлении оптической оси, таким образом, необыкновенный луч) является в данном случае медленным лучом.

Используя тонкую пластину из этого материала при нормальном падении, можно реализовать волновую пластину . В этом случае по существу нет пространственного разделения между поляризациями, однако фаза волны в параллельной поляризации (медленном луче) будет запаздывать по отношению к перпендикулярной поляризации. Таким образом, эти направления известны как медленная ось и быстрая ось волновой пластины.

Положительный или отрицательный

Одноосное двойное лучепреломление классифицируется как положительное, когда необыкновенный показатель преломления n e больше обычного показателя n o . Отрицательное двойное лучепреломление означает, что Δ n = n e - n o меньше нуля. Другими словами, поляризация быстрой (или медленной) волны перпендикулярна оптической оси, когда двулучепреломление кристалла положительно (или отрицательно соответственно). В случае двухосных кристаллов все три главные оси имеют разные показатели преломления, поэтому это обозначение неприменимо. Но для любого определенного направления луча можно точно так же указать быструю и медленную поляризации луча.

Источники оптического двулучепреломления

Вид из-под Sky Pool, Лондон, с цветными полосами из-за двойного лучепреломления частично поляризованного неба через круговой поляризатор.

Хотя наиболее известным источником двойного лучепреломления является попадание света в анизотропный кристалл, это может привести к получению оптически изотропных материалов несколькими способами:

Распространенные двулучепреломляющие материалы

Столовые приборы из прозрачного полистирола, зажатые между скрещенными поляризаторами, демонстрируют двойное лучепреломление в зависимости от длины волны.

Лучшими двулучепреломляющими материалами являются кристаллы . Из-за их специфической кристаллической структуры их показатели преломления хорошо определены. В зависимости от симметрии кристаллической структуры (определяемой одной из 32 возможных кристаллографических точечных групп ) кристаллы в этой группе могут быть вынуждены быть изотропными (не двулучепреломляющими), иметь одноосную симметрию или ни то, ни другое. двухосный кристалл. Кристаллические структуры, обеспечивающие одноосное и двуосное двойное лучепреломление, отмечены в двух таблицах ниже, в которых перечислены два или три основных показателя преломления (при длине волны 590 нм) некоторых более известных кристаллов.

В дополнение к индуцированному двулучепреломлению под нагрузкой многие пластмассы приобретают постоянное двулучепреломление во время производства из-за напряжений, которые «вмораживаются» из-за механических сил, возникающих при формовании или экструдировании пластика. Например, обычный целлофан обладает двойным лучепреломлением. Поляризаторы обычно используются для обнаружения напряжений, как приложенных, так и вмороженных, в пластиках, таких как полистирол и поликарбонат .

Хлопковое волокно обладает двойным лучепреломлением из-за высокого содержания целлюлозного материала во вторичной клеточной стенке волокна, которая ориентирована по направлению хлопкового волокна.

Микроскопия в поляризованном свете обычно используется для исследования биологических тканей, поскольку многие биологические материалы обладают линейным или круговым двулучепреломлением. Коллаген, обнаруженный в хрящах, сухожилиях, костях, роговице и некоторых других частях тела, обладает двойным лучепреломлением и обычно изучается с помощью микроскопии в поляризованном свете. Некоторые белки также обладают двойным лучепреломлением, проявляя двойное лучепреломление формы.

Неизбежные производственные дефекты оптического волокна приводят к двулучепреломлению, которое является одной из причин уширения импульса в волоконно-оптической связи . Такие дефекты могут быть геометрическими (отсутствие круговой симметрии) или возникать из-за неравномерного бокового напряжения, приложенного к оптическому волокну. Двойное лучепреломление вводится намеренно (например, путем придания поперечному сечению эллиптической формы) для производства оптических волокон, сохраняющих поляризацию . Двойное лучепреломление может быть вызвано (или скорректировано!) В оптических волокнах путем их изгиба, что вызывает анизотропию формы и напряжения, учитывая ось, вокруг которой он изгибается, и радиус кривизны.

В дополнение к анизотропии электрической поляризуемости, которую мы обсуждали, источником двойного лучепреломления может быть анизотропия магнитной проницаемости . Однако на оптических частотах нет измеримой магнитной поляризуемости ( μ = μ 0 ) природных материалов, поэтому это не реальный источник двойного лучепреломления на оптических длинах волн.

Измерение

Двойное лучепреломление и другие оптические эффекты, основанные на поляризации (такие как оптическое вращение и линейный или круговой дихроизм ), можно наблюдать, измеряя любое изменение поляризации света, проходящего через материал. Эти измерения известны как поляриметрия . Микроскопы поляризованного света, которые содержат два поляризатора, расположенные под углом 90° друг к другу по обе стороны от образца, используются для визуализации двойного лучепреломления, поскольку свет, на который не повлияло двойное лучепреломление, остается в поляризации, полностью отвергаемой вторым поляризатором. ("анализатор"). Добавление четвертьволновых пластин позволяет исследовать свет с круговой поляризацией. Определение изменения состояния поляризации с помощью такого прибора является основой эллипсометрии , с помощью которой можно измерять оптические свойства зеркальных поверхностей посредством отражения.

Измерения двойного лучепреломления были выполнены с помощью систем с фазовой модуляцией для изучения переходного поведения потока жидкостей. Двулучепреломление липидных бислоев можно измерить с помощью интерферометрии с двойной поляризацией . Это обеспечивает меру степени порядка в этих слоях жидкости и то, как этот порядок нарушается, когда слой взаимодействует с другими биомолекулами.

Приложения

Отражающий скрученный нематический жидкокристаллический дисплей . Свет, отраженный поверхностью (6) (или исходящий от задней подсветки ), поляризован горизонтально (5) и проходит через жидкокристаллический модулятор (3), зажатый между прозрачными слоями (2, 4), содержащими электроды. Горизонтально поляризованный свет блокируется вертикально ориентированным поляризатором (1), за исключением случаев, когда его поляризация была повернута жидким кристаллом (3), что кажется наблюдателю ярким.

Двулучепреломление используется во многих оптических устройствах. Жидкокристаллические дисплеи , наиболее распространенный тип плоских дисплеев , заставляют их пиксели становиться светлее или темнее за счет вращения поляризации (круговое двойное лучепреломление) линейно поляризованного света, если смотреть через листовой поляризатор на поверхности экрана. Точно так же модуляторы света модулируют интенсивность света за счет электрически индуцированного двойного лучепреломления поляризованного света, за которым следует поляризатор. Фильтр Лио представляет собой специализированный узкополосный спектральный фильтр, использующий зависимость двулучепреломления от длины волны. Волновые пластины представляют собой тонкие двулучепреломляющие листы, широко используемые в определенном оптическом оборудовании для изменения состояния поляризации света, проходящего через него.

Двулучепреломление также играет важную роль в генерации второй гармоники и других нелинейных оптических компонентах , поскольку кристаллы, используемые для этой цели, почти всегда обладают двулучепреломлением. Регулируя угол падения, можно настроить эффективный показатель преломления необыкновенного луча для достижения фазового согласования , необходимого для эффективной работы этих устройств.

Лекарство

Двулучепреломление используется в медицинской диагностике. Одним из мощных аксессуаров, используемых с оптическими микроскопами, является пара скрещенных поляризационных фильтров. Свет от источника поляризован в направлении x после прохождения через первый поляризатор, но над образцом находится поляризатор (так называемый анализатор ), ориентированный в направлении y . Следовательно, анализатор не примет свет от источника, и поле будет казаться темным. Однако области образца, обладающие двойным лучепреломлением, обычно будут преобразовывать часть x - поляризованного света в y - поляризацию; эти области затем будут казаться яркими на темном фоне. Модификации этого основного принципа могут различать положительное и отрицательное двойное лучепреломление.

Кристаллы подагры и псевдоподагры под микроскопом с красным компенсатором, замедляющим красный свет в одной ориентации (помеченной как «ось поляризованного света»). Кристаллы уратов ( левое изображение) при подагре кажутся желтыми, когда их длинная ось параллельна оси медленной передачи красного компенсатора, и синими, когда перпендикулярны. Противоположные цвета наблюдаются при болезни отложения кристаллов дигидрата пирофосфата кальция (псевдоподагра, изображение справа ): синий при параллельном и желтый при перпендикулярном.

Например, аспирация иглой жидкости из подагрического сустава выявит отрицательно двоякопреломляющие кристаллы мононатрия урата . Кристаллы пирофосфата кальция , напротив, имеют слабое положительное двойное лучепреломление. Кристаллы уратов кажутся желтыми, а кристаллы пирофосфата кальция кажутся синими, когда их длинные оси выровнены параллельно оси красного компенсационного фильтра или к образцу для сравнения добавляют кристалл с известным двойным лучепреломлением.

Двойное лучепреломление можно наблюдать в амилоидных бляшках, которые обнаруживаются в мозге пациентов с болезнью Альцгеймера при окрашивании красителем, таким как конго красный. Модифицированные белки, такие как легкие цепи иммуноглобулинов , аномально накапливаются между клетками, образуя фибриллы. Множественные складки этих волокон выстраиваются в линию и принимают конформацию бета-складчатого листа . Краситель конго красный интеркалирует между складками и при наблюдении в поляризованном свете вызывает двойное лучепреломление.

В офтальмологии бинокулярный скрининг двойного лучепреломления сетчатки волокон Генле (аксоны фоторецепторов, которые идут радиально наружу от центральной ямки) обеспечивает надежное обнаружение косоглазия и, возможно, также анизометропической амблиопии . У здоровых субъектов максимальное замедление, вызванное слоем волокон Генле, составляет приблизительно 22 градуса при 840 нм. Кроме того, сканирующая лазерная поляриметрия использует двойное лучепреломление слоя волокон зрительного нерва для косвенной количественной оценки его толщины, что полезно при оценке и мониторинге глаукомы . Измерения поляризационно-чувствительной оптической когерентной томографии, полученные у здоровых людей, продемонстрировали изменение двойного лучепреломления слоя нервных волокон сетчатки в зависимости от расположения вокруг диска зрительного нерва. Та же технология была недавно применена к сетчатке живого человека для количественной оценки поляризационных свойств стенок сосудов вблизи зрительного нерва.

Характеристики двойного лучепреломления головок сперматозоидов позволяют отбирать сперматозоиды для интрацитоплазматической инъекции сперматозоидов . Точно так же при визуализации зон используется двойное лучепреломление ооцитов , чтобы выбрать те из них, у которых самые высокие шансы на успешную беременность. Двойное лучепреломление частиц, взятых при биопсии легочных узелков, указывает на силикоз .

Дерматологи используют дерматоскопы для осмотра поражений кожи. Дермоскопы используют поляризованный свет, что позволяет пользователю видеть кристаллические структуры, соответствующие дермальному коллагену в коже. Эти структуры могут иметь вид блестящих белых линий или розеток и видны только при поляризационной дерматоскопии .

Двойное лучепреломление, вызванное напряжением

Цветной рисунок пластиковой коробки с «вмороженным» механическим напряжением , помещенной между двумя скрещенными поляризаторами.

Изотропные твердые тела не обладают двойным лучепреломлением. Однако при механическом воздействии на них возникает двойное лучепреломление. Напряжение может быть приложено извне или «заморожено внутри» после того, как двулучепреломляющее пластиковое изделие охлаждается после его изготовления с использованием литья под давлением . Когда такой образец помещается между двумя скрещенными поляризаторами, можно наблюдать цветовые узоры, потому что поляризация светового луча поворачивается после прохождения через двулучепреломляющий материал, а величина вращения зависит от длины волны. Экспериментальный метод, называемый фотоупругостью , используемый для анализа распределения напряжений в твердых телах, основан на том же принципе. Недавно было проведено исследование по использованию двойного лучепреломления, вызванного напряжением, в стеклянной пластине для создания оптического вихря и полных пучков Пуанкаре (оптических лучей, которые имеют все возможные состояния поляризации в поперечном сечении).

Другие случаи двулучепреломления

Двулучепреломляющий рутил , наблюдаемый в разных поляризациях с помощью вращающегося поляризатора (или анализатора )

Двулучепреломление наблюдается в анизотропных упругих материалах. В этих материалах две поляризации разделяются в соответствии с их эффективными показателями преломления, которые также чувствительны к напряжению.

Изучение двойного лучепреломления в поперечных волнах, проходящих через твердую Землю (жидкое ядро ​​Земли не поддерживает поперечные волны), широко используется в сейсмологии .

Двулучепреломление широко используется в минералогии для идентификации горных пород, минералов и драгоценных камней.

Теория

Поверхность разрешенных векторов k для фиксированной частоты для двухосного кристалла (см . формулу 7 ).

В изотропной среде (включая свободное пространство) так называемое электрическое смещение ( D ) прямо пропорционально электрическому полю ( E ) в соответствии с D = ɛ E , где диэлектрическая проницаемость материала ε является просто скаляром (и равна n 2 ε 0 , где nпоказатель преломления ). Однако в анизотропном материале, обладающем двулучепреломлением, связь между D и E теперь должна быть описана с помощью тензорного уравнения:

 

 

 

 

( 1 )

где ε теперь представляет собой тензор диэлектрической проницаемости 3 × 3. Предполагается линейность и отсутствие магнитной проницаемости в среде: µ = µ 0 . Электрическое поле плоской волны угловой частоты ω можно записать в общем виде:

 

 

 

 

( 2 )

где r — вектор положения, t — время, а E 0 — вектор, описывающий электрическое поле при r = 0 , t = 0 . Затем найдем возможные волновые векторы k . Комбинируя уравнения Максвелла для ∇ × E и ∇ × H , мы можем исключить H = 1/мк 0Б для получения:

 

 

 

 

( )

При отсутствии свободных зарядов уравнение Максвелла для дивергенции D обращается в нуль:

 

 

 

 

( )

Мы можем применить векторное тождество ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A к левой части уравнения. 3a , и используйте пространственную зависимость, в которой каждое дифференцирование по x (например) приводит к умножению на ik x , чтобы найти:

 

 

 

 

( )

Правая часть ур. 3a можно выразить через E , применив тензор диэлектрической проницаемости ε и отметив, что дифференцирование по времени приводит к умножению на , ур. 3а становится:

 

 

 

 

( )

Применяя правило дифференцирования к ур. 3б находим:

 

 

 

 

( )

уравнение 4b показывает, что D ортогонален направлению волнового вектора k , хотя в общем случае это уже не верно для E , как это было бы в случае изотропной среды. уравнение 4b не потребуется для дальнейших шагов в следующем выводе.

Нахождение допустимых значений k для данного ω проще всего сделать, используя декартовы координаты с осями x , y и z , выбранными в направлениях осей симметрии кристалла (или просто выбрав z в направлении оптической оси кристалла). одноосный кристалл), что приводит к диагональной матрице для тензора диэлектрической проницаемости ε :

 

 

 

 

( )

где диагональные значения представляют собой квадраты показателей преломления для поляризаций вдоль трех главных осей x , y и z . С ε в этой форме и подстановкой скорости света c с использованием c 2 =1/μ 0 ε 0, компонент x векторного уравнения ур. 4а становится

 

 

 

 

( )

где E x , E y , E z — компоненты E (в любом заданном положении в пространстве и времени), а k x , ky , k z компоненты k . Переставляя, мы можем написать (и аналогично для компонентов y и z уравнения 4a )

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

( )

Это набор линейных уравнений относительно E x , E y , E z , поэтому он может иметь нетривиальное решение (то есть решение, отличное от E = 0 ), если следующий определитель равен нулю:

 

 

 

 

( 6 )

Оценивая определитель уравнения. 6 , и переставляя члены в соответствии со степенями , постоянные члены сокращаются. После исключения общего множителя из оставшихся слагаемых получаем

 

 

 

 

( 7 )

В случае одноосного материала, выбирая оптическую ось в направлении z так, чтобы n x = n y = n o и n z = ne , это выражение может быть учтено в виде

 

 

 

 

( 8 )

Установка любого из факторов в уравнении. 8 на ноль будет определять эллипсоидальную поверхность в пространстве волновых векторов k , разрешенных для данного ω . Первый фактор, равный нулю, определяет сферу; это решение для так называемых обычных лучей, в которых эффективный показатель преломления точно равен n o независимо от направления k . Второй определяет сфероид , симметричный относительно оси z . Это решение соответствует так называемым необыкновенным лучам, в которых эффективный показатель преломления находится между n o и ne в зависимости от направления k . Поэтому для любого произвольного направления распространения (кроме направления оптической оси) допускаются два различных волновых вектора k , соответствующие поляризациям обыкновенного и необыкновенного лучей.

Для двухосного материала можно описать аналогичное, но более сложное условие для двух волн; геометрическое место разрешенных k векторов ( поверхность волнового вектора ) представляет собой двулистную поверхность 4-й степени, так что в данном направлении обычно есть два разрешенных k вектора (и их противоположности). По осмотру видно, что ур. 6 , как правило, выполняется для двух положительных значений ω . Или для заданной оптической частоты ω и направления нормали к волновым фронтамк/| к |, выполняется для двух волновых чисел (или постоянных распространения) | к | (и, следовательно, эффективные показатели преломления), соответствующие распространению двух линейных поляризаций в этом направлении.

Когда эти две постоянные распространения равны, эффективный показатель преломления не зависит от поляризации, и, следовательно, волна, распространяющаяся в этом конкретном направлении, не сталкивается с двойным лучепреломлением. Для одноосного кристалла это оптическая ось, направление ± z согласно приведенной выше конструкции. Но когда все три показателя преломления (или диэлектрической проницаемости), n x , n y и n z различны, можно показать, что существует ровно два таких направления, где соприкасаются два листа поверхности волнового вектора; эти направления вовсе не очевидны и не лежат ни по одной из трех главных осей ( x , y , z согласно приведенному выше соглашению). Исторически это объясняет использование термина «двуосный» для таких кристаллов, поскольку существование ровно двух таких особых направлений (считающихся «осями») было обнаружено задолго до физического понимания поляризации и двойного лучепреломления. Однако эти два специальных направления, как правило, не представляют особого интереса; двухосные кристаллы скорее характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем осям симметрии.

Общее состояние поляризации, запущенное в среду, всегда можно разложить на две волны, по одной в каждой из этих двух поляризаций, которые затем будут распространяться с разными волновыми числами | к | . Применение разной фазы распространения к этим двум волнам на заданном расстоянии распространения приведет к общему другому итоговому состоянию поляризации в этой точке; например , это принцип волновой пластины . Однако с волновой пластиной между двумя лучами нет пространственного смещения, поскольку их векторы k все еще находятся в одном направлении. Это верно, когда каждая из двух поляризаций либо нормальна к оптической оси (обыкновенный луч), либо параллельна ей (необыкновенный луч).

В более общем случае имеется различие не только в величине, но и в направлении двух лучей. Например, фотография через кристалл кальцита (вверху страницы) показывает сдвинутое изображение в двух поляризациях; это связано с тем, что оптическая ось не параллельна и не перпендикулярна поверхности кристалла. И даже когда оптическая ось параллельна поверхности , это произойдет для волн, падающих ненормально (как показано на пояснительном рисунке). В этих случаях два вектора k могут быть найдены путем решения уравнения. 6 ограничивается граничным условием, которое требует, чтобы компоненты k-векторов двух прошедших волн и k- вектора падающей волны, проецируемые на поверхность границы раздела, были идентичными. Для одноосного кристалла будет обнаружено, что для обычного луча (отсюда и его название) нет пространственного сдвига, который будет преломляться, как если бы материал был не двулучепреломляющим с показателем, таким же, как две оси, которые не являются оптической осью. . Для двухосного кристалла ни один луч не считается «обычным» и обычно не преломляется в соответствии с показателем преломления, равным одной из главных осей.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Список используемой литературы

  • М. Борн и Э. Вольф, 2002 г., Принципы оптики , 7-е изд., Cambridge University Press, 1999 г. (перепечатано с исправлениями, 2002 г.).
  • А. Френель, 1827 г., «Mémoire sur la doubleréfraction», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , vol. VII (за 1824 г., напечатано в 1827 г.), стр. 45–176 ; перепечатано как «Вторые воспоминания ...» у Френеля, 1866–70, том. 2, стр. 479–596 ; переведено А. В. Хобсоном как «Мемуары о двойном преломлении» , в R. Taylor (ed.), Scientific Memoirs , vol. V (Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1852 г.), стр. 238–333. (Цитируемые номера страниц взяты из перевода.)
  • А. Френель (изд. Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), 1866–70, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel (3 тома), Paris: Imprimerie Impériale; об. 1 (1866 г.) , т. 1, с. 2 (1868 г.) , том. 3 (1870 г.) .

Внешние ссылки